книги из ГПНТБ / Вигдорович, В. Н. Совершенствование зонной перекристаллизации

характеризующее исходное распределение примеси, и Граничные условия

а уравнение (11.30) представляет собой разложение функции Сг (х),

Для я-ного прохода

i

( 4 - ) ‘ '^ i (— i)'yi‘)Cn-u-j)[x + (i — i)l] при

/=о

(11.51)

Биноминальные коэффициенты у в этих выражениях можно определить из равенств (11.20)—(11.31) с учетом выражения (11.46) или из треугольника Паскаля по схеме, показанной на рис. 16. В равенствах (11.48), (11.50) и (11.51) концентрации Су и их произ­

водные С/г) обращаются в нуль в точках х > L в соответствии с усло-

виями (11.47); то же самое, понйтно, относится и к производным Со;) от исходной концентрации, если она постоянна.

Граничные условия (11.47) совместно с уравнением (11.20) позво­ ляют определять концентрацию в начальной точке загрузки

(11.52)

о

и распределение на участке последней зоны, подчиняющееся урав­ нению нормальной направленной кристаллизации:

Сп(х) — y Сг (х) (11.53)

или

(11.54)

Влияние «схода зоны с загрузки» в конце прохода приводит к на­ рушению непрерывности производных в точках, отстоящих от конца

равной концентрации в начале следующего отрезка. Исключение составляет точка х = L — I. При х = L значение Сп (х) в уравне­ нии (11.54) становится бесконечно большим; поэтому градиент кон­ центрации С'п+ 1 {х) в точке перехода к участку нормальной направ­ ленной кристаллизации становится бесконечным, как это следует из уравнения (11.20). На расчетных кривых распределения в этой точке после всех проходов зоны начиная со второго будет скачок концен­

52

трации. Для определения верхнего значения Cn (L — l) удобно пользоваться зависимостью, получающейся в результате интегриро­ вания уравнения (11.54) в пределах от L — / до L:

В качестве примера рассмотрим кривые распределения при двух проходах зоны для следующего случая зонной перекристаллизации: Со = 1; I = k = 0,5; L = 1,5. Величину Ах примем равной 0,05. Ограничимся первым приближением. Таким образом, при х <5 1 справедливо равенство (11.45), а при х > 1 — равенство (11.54). Расчеты удобно сводить в таблицу (табл. 2). В первом ее столбце

53

располагаются Значения х через 0,05. Во втором столбце — соответ­ ствующие значения Cn_x (х + /) для х < L — I (выше горизонталь­

во втором столбце, находим соот­ ветствующие концентрации Сх (х). Аналогично рассчитывается кривая распределения для второго про­ хода. Разница состоит только в на­ ложении условия С2 (0) и с уче­ том верхнего значения С2(1). Обе величины находятся методами чис­ ленного интегрирования, например методом трапеций, в соответствии с уравнениями (11.51), (11.55) И (11.56):

что расчетные кривые тем меньше отклоняются от истинных, чем меньше Ах.

На рис. 17 приведены результаты расчета кривых распределения при С0 — L = 1 и k = I = 0,1 для трех различных Ах. Для сравне­ ния на том же графике нанесены кривые, заимствованные из моно­ графии Пфанна [22 ] и полученные при Ах, составляющем 1 % от

54

длины загрузки. Можно видеть, что расчет данным методом приводит к приемлемым результатам. Чем меньше Ах, тем меньше расхождение кривых.

Из соображений надежности расчета Ах может быть выбрано тем больше (при той же точности), чем меньше k и чем больше /.

Более точных результатов можно достичь, если учесть члены раз­ ложения (11.30) более высокого порядка. В табл. 3 приводятся результаты расчета кривых предыдущего примера при Ал: = / = 0,1 в первом, втором и третьем приближениях с точностью до третьего знака. В случае первого прохода третье приближение не меняет результата, тогда как в случае второго прохода появляются изме­ нения в третьем знаке. Можно отметить, что если достаточна точ­ ность до одного знака, то можно ограничиваться первым прибли­ жением. Там же приведены результаты расчета в первом, втором и третьем приближениях при С0 = / = 1;Т = 1и& = 0,1 при Ах = = 1 = 1. Для первого и третьего приближений после первого про­ хода получаются одинаковые результаты, тогда как после второго прохода между ними появляется разница в третьем знаке. На этот раз следует отметить, что если достаточна точность до второго знака, то можно ограничиваться вторым приближением (число проходов п должно быть не слишком велико).

Предлагаемый расчет возможен не только для зонной перекри­ сталлизации при пфанновских допущениях. В таких вариантах зонной перекристаллизации, как зонная перекристаллизация с про­ граммирование меняющейся длиной зоны или зонная перекристалли­ зация слитков переменного сечения, распределение примеси подчи­

55

56

Для зонной перекристаллизации с целевой загрузкой сохраняются граничные условия, но изменяется начальное условие. Для колонной зонной перекристаллизации основные зависимости сохраняются, но изменяются граничные условия с учетом характера подпитки и отвода загрязненного и очищенного материалов.

При зонном выравнивании должно быть изменено основное диффе­ ренциальное уравнение процесса. Метод расчета применим и в тех случаях, когда необходимо учесть заранее известную или предпола­ гаемую зависимость коэффициента распределения от концентрации. При этом сохраняются основные расчетные выражения, но коэф­ фициент распределения рассматривается как функция k (х) = = k [Сп (х) ].

ТОЧНЫЙ РАСЧЕТНЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИМЕСЕЙ

Приближенный численный метод расчета распределения концентра­ ций при зонной перекристаллизации дает возможность, зная концен­ трацию Сп (х) в точке х загрузки после п-ного прохода зоны и кон­

этим методом может быть определен весь концентрационный профиль после любого числа проходов зоны.

Однако от прохода к проходу заметно возрастает ошибка расчета. Уменьшить ее, как было показано, можно двумя путями: или умень­ шением величины Ах, или учетом большего числа членов в разложе­ нии Сп (х + Ах) по степеням Ах. Первый путь приводит к увеличе­ нию объема вычислений, в особенности при большом отношении длины загрузки к длине зоны (так как должно быть Ах < /; это не является препятствием при машинных расчетах, однако затрудняет расчеты «вручную»).

Поэтому В. Н. Вигдорович и А. Е. Вольпян [62, 63] приближен­ ный метод расчета усовершенствовали путем учета сколь угодно большого числа членов разложения С„ (х + Ах) и получили итера­ ционные выражения, одинаково точные для любого числа проходов зоны.

Воспользуемся разложением функции Сп (х + Ах) в ряд:

Сп (X + Ах) = Сп (х) + ~ Сп (X) + № с"п (* )+ ••■ , (11.61)

основным дифференциальным уравнением зонной перекристалли­ зации

57

Наиболее часто функции С0 (х) и / (х) имеют следующий вид!

если происходит нормальная направленная кристаллизация в по­ следней зоне, или

если последняя зона затвердевает вся сразу.

Функции (11.66) и (11.67) имеют конечные производные любого порядка при всех х, кроме х = L. То же самое можно сказать и о функ­ ции С0 (х), за исключением не рассматриваемого пока случая зонной перекристаллизации с «целевой загрузкой», когда С0 (х) имеет раз­ рыв в области О <С х •< L или выражается б-функцией (рассматри­

И т. д.

Подставляя их в разложение (11.61) вместе со значением первой производной

Это выражение справедливо при х < L — /; в последней же зоне выполняется уравнение (11.64). Аналогичным образом получается выражение для второго прохода, справедливое лишь при х < L — 21. Подобные зависимости легко найти и для последующих проходов,

58

причем участки загрузки, для которых они выполняются, с каждым проходом сокращаются на длину одной зоны. Учитывая, что

и т. д.

Последние члены этих равенств отражают влияние начального условия:

с 0( х + о = с , ( ^ + / ) 4 £<г ( 1; 2; ~ 4 4 +

59