Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Вигдорович, В. Н. Совершенствование зонной перекристаллизации

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.10.2023

Размер:

9.49 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 205 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

закону. По составленным программам с помощью электронных вы числительных машин была изучена зависимость получающихся кон центрационных профилей от коэффициентов распределения и длины расплавленной зоны.

В 1960 г. А. Н. Киргинцев [36] дал решения для полубесконечных слитков. В основу математических выводов им была положена идея разбиения слитка на элементарные объемы и скачкообразного продвижения расплавленной зоны на целое число этих объемов с по следующим предельным переходом к бесконечно малым скачкам. При этом был использован метод числовых рядов, и конечный ре зультат представлен в виде степенных рядов. Коэффициент распре деления в работе А. Н. Киргинцева [37 ] представлен как отношение относительных концентраций. В 1964 г. Матц [38] наиболее полно разработал математическую теорию зонной перекристаллизации, используя коэффициент распределения, выраженный как отношение относительных концентраций.

ПРЕДЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Результаты выполненных расчетов показывают, что с увеличением числа проходов в загрузке постепенно устанавливается распределе ние примесей, которое остается практически неизменным при всех последующих проходах и получило название предельного или конеч ного распределения.

Первое аналитическое выражение для предельного распределе ния было предложено Пфайном [22, 40] в 1952 г.' для загрузки ко нечной длины, но без учета влияния концентрирования примесей в конечном участке загрузки. Для установившегося неизменного профиля концентрации примеси (ее изменение вдоль загрузки) имеем:

Ctt=со (■^') Cft—со (х ~h- /)	(П.8)
или
х-\-1
Сп—сс(х):==&СЖ==У J Сп~со (х) dx.	(П.9)
X

Приближенным решением этого интегрального уравнения является экспоненциальное выражение

CVi=oo М — Л exp (jBx),

(II. 10)

где Сп=со (х) — концентрация в точке х по длине загрузки после числа проходов п = оо; постоянные А и В опреде ляются соотношениями

	В1		= k	(11.11).
exp (В1)		— 1

И		BC0L
А =				(11. 12)
	exp(Вх) — 1’

где Со — исходная концентрация; L — длина загрузки;

I — длина зоны;

k — коэффициент распределения.

Величина А = С,г=со (х — 0), а величина В представляет собой тангенс угла наклона прямой, отвечающей уравнению (11.10), в коор динатах In Сп==оэ — х; при к < 1 имеем В > 0 , при k > 1 имеем

В < 0.

Расчеты по уравнениям (11.10)—(II. 12) показывают, какую глу бокую очистку теоретически можно получить, достигая предельного распределения при С0 — 1 и Ш — 10 для различных значений коэффициентов распределения примесей [22]:

Коэффициент распределения	0,5	0,1	0,01	0,001
Концентрация (в долях) . . .	10~3	10'13	10-25	10~37

В 1955 г. Пфанн [22] ввел понятие о теоретических ступенях N при зонной перекристаллизации, представляющих собой число, рав-

X, %

х, °/о

Рис. 14. Изменение концентрации С (при С0 = 1) по длине слитка х после зонной перекристаллизации с числом проходов 1 (а), 5 (б) и 10 (в) для приме сей с различными значениями коэффициентов распределения:

1 — 0,01; 2 — 0,1; 3 — 0,2; 4 — 0,5;	5 — 2; 5 — 5;	7 — 10	при длине зоны
(= 0,1 Ь; расплавленные зоны	перемещаются	слева	направо

ное степени, в которую следует возвести коэффициент распределе ния k, чтобы получить отношение предельной концентрации Сп=а> к исходной Со в начальном участке образца (х = 0), т. е.

	k N =	4 ~ -	(11.13)
		L0
Используя приближение —	^	1 ---- 1-, из	уравнений (11.11)
и (11.12) получаем уравнение (оно не применимо			при k > 1):
	(V =	Ф - j - ,	(Н.14)

где ср — достаточно постоянная величина, равная 1,0—1,5 для зна

чений k < 1 и 2 < ■— < 50 [22]. Это означает, что число теорети

ческих ступеней приблизительно пропорционально числу расплав ленных зон, укладывающихся по длине слитка, т. е. чем больше выраженная в длинах зон общая длина загрузки, тем больших сте-

______________

__________ _ _

пеней очистки можно дос-

~1дС

тичь при предельном распре

делении.

\ у

Здесь

имеется

возмож

ность

усмотреть

аналогию

между

зонной

перекристал

лизацией и колонной ректи

фикацией, в которой наи

большее разделение наблюда

ется в стационарном режиме

и без

отбора

дистиллята

число теоретических ступеней

(тарелок) прямо пропорцио

нально

ее высоте.

Предельное

распределе

ние

также

анализировали

Vt ___1___ ___ 1

Б. Н. Александров

с сотруд

никами

[46] в 1956 г. и А. Н.

80 WO Киргинцев

[36] в 1960 г. Они

x , %

получили выражения, анало

Рис.

15.

Предельное

распределение

концентра

гичные

уравнениям (11.10)—

ции

С примеси

при зонной

перекристаллизации

(11.12),

Буррис,

Штокман

(С» = 1):

а — влияние

длины

зоны

/ (/ и 4 —

0,2 L;

2 и

Диллон

[53, с. 225—242 ]

5 — 0,1C;

6 — 0,5С) при двух

значениях

1955

г.

выполнили

анализ

коэффициентов распределения k (/,

3 — k =

4, 5,

6 — A =

0,1);

б — влияние

коэффициентов

расчетным методом, а Б. А.

распределения

— 0,01;

2 — 0,1;

3 — 0,2;

4 — 0,5;

5 — 2;

5 — 5 и 7 — 10) при длине рас

Волчок

[58]

1962 г. рас

плавленной зоны I

= 0.05L.

Расплавленные зоны

смотрел влияние на предель

перемещаются слева направо

расплавленной зоны,

меняющейся

ное

распределение

длины

ходе процесса

в зависимости

от положения зоны по длине загрузки без учета и с учетом влия ния эффекта схода зоны с загрузки в конце процесса.

Наиболее полными и строгими являются исследования предель ного распределения при зонной перекристаллизации, выполненные в 1957 г. Брауном [27, с. 20—31 ] и в 1958 г. Дэвисом [27, с. 32—35].

Было получено хорошее согласие с результатами расчета Бурриса, Штокмана и Диллона [53, с. 225—242 ] по методу Хамминга.

На рис. 14 и 15 представлены некоторые результаты численных расчетов, иллюстрирующих влияние коэффициентов распределения и длины зоны на распределение примесей при зонной перекристал лизации после нескольких проходов и достижения предельного рас пределения. Важно обратить внимание на различный характер влия ния длины расплавленной зоны на концентрационный профиль в случае начальных проходов и в случае предельного распределения.

42'

МЕТОДИКА ЧИСЛЕННОГО РАСЧЕТА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИМЕСЕЙ ПРИ МНОГОКРАТНОЙ ЗОННОЙ ПЕРЕКРИСТАЛЛИЗАЦИИ (МЕТОД ХАММИНГА)

с в я зи

бол ь ш и м

зн а ч ен и ем ,

к о т о р о е

ч и сл ен н ы й

м ето д

р а сч ет а

(по

Х э м м и н г у )

и м еет д л я

и ссл е д о в а н и я

о со б ен н о ст ей

п о в ед ен и я

п р и м есей

п р и зо н н о й

п е р е к р и с т а л

л и за ц и и ,

о н

бы л п о д р о б н о

п р о а н а л и зи р о в а н

и и сп о л ь зо в а н Б у р р и с о м ,

Ш токм аном

и Д и л л о н о м

[5 3 ,

с .

2 2 5 — 2 4 2 ] в

1955

г .,

а т а к ж е

К-

М .

Р о зи н ы м , В .

Н . В и г д о р о в и -

чем и А . Н . К р естов н и к ов ы м

[5 9 ,

6 0 ]

1 9 6 2 — 1965 г г . д л я а н а л и за с л о ж н ы х

к р и с т а л

л и з а ц и о н н ы х

п р о ц есс о в .

Е с л и р а зл о ж и т ь п ер ем ещ ен и е р а сп л а в л ен н о й зо н ы в до л ь за г р у зк и н а о т д е л ь

ны е ср а в н и т ел ь н о

н еб о л ь ш и е

ш аги

е сл и эти

ш аги

у к л а д ы в а ю т ся ц е л о е

ч и сл о р а з

в д л и н е зо н ы

то

к р и ст а л л и за ц и ю

за г р у зк и

м о ж н о п р едста в и ть

в в и де

ст у п ен ч а т о го

п р о ц е с с а ,

к о то р о м

со о т в етств у ю щ и е

у ч а ст к и

за г р у з к и

п о сл ед о в а т ел ь н о

за т в е р д е

в аю т ч ер ез о п р ед е л ен н ы е п р о м е ж у т к и в р е м ен и ,

а и зм ен ен и е о б ъ ем а р а сп л а в л ен н о й

зо н ы к о м п ен с и р у ет ся

р а сп л а в л ен и ем

т а к о г о

ж е

у ч а ст к а

за г р у з к и с

и сходн ы м р а с

п р ед е л ен и ем

п р и м еси .

Т а к а я

сх ем а

о к а зы в а ет ся

у д о б н о й

д л я п р о в ед ен и я

р а сч ет а ,

п о с к о л ь к у

со о т н о ш ен и е

м е ж д у со д е р ж а н и е м

п р и м еси

т в ер д о й

и ж и д к о й

ф а за х м о

ж е т бы ть

р ег л а м е н т и р о в а н о

к оэф ф и ц и ен том

р а сп р ед е л ен и я

к .

С о д ер ж а н и е

п р и м еси

к р и с т а л л и зу ю щ е й с я

ч асти

з а г р у з к и

о п р е д е л я е т с я

су м м о й

к ол и ч еств

п р и м еси ,

в н ес ен н о й

дан н ы м

у ч а ст к о м

п р и

его

р а с п л а в л е н и и ,

п р и м еси ,

п р и н е с е н н о е сам ой

р а сп л а в л ен н о й

зо н о й

и з

о т д а л ен н ы х

ч астей

за г р у зк и .

о б щ ем сл у ч а е

у м ен ь ш ен и ем

дл и н ы ш ага

зо н ы

h в о зр а ст а ет

к о л и ч еств о э л е

м ен т а р н ы х

с т у п е н е й ,

н а

к отор ы е

р а сч л ен я ет ся р еал ьн ы й

н еп р ер ы вн ы й

п р о ц е с с , и,

сл ед о в а т е л ь н о ,

п овы ш ается

ст еп ен ь

то ч н о сти

р а сч ет а .

п р ед е л е —

п р и

н е о г р а н и

ч ен н ом

в о зр а ст а н и и

к о л и ч ест в а

эл ем ен т а р н ы х

ст у п е н е й

— м о ж ет

бы ть

п о л у ч ен

со в ер ш ен н о

точны й р е зу л ь т а т .

сам ом

п р о сто м

сл у ч а е

в р а сч ете

в ы би р ается м ак си м ал ьн ы й ш а г , р авн ы й д л и н е

зон ы

( h

/),

что

со о т в ет с т в у ет

н а и м ен ь ш ем у

к о л и ч ест в у

р асч етн ы х

о п ер а ц и й .

Т о г д а к о н ц ен т р а ц и я

п р и м еси

в н а ч а л е

т - н о го

у ч а ст к а

(всего

н а

д л и н е з а

г р у зк и

у к л а д ы в а ет ся

т а к и х у ч а ст к о в )

п о сл е

о ч ер ед н о г о

( п +

1)-н ого

п р о х о ж д е

н и я р а сп л а в л ен н о й зо н ы о п р е д е л я е т с я в ы р а ж ен и ем

С т + 1 , = А Ц ^ , ( l — k ) m - i >

(1 1 .1 5 )

«=1

к о то р о е м о ж н о п о л у ч и т ь и з р я д а п о сл ед о в а т ел ь н ы х у р а в н ен и й м а т ер и а л ь н о го б а

л а н с а .	З д е с ь :	C j n ) — ср е д н е е зн а ч ен и е к о н ц ен т р а ц и и	п р и м еси	на t-том у ч а ст к е з а .
г р у з к и	п е р е д	очередн ы м - п р о х о ж д е н и е м (т. е . п о с л е	n -н ого	п р о х о ж д е н и я зон ы );

k — к о эф ф и ц и ен т р а с п р е д е л е н и я ; i — и н д ек с су м м и р о в а н и я . И с п о л ь зу я у р а в н е

н и е (1 1 .1 5 ), н ай д ем

зн а ч ен и е к о н ц ен т р а ц и и

в н а ч а л е

( т +

его

у ч а ст к а и п р е о б

р а зу е м ег о к д р у г о м у в и ду :

т+1

f > (1

— k ) m + 1~ i

— k

[C {n) (1

— k ) m +

/=1

+ ф

(1 -

k ) m ~ x +

• • • +

(1 -

k ) + с а д

— k { (1

—

6 )

[ с { п)

( l —

k ) m -

1 - \ - Ц п) (1

— /e)m~ 2 -|----------- 1-

+ c £ ± x ( l — k ) + c £ > + с а д

} = k

(1 — k ) £

c \ n) x

i—1

x (1 — £ )" * - '+ £ < £ } _ !

*( 1 —

* ) 5 j

C < n ) (1 - k ) m - l + k C ^ + l .

i= 1

В р е зу л ь т а т е п о л у ч а ем п р о ст у ю р а сч ет н у ю ф о р м у л у

с а д = ( l - k )

С ^ + Ч + А с а д

(1 1 .1 6 )

4 3

к о т о р а я

св я зы в а ет

и ск о м о е

зн а ч е н и е к о н ц ен т р а ц и и

н а ч а л е о ч е р е д н о г о ( т +

1 )-н ого

у ч а ст к а

п о сл е

( п

1 )-н ого

п р о х о ж д е н и я

со зн а ч ен и ем

д л я

п р ед ы д у щ ег о

т - н о г о

у ч а ст к а

т а к ж е

п о сл е

( п

1 )-н ого

п р о х о ж д е н и я

ср ед н и м с о д е р ж а н и е м

п р и м еси

на

( т +

1)-ном у ч а ст к е

п о с л е

n -о го п р о х о д а .

Е с л и ш аг

у к л а д ы в а ет ся

н а

д л и н е р а сп л а в л ен н о й

зо н ы

I н еск о л ь к о

р а з , то

к о н ц ен т р а ц и я

п р и м еси

б у д е т о п р е д е л я т ь с я

сл ед у ю щ и м и

в ы р а ж ен и я м и :

С [? + 1 )

( ■ -

£=1

т — 1 + //ft

с \ п)

(1 1 .1 7 )

i = l + l / h

h k \ г ( п + 1) 1 ^ p i n )

(1 1 .1 8 )

с д а = ( 1 - т )

i '-‘ m + l / h t

и з

к о то р ы х п р и

I н ет р у д н о

п о л у ч и т ь со о т в етств ен н о в ы р а ж ен и я (1 1 .1 5 ) и

(1 1 .1 6 ).

В с е у к а за н н ы е со о т н о ш ен и я п р и зо н н о й п е р е к р и с т а л л и за ц и и ,

к а к п р а в и л о ,

н е

р а сп р о ст р а н я ю т с я

н а

у ч а ст о к п о сл ед н ей

зо н ы ,

где

р а с п р е д е л е н и е

п р и м еси л егк о

у ст а н а в л и в а ет ся

а н а л и т и ч еск и м и

м етодам и

(в с л у ч а е

о б ы ч н ой

зо н н о й п е р е к р и с т а л

л и за ц и и — п о ср ед ст в о м у р а в н е н и я д л я н о р м а л ь н о й н а п р а в л ен н о й к р и с т а л л и за

ц и и ). С п ец и ф и ч еск и й

х а р а к т ер

р а ссм а т р и в а ем о го

р а сч ет н о го

м ето д а о б ъ я с н я е т

в за и м о св я зь

м е ж д у

ег о т о ч н ость ю

и п р о и зв о д и т ел ь н о ст ь ю .

Ш аговы й

х а р а к т ер

м е

т о д а п р и в о д и т к

су щ ес т в ен н о м у

в о зр а ст а н и ю

к о л и ч еств а р а сч ет н ы х

о п е р а ц и й

п р и

со к р а щ ен и и

д л и н ы

ш а га . П о эт о м у

о д н о й

и з

п ер в ы х

за д а ч

р а сч ет а я в л я е т с я вы бор

о п ти м а л ь н о го зн а ч ен и я р а сч ет н о го ш а г а ,

к о т о р о е п о зв о л я е т д о с т и г н у т ь н а и м е н ь

ш его о б ъ ем а

р а сч етн ы х

о п ер а ц и й

п р и д о ст а т о ч н о й

то ч н о сти

р а зу л ь т а т а .

В к а ч естве

п р и м ер а р а ссм о тр и м

р а сч ет зо н н о й

п е р е к р и с т а л л и за ц и и

п р и

д в у х

р а зн ы х

зн а ч е н и я х

р а сч ет н о го ш а г а ,

п ри ч ем д л я п р о в ер к и

в о с п о л ь зу е м с я

точны м и

зн а ч е н и я м и , к о т о

ры е д л я

п ер в о го

п р о х о ж д е н и я

м о ж н о

н ай ти

по

и зв ест н о й

ф о р м у л е

(1 .3 4 ):

^ L = l _ ( l _ * ) e x p ( - j ) .

(1 1 .1 9 )

Д л я

за г р у зк и

о т н о ш ен и ем

е е

д л и н ы

к д л и н е

р а сп л а в л ен н о й

зо н ы , равн ы м

16,

ср а в н и м р езу л ь т а т ы

п р и в ел и ч и н е

р а сч ет н о го

ш ага

0 ,5 1 и

Л2 =

д л я k =

0 ,1 .

П о л у ч е н н ы е

зн а ч ен и я

п р и в ед ен ы

т а б л .

1. ч ер ез

и н т ер в а л ы ,

р авн ы е

д л и н е , зо н ы ,

п р и ч ем д а ю т ся о тн о ш ен и я и ск ом ы х зн а ч ен и й к о н ц ен т р а ц и й к и с х о д н о й к о н ц ен т р а ц и и .

С о п о ст а в л ен и е и ст и н н ы х и р а сч ет н ы х в ел и ч и н п о к а зы в а ет , что п о гр еш н о ст ь в к он ц е р а сч ет а со ст а в л я ет п р и м ер н о 1% п р и h = 0 ,5 / и 2% п р и h = /, с л е д о в а т е л ь н о ,

д л я

р а ссм о т р ен н о го с л у ч а я

в п о л н е

у д о в л ет в о р и т ел ь н ы е р езу л ь т а т ы

д о ст и г а ю т ся

д а ж е

п р и м а к си м а л ь н о м ш а ге

h = I,

и у м е н ь ш е н и е

ег о с ц ел ь ю п овы ш ен и я

то ч н о сти

р а сч ет а

н е ц е л е с о о б р а зн о . И н тер есн о

о т м ет и ть , что

п р и у в ел и ч ен и и

д л и н ы

за г р у зк и

в дв о е

п о гр еш н о ст ь

н е у в ел и ч и в а ет ся :

п р и и сти н н ом

зн а ч ен и и

0 ,9 5 9

р а сч ет д а е т 0

,9 6

(п р и

h =

I ), х о т я

к о л и ч еств о

р а сч ет н ы х о п е р а ц и й

в о зр о с л о

т а к ж е в

д в а

р а з а .

о с н о в е п р и в ед ен н о г о ср а в н ен и я м о ж н о о ц ен и т ь м а к си м а л ь н о в о зм о ж н у ю п о г р е ш

н о ст ь р еа л ь н о г о

р асч ета : д а ж е

ес л и

п р и н я т ь ,

что

п о гр еш н о ст ь

в о зр а с т а е т

п р о п о р

ц и о н а л ь н о

к о л и ч ест в у

р асч етн ы х

о п е р а ц и й , то

с у м м а р н а я

п о гр еш н о ст ь

р а сч ет а за

о д н у ты ся ч у

о п ер а ц и й

н е

д о л ж н а

п р евы ш ать

60%

(п р и

k =

0 ,1 ) .

С л ед у ет

о т м ет и ть ,

что

н ео б х о д и м ы й

к о н ц е

к а ж д о г о о ч е р е д н о г о

ц и к л а

п р о ц есс а

(н а п р и м ер ,

в к о н ц е

к а ж д о г о

о ч ер ед н о г о

п р о х о ж д е н и я зон ы )

п е р е х о д

о т

зн а ч ен и й к о н ц ен т р а ц и й

д л я г р а н и ц у ч а ст к о в

к ср ед н и м к о н ц ен т р а ц и я м д л я у ч а ст к о в С

м о ж ет

бы ть п р а к т и ч еск и

о су щ ес т в л ен

с д о ст а т о ч н о й

то ч н о сть ю

п о м о щ ь ю

ф о р м у л ы

т р а

п ец и й .

К р о м е

т о г о , с л е д у е т

о тм ети ть си ст ем а т и ч еск и й

х а р а к т ер

п о г р е ш н о с т и ,

что

м о ж е т бы ть и сп о л ь зо в а н о д л я у т о ч н е н и я р е зу л ь т а т о в р а сч ет а .

							Таблица t
СРАВНЕНИЕ		КОНЦЕНТРАЦИИ ПРИМЁСИ ПРИ h С ТОЧНЫМИ
	ЗНАЧЕНИЯМИ, ПОЛУЧЕННЫМИ ПО ФОРМУЛЕ (II. 19)
	Отношение искомой концен				Отношение искомой концен
Расстоя	трации к исходной			Расстоя	трации и исходной		VOq
ние от				ние от
начала	точное	по расчету при		начала	точное	по расчету при
загрузки	точное	по расчету при		загрузки	точное	по расчету при
в длинах	значение	величине шага		в длинах	значение	величине шага
зоны х}1	по фор			зоны х/1	по фор
зоны х}1	муле	h = 0,5/	h = l	зоны х/1	муле	h =0,5/	h = l
	(11.19)	h = 0,5/	h = l		(11.19)	h =0,5/	h = l
0	0 ,1 0 0	0 ,1 0 0	0 ,1 0 0	8	0 ,5 9 6	0 ,6 0 3	0 ,6 1 3
1	0 ,1 8 6	0 ,1 8 7	0 ,1 9 0	9	0 ,6 3 4	0 ,6 4 3	0 ,6 5 1
2	0 ,2 6 3	0 ,2 6 8	0 ,2 7 1	10	0 ,6 6 9	0 ,6 7 9	0 ,6 8 6
3	0 ,3 3 3	0 ,3 3 9	0 ,3 4 4	11	0 ,7 0 0	0 ,7 1 1	0 ,7 1 8
4	0 ,3 9 7	0 ,4 0 4	0 ,4 1 0	12	0 ,7 2 9	0 ,7 3 9	0 ,7 4 6
5	0 ,4 5 4	0 ,4 6 3	0 ,4 6 9	13	0 ,7 5 5	0 ,7 6 4	0 ,7 7 1
6	0 ,5 0 6	0 ,5 1 5	0 ,5 2 2	14	0 ,7 7 8	0 ,7 8 7	0 ,7 9 4
7	0 ,5 5 3	0 ,5 6 3	0 ,5 7 0	15	0 ,7 9 9	0 ,8 0 8	0 ,8 1 5
В о м н о г и х к р и ст а л л и за ц и о н н ы х р а зд ел и т ел ь н ы х п р о ц е с с а х п о сл е н ек о т о р о го
н а ч а л ь н о го п ер и о д а у ст а н а в л и в а ет ся ст а ц и о н а р н о е со с т о я н и е ,						н ап р и м ер п р ед е л ь

н о е р а с п р е д е л е н и е п р и зо н н о й п е р ек р и ст а л л и за ц и и за г р у зк и к он еч н ой дл и н ы .			П ри
это м п о с л е д у ю щ и е	ц и к л ы п р и п р е ж н е м	р еж и м е н е и зм ен я ю т р а сп р ед е л ен и я п ри м еси .
П р е д е л ь н о е р а с п р	е д е л е н и е м о ж ет бы ть	д о ст и г н у т о з а б о л ь ш ее и ли м ен ь ш ее	число

п р о х о д о в в за в и си м о ст и о т т о г о , к ак и м и сп о со б а м и и с п ом ощ ью к а к и х р еж и м ов он о


д о с т и г а е т с я .		В о з м о ж н о , д л я		б о л ь ш и н ст в а р а ссм а тр и в а ем ы х п р о ц есс о в				д л я у с к о
р ен н о г о	д о с т и ж е н и я		п р е д е л ь н о г о р а с п р е д е л е н и я			о к а ж е т с я в п о л н е	ц ел есо о б р а зн ы м
п р о в ед ен и е		н а ч а л ь н о й ст а д и и		в о с о б о м	р е ж и м е ,	к оторы й о т л и ч ен	о т о сн о в н о г о		р е
ж и м а .	Е с л и	за д а ч е й	р а сч ет а	я в л я ет ся	н а х о ж д е н и е п р ед е л ь н о го р а сп р едел ен и я .,				то
д л я ф о р си р о в а н н о г о			р еш ен и я	м о ж н о	в о сп о л ь зо в а т ь ся ан ал оги ч н ы м и			расчетн ы м и

сп о со б а м и . Д л я у с к о р е н н о г о н а х о ж д е н и я п р ед е л ь н о го р а сп р ед е л ен и я м о г у т п р и м е

н я т ь ся к ак о со б ы е , у с к о р я ю щ и е р асч етн ы е р еж и м ы , отл и ч н ы е о т о сн о в н о г о р еж и м а ,

т а к и сп о со б п р и б л и зи т ел ь н о г о р а с п р е д е л е н и я , к о гд а и з н ем н о ги х п р и м ер н ы х о ц е

н о ч н ы х р а сп р ед е л ен и й		в ы б и р а ется		са м о е б л и зк о е	к	п р ед е л ь н о м у р а сп р ед е л ен и ю ,
п о д в ер г а ет ся к о р р е к т и р о в к е и п р осч и ты в ается по					за д а н н о м у р е ж и м у		д о у с т а н о в л е
н и я	п р ед е л ь н о го р а с п р е д е л е н и я .		С	п ом ощ ью у к а за н н ы х сп о со б о в о б ъ ем р асч ета м о
ж е т	бы ть со к р а щ ен в	н еск о л ь к о	р а з . В св я зи с эти м			с л е д у е т п о д ч ер к н у т ь и н т е р е с
н у ю	о с о б е н н о с т ь р а ссм а т р и в а ем о го			м е т о д а , к о то р а я		х а р а к т ер н а д л я	ш аговы х и т е

р а ц и о н н ы х в ы ч и сл ен и й . П р и н а л и ч и и о ш и б к и в х о д е р а сч ет а , к о т о р у ю м о ж н о р а с


см а тр и в а т ь		к ак	р е зу л ь т а т о т к л о н ен и я			п р о ц есс а		о т за д а н н о г о	р е ж и м а , д о ст а то ч н о
н еб о л ь ш о го		ч и сл а ц и к л о в			(п р а к т и ч еск и	д в а -т р и		п р о х о ж д е н и я	зо н ы ), чтобы	п о л н о
сть ю	у с т р а н и т ь		о ш и б к у , и н ач е г о в о р я ввести си ст ем у в за д а н н ы й р еж и м . П р ак ти к а
р а сч ет а п о д т в ер д и л а ,				что	д л я п р о в ер к и	п р ед е л ь н о го р а сп р ед е л ен и я д о ст а то ч н о п р о
в ести	в сего	о д и н	ц и к л	р а сч ет а . К р и т ер и ем			в это м	сл у ч а е б у д е т	я в л я ть ся со в п а д ен и е
о б о и х	р е зу л ь т а т о в . Г р а ф и ч еск а я п р о в ер к а						р а с ч е т а , о сн о в а н н а я		н а вы явл ен и и	р езк о

о т к л о н я ю щ и х с я то ч ек о т за к о н о м ер н о г о х о д а к р и в о й р а с п р е д е л е н и я , т а к ж е п о зв о л я е т о б н а р у ж и т ь о ш и б к и .

ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТНЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРИМЕСЕЙ

Несмотря на значительные успехи в области аналитического реше ния уравнений зонной перекристаллизации, из-за слишком общего характера или громоздкости результатов этих исследований между ними и практикой зонной перекристаллизации оказался разрыв.

Он был сокращен, когда Буррис, Штокман и Диллон [53, с. 225—242 ] приближенным интегрированием по методу трапеций решили ин тегральное уравнение баланса примеси для зоны и получили боль шую группу кривых распределения, до настоящего времени явля ющуюся полезным средством изучения и ориентировочного предска зания результатов зонной перекристаллизации. Полученные расчет ные выражения оказались удобными для машинных численных расчетов. При расчетах «вручную» объем вычислений по ним слишком велик. По этой причине при «ручном» счете обычно пользуются численным методом Хамминга, который прост, гибок, применим ко всем известным в настоящее время вариантам зонной перекри сталлизации и позволяет учитывать изменение отдельных параметров

входе процесса.

Врезультате разработки расчетных формул, отражающих такого рода процесс, удалось достичь автоматизма, необходимого при боль шом объеме вычислений. Хотя возможность приближенной замены плавного движения зоны скачкообразным (при конечной длине

скачка) в методе Хамминга не вызывает сомнения, однако обращает на себя внимание искусственность такого приема. Поэтому В. Н. Вигдоровичем и А. Е. Вольпяном [61—63] был разработан расчетный метод, свободный от этого допущения.

Дифферейциальное уравнение зонной перекристаллизации при пфанновских допущениях имеет следующий вид:

с ; (х) = \ [Сп_г (X + /) - Сп (х)),

(II.20)

где Сп (х) — концентрация в точке х слитка после n-ного прохода зоны;

k — коэффициент распределения; I — длина зоны;

х — расстояние рассматриваемой точки загрузки от начала. При решении этого уравнения необходимо учесть следующие на

чальное и граничные условия:
С0 (х) = С0;			(П.21)
	i
Cn(0) = - Y - J c n_1(x)dx			(11.22)
	о
И
Сп(х) = -J- с„ (L — / — 0)		при L — l < x «£ L	(II.23)
или
Cn(x)==Cn(L — 1)	У	1 при L — l ^ x ^ L .	(И.24)

Условие (П.23) предполагает равномерное затвердевание в по следней зоне загрузки, когда концентрация расплава, а следова-

4 6

тельно, и концентрация всей последней закристаллизовавшейся зоны в l/k раз отличается от концентрации слева от точки х = L — /, где L — длина загрузки. Условие (11.24) соответствует процессу нормальной направленной кристаллизации последней зоны.

Будем концентрации и длины измерять соответственно в единицах исходной концентрации С0 и в единицах длин зон /; это равносильно

тому, как если бы	мы в выражениях			(11.20)—(11.24)	положили
С0 = 1. В результате получим
С'п (х) = k [С„_х (х +		0 — Сп (х) ],			(11.25)
	С0 (х)=	1;			(11.26)
	i				(11.27)
Сп ( 0 ) ^ k \ c n_1 (x)dx;					(11.27)
	о
С„ (х) =	С„ (L — / — 0)		при L — K x z ^ L - ,		(11.28)
С„ (х) = Cn (L — /) (L — x)ft_1			при	L — / х sg: L,	(11.29)

Запишем разложение функции Сп (х), представляющей собой концентрацию в данной точке х загрузки после л-ного прохода зоны, в ряд по степеням Ах в точке х + Ах:

с в (х + дх) = с п(х) + ^ с л х ) + ^ £ с ; ; ( х ) + . . .	(п.зо)
Это разложение верно для всех значений х, в которых	Сп (х)

и ее производные существуют и непрерывны. Допустим, что это усло вие выполняется. Значения производных можно найти из дифферен циального уравнения баланса примеси для зоны (11.20). Для этого потребуется его последовательное дифференцирование. Таким обра зом, получим:

С"п(х) =		[с;_, (х + /) — С'п (х)] =
= ( 4 ) 2 Юп- 2		(х + 21) - 2Сп., (х + /) +		Сп(х)];	(11.31)
Сп *(х) — ( ~ )		{Cn—i (X + И) + (— 1) ^		j J j J \| X
X C n —( i —l) [X +	(i	1) /] + (— l)2	2 ) \ 2 !	C n- ( i - 2 )	X
X [x +	(i - 2) / ] + . . . +		(-l)'C „ (x )} .		(11.32)

Коэффициенты при концентрациях в равенствах (11.20)—(11.32) — биноминальные. Таким образом, для вычисления концентрации при л-ном проходе достаточно знать распределение концентраций при предыдущих проходах.

Ограничившись в разложении (11.30) двумя первыми членами и подставив вместо С'п (х) ее выражение (11.25), получим в качестве первого приближения

Сп(х	Ах) = Сп (x).-f- [С„_х (х -f- /)		Сп(х)] k Ах.		(11.33)
Аналогично в качестве второго приближения получим
Сп (х 4~ Ах) = Сп (х) -\|- [С„_х (х 4~ /) — С„ (х)] &Дх -\-
• +[С„_2(х + 2)-2 С „_ 1(х + /) +			Ся(л) ] - ^ ^ - .		(П.34)
В качестве третьего приближения
Сп(х + Ах) = С„ (х) [Сп_г (х + /) — С„ (х)] k Ах +
+ Сп_г (х + 2/) -		(х + /) + Сп(х)]		+
4~ [Ся_з (х +	3/)—ЗС„_2 (х -\|- 21) -\|- ЗС„_Х(х -\|- /) 4- Сп (х) ^				3 1^
					(11.35)

и т. д.

Влияние начального условия (11.26) ведет к тому, что уравнение (11.34) оказывается справедливым начиная со второго прохода, а уравнение (11.35) — с третьего прохода зоны. Для первого прохода

втором приближении

	С1(х 4~ Ах) — Сх(х) 4' [ 1 — Сг Ml		k Ах	(k Дх)2		(11.36)
	С1(х 4~ Ах) — Сх(х) 4' [ 1 — Сг Ml		k Ах		2]	(11.36)
					2]
а в	третьем приближении
	С1(х 4- Ах) — Сх (х) 4” [ 1 — Сх(х)]	k Ах — (£ Дх)2			(йДх)3 1
			2 !		3!
						(11.37)
Для	второго прохода в третьем приближении
	С2 (х 4- Ах) = С2 (х) 4- [Сх (х 4- 0 — С2 (х4 k Ах 4-
	4- [ 1 - 2Ci (х + /) + С2 (х)]	+ [ -	2 + 3Сх (х 4- D -
	- С 2( х ) ] ^ ^ .					(11.38)

По уравнениям (11.33)—(11.38) можно вести приближенный расчет концентраций в полубесконечных слитках. Граничное условие (11.27) дает возможность по концентрациям (п — 1)-го прохода найти одну концентрацию n-ного прохода, необходимую для последующего расчета Сп (х).

В случае загрузки ограниченной длины требуется учесть гранич ное условие (11.28) или (11.29). Можно видеть, что в точке х = L — /

нарушается непрерывность производной С'п (.х), а при условии (11.28) нарушается и непрерывность самой функции С„ (я). В результате,

если после первого	прохода разложение (11.30)	не выполняется
в одной точке х = L	— I, то после второго прохода	— в двух точках:

х = L — / и х = L — 2/; после третьего прохода — в трех точках, удаленных от конца загрузки на целое число длин зон и т. д. По

этому, чтобы пользоваться	разложением (11.30) при	условии х >>
> L — nl, нужно выбирать	интервалы Ах такими,	чтобы указан

ные точки нарушения непрерывности приходились на концы этих интервалов.

Влияние граничного условия (11.28) или (11.29) ведет также к тому, что в предпоследней зоне загрузки после всех проходов на чиная со второго для расчета во втором приближении должна исполь зоваться зависимость

Сп (х -)- Ах) — Сп (х) -)- [С„_х (х -f- /) Сп(х)] 6 Ах +
+	—fe-Cn—i (х -\- I) — С„_1 (х -{- /) -f- Сп(х) (k Ах)2 .		(11.39)
для расчета	в третьем приближении в той же	зоне — зависимость
Сп (х -f- Ах) — Сп (х) -f- [Сп_х(х -}- /) — Сп (х)] k Ах -\-
+	■С,j_i (х I) — С„_х (х -\|- 1) -f- Сп (х)	(k Ах)2
+	■С,j_i (х I) — С„_х (х -\|- 1) -f- Сп (х)	2 !
		2 !
k2- C~ nn -- ll	(х -fI - /)Ч ----- kГ- С’п- l (х -(- /) -\|- С„_1 (х	/) —-С п (х)	(k Ах)3
			(11.40)

а для третьей зоны от конца в третьем приближении — зависимость

Сл (х Дх) = Сп (х) -j- [С„_х (х —j—/) — Сп (х)] k Ах -\-

+ [Сп—2(х + 2) — 2С„_х(х -)- /) + С„ ( х ) ] ^ — [-

+ -j Сп-2(х +2/) — 2Сп_г (х	21) ЗСп_1 (х -f- /) Сп (х)			(й Ах)3
+ -j Сп-2(х +2/) — 2Сп_г (х	21) ЗСп_1 (х -f- /) Сп (х)			— 3!
				— 3!
				(11.41)
Концентрации С„_г (х + /)	в	уравнениях	(11.39) и (11.40) и
С„_2 (х + 21) в уравнении (11.41)		определяются	из условия (11.28)

и (11.29), а производные — путем дифференцирования этих условий. При остальных значениях п и х приближенный расчет концентра ций в загрузках конечной длины можно вести по уравнениям (II.33)— (II.38) для полубесконечных загрузок.

Необходимо отметить, что если второе граничное условие опреде ляется выражением (II.29), то, как это следует из равенства (II.25), начиная со второго прохода при х --> L — I, Сп’ (х) ->0 и расчет С„ (L — I) по полученным выше приближенным формулам приводит

4 В. Н- Вигдорович

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 205 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ