книги из ГПНТБ / Диткин, В. А. Интегральные преобразования и операционное исчисление

внешних факторов заранее компенсируются созданием запасов прочности, надежности и т. п., то в указанных науках необходимо считаться с наличием типически инди­ видуализированных реакций на внешние воздействия неодинаковых, в общем-то «не серийных» объектов.

Наконец, если в технических науках зачастую приме­ нимы упрощающие исследование принципы «мгновенного действия», суперпозиции и др., связанные с гипотезой од­ нородности времени, то при изучении «органических» мезо- и макромодульиых процессов приходится учитывать явления гистерезиса (т. е. запаздывания реакции на дей­ ствие), явления, связанные со специфичностью действия неразложимых на составные элементы комплексов внеш­ них факторов, а также явления, связанные с фактической неоднородностью отдельных времен дня, ¡сезонов года и т. п.

Все эти обстоятельства несомненно заслуживают вни­ мания при решении вопроса об очередности процедур груп­ пировки и обобщения эмпирически зафиксированных тра­ екторий, а также при переносе за рамки технических наук тех методов обобщения опытных данных, которые «внутри» технических дисциплин успешно себя зареко­ мендовали.

Основными среди этих методов являются так называе­ мые обобщение по множеству и обобщение по времени.

Обобщение по множеству состоит в том, что статисти­ ческой обработке подвергается некоторая совокупность траекторий, зафиксированных для множества одинаковых объектов в те или иные моменты времени. Правомерность такой процедуры основывается на предположениях о тож­ дественности изучаемых объектов и о тождественности различных интервалов времени.

Врезультате статистического усреднения при подоб­ ном обобщении исключаются все индивидуальные особен­ ности отдельных траекторий, все привходящие и случай­ ные факторы и выявляются устойчивые, типичные харак­ теристики данной совокупности траекторий.

Вобласти социологии, психологии, медицины, физиоло­ гии и т. п. дисциплин обобщение по множеству дает воз­ можность установить общие, усредненные характеристики явлений применительно к некоторым статистическим сово­ купностям индивидов. Так, например, в результате такого обобщения можно получить сведения о том, насколько

119

цичных сезонных колебаний некоторого показателя (то­ варных запасов, коэффициента рождаемости и т. п.).23 Мы специально подчеркнем здесь связь этих обоих способов обобщения с гипотезой однородности времени, так как ее применимость требует специального обоснова­

ния в каждом конкретном случае.

Обобщение по множеству недатированных траекторий и сплошное обобщение по любым, произвольно выбран­ ным интервалам времени вполне допустимы в тех случаях, когда объекты исследования во всех отношениях одина­ ковы, когда надежно установлены стандартные условия воспроизведения эксперимента и когда заранее известен полный список существенных для данного явления внеш­ них естественных факторов.

Если же мы имеем дело с объектами заведомо неодно­ родными, изменчивыми, малоизученными и если есть основания предполагать различные интервалы реального времени неэквивалентными в интересующем нас отноше­ нии, то от выбора того или иного способа обобщения эмпи­ рических данных будет зависеть возможность более или менее точного истолкования обобщенных результатов, сте­ пень надежности исследовательских выводов.

Степень точности и надежности выводов при обобще­ нии зависит также и от того, насколько «органично» выбранное для исследования множество объектов, рас­ сматривается ли случайная статистическая выборка объектов или совокупность объектов, входящих в некое целостное объединение.

Так, например, при социологическом исследовании научных кадров мы можем объединить в одну группу, скажем, всех имеющих ученую степень мужчин в возрасте от 30 до 40 лет, независимо от местожительства и места работы; при другом, более детальном подходе можно рас­ сматривать группу мужчин в возрасте от 30 до 40 лет, имеющих ученую степень и при этом занятых в одном и том же научном коллективе или живущих в одном го­ роде и т. п.

Однако в этих случаях требуемая степень точности и надежности выводов определяется конкретной исследова­ тельской задачей в соответствии с компетенцией конкрет­ ной отрасли науки.

23 Я. П. Г ѳ р ч у к. Графические методы в статистике, с. 145.

121

§ 6. Аналитическое описание траекторий

Со времен Декарта, установившего понятие переменной величины и связь между графической и ана­ литической формами ее записи, мощным средством каче­ ственного и количественного анализа траекторий стало рассмотрение тех или иных математических функций, описывающих некоторую траекторию в символическом виде.

Задача адекватного аналитического описания измен­ чивости разнообразных реальных явлений на протяже­ нии уже многих столетий не теряет своей актуальности. Эта задача по сути дела послужила стимулом для выра­ ботки многих важнейших математических понятий, та­ ких как переменная и постоянная, функция, бесконечно малая величина, производная и дифференциал, интеграл, вектор, логарифм, вероятность, случайная величина и случайный процесс и т. д. Попытки решения этой задачи можно обнаружить у истоков развития многих математи­ ческих теорий и целых разделов математики.

Поэтому не удивительно, что сегодня существует трудно обозримое множество разнообразных подходов к аналитическому описанию траекторий.24 Наиболее рас­ пространенными среди них являются, пО-видимому, сле­ дующие четыре:

1) приближенное изображение функциональной зави­ симости и подбор эмпирических формул;25

24 Например, для анализа лишь так называемых нелинейных уравнений и связанных с ними траекторий указывается до три­ надцати разных методов (И. И. К р и н е ц к и й. Расчет нелиней­ ных автоматических систем, с. 18 и далее).

25 См., например: И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. Справочник по математике. Μ., 1957, с. 571 и далее; Я. П. Герчук. Графические методы в статистике, с. 140—145; П. Фресс, Ж. Пиаже. Экспериментальная психология, выл. III. Μ., 1970,

с. 40-43.

20 См., например: Μ. Г. Серебренников, А. А. Перво-

штейн, К. А. Семендяев. Справочник по математике, с. 549 и далее, и др.

122

jφai3neιπ≡;27 особая разновидность этого подхода — со­ ставление разностных уравнений;28

4) теоретико-вероятностный подход и, в частности, применение методов теории случайных процессов.29

Используется также иногда «индивидуальный» под­ ход к анализу отдельной траектории, когда наиболее важ­ ные ее характеристики (амплитуды, перемены знака или направления, запаздывание, частота, продолжительность отдельных стадий и др.) переводятся непосредственно в числовую форму прямо с графика.30

Каждый из этих подходов связан с использованием особых форм математического аппарата, включающих свой круг специальных понятий и терминов; каждый из подходов имеет свои достоинства и недостатки.

Выбор наиболее подходящего из них зависит от многих обстоятельств — от постановки исследовательской задачи, от исходного материала, от намеченных способов обобще­ ния и группировки опытных данных, от той или иной по­ следовательности узловых этапов обработки данных п т. п.

Мы рассмотрим некоторые из возникающих при этом методологических проблем, имея в виду прежде всего

зиционных характеристик протекания реальных явлений во времени.

C этих позиций нас интересует, во-первых, адекват­ ность того или иного аналитического описания траекто­ рии фактическим особенпоетям хода во времени ее «жи­

27 А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. Теория колебаний; Л. Я. Ц л а ф. Вариационное исчисление и интеграль­ ные уравнения. Μ., 1966, и др.

“Я. С. Б е з и к о в и ч. Исчисление конечных разностей. Л., 1939; Я. 3. Цыпкин. Теория линейных импульсных систем. Μ., 1963, и др.

29 А. Ф. Романенко, Г. А. Сергеев. Вопросы приклад­ ного анализа случайных процессов. Μ., 1968; А. Л. Зиновьев, Л. И. Филиппов. Введение в теорию сигналов и цепей. Μ.,

123

вого» прообраза; во-вторых,— и это основное — возмож­ ности прогнозирования во времени реальных процессов предоставляемые тем или иным аналитическим подхо­ дом.

В качестве исходного материала для аналитического описания могут использоваться как единичные траекто­ рии (например, уже графически обобщенные, сглаженные или, наоборот, уникальные), так п некоторые множе­ ства их. Далее, могут рассматриваться траектории уже завершенных реальных процессов «задним числом», а также траектории процессов еще не закончившихся, с неизвестным заранее финалом. Наконец, для анализа могут использоваться полные, целостные траектории, отражающие ход реального процесса от начала до конца, и траектории фрагментарные, отражающие более

случае, мы выделим здесь следующие:

1)выявление основной тенденции развития реаль­ ного явления, его общей направленности;

2)анализ отклонений конкретной траектории от не­ которой эталонной кривой;

исследовании единичных траекторий, построенных либо для отдельной, уникальной реализации процесса, либо как обобщение множества траекторий для нескольких реали­ заций.

Подбор эмпирических формул для некоторой кривой позволяет выразить в аналитической форме основную тенденцию процесса — общее нарастание или спад, ускорение или замедление хода процесса и т. п. Основное до­ стоинство этого подхода в том, что он помогает исклю­ чить всевозможные случайные отклонения, вызванные второстепенными, привходящими факторами. Однако в этом же и его основной недостаток: прогноз хода про­ цесса будет справедлив лишь для достаточно крупных ин­

124

тервалов времени, эмпирические данные о ходе про­ цесса в каждый текущий момент почти неизбежно будут отклоняться от теоретически предвычисленных величин. Поэтому такой подход необходимо использовать с извест­ ной осторожностью, с учетом допустимых границ 'интер­ поляции и экстраполяции аналитически выраженной тра­ ектории конкретного процесса.

Гармонический апалпз и разложение в ряды исполь­ зуются в основном при исследовании траекторий процес­ сов, имеющих сложный колебательный характер. Суть этого подхода в том, что сложное, нерегулярное колеба­ тельное движение представляется как результат наложепия друг на друга ряда гармонических (регулярных) колебаний с разновеликими периодами или частотами. Такое разложение в некоторых случаях позволяет вы­ явить в общем сложном механизме формирования колеба­ тельной траектории те или иные источники периодиче­ ских колебаний и затем построить модель реального яв­ ления.

В принципе гармоническому анализу могут подвер­ гаться сколь угодно сложные по рисунку колебательные траектории; однако это связано со значительной трудо­ емкостью вычислений. Для получения достоверных выво­ дов необходимо также использование достаточно «длин­ ных» траекторий, охватывающих большое число отдель­ ных колебаний.

Этот подход может использоваться как при исследова­ нии «задним числом» уже зафиксированных траекторий, так и в экспресс-анализе текущих событий. В обоих слу­ чаях на основе принципа разложения в ряды иногда раз­ рабатываются специальные механические, электрические или электронные анализаторы, позволяющие механизи­ ровать трудоемкую процедуру анализа.

К числу основных недостатков данного подхода отно­ сится то, что при гармоническом анализе построение иерархии разнопериодных гармоник производится зача­ стую априорно, по принципу равномерного последова­ тельного деления. Это усложняет, с одной стороны, вы­ явление фактических периодичностей, далеко ііе всегда имеющих регулярный гармонический характер; с дру­ гой стороны, такой подход может привести к выявлению периодичностей фиктивных, не имеющих под собой осно­ вания в самом реальном явлении. Оба недостатка гармо-

125

нпческого анализа необходимо иметь в виду при исполь-.. зовании его в прогностических целях.

Составление интегральных и дифференциальных или разностных уравнений — сравнительно «молодой» подход к аналитическому описанию траекторий. Существенный вклад в его развитие внесли А. А. Андропов, А. А. Витт и С. Э. Хайкин, разработавшие так называемую каче­ ственную теорию дифференциальных уравнений второго порядка.31 Они же использовали для анализа разногорода колебаний специфическую конструкцию фазовой поверх­ ности, точки которой определяются некоторой перемен­ ной величиной и величиной скорости ее изменения.

Траектории на такой фазовой поверхности (она может быть плоской, цилиндрической и т. и.) представляют со­ бой по сути дела некие вторичные графические образы изучаемого процесса: они строятся по вычисленным ре­ шениям того или иного дифференциального уравнения,

ане непосредственно из опыта. Огромное преимущество такого рода траекторий в том, что из знания их рисунка (замкнутая кривая, точка, прямая линия, спираль и т. д.),

атакже из знания величины так называемой фазовой скорости moh<ho вывести чисто теоретическим путем об­ щий характер движения некоторой физической системы, его основные качественные черты.

Рассматривая некое дифференциальное уравнение, можно построить при разных исходных условиях целое семейство «вторичных» траекторий, составляющих легко

совокупность движений, могущих возникнуть при все­ возможных условиях».32*

Используя дифференциальные уравнения разного по­ рядка п разной структуры, можно аналитически описать, вообще говоря, траектории с самыми разными рисун­ ками, начиная от прямолинейных, включая гармониче­ ские колебания, и вплоть до колебаний с очень сложной композицией (разрывные, дискретные и т. и.), подходя­ щих под общую формулу: «Колебанием называют любой

31A. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. Теория колебаний, с. 395 и далее.

■32 Там же, с. 40.

126

процесе 2∙,(i), не удовлетворяющий условию ж(i) =const

при — ∞ <t< ∞>>∙33

Однако метод составления дифференциальных ура­ внений для аналитического описания траекторий реаль­ ных процессов не свободен от ряда серьезных недостатков.

Первый из них — необходимость более или менее глубокой идеализации реальных процессов, т. е. пост­ роения их более или менее упрощенной модели, опи­ сываемой сравнительно простыми, доступными для ре­ шения уравнениями.

Уже так называемые параметрические процессы (т. е. процессы в системах с регулируемыми параметрами), а также процессы нелинейные (т. е. процессы в системах, параметры которых бесконтрольно меняются в ходе про­ цесса) описываются соответственно параметрическими п нелинейными уравнениями. А такие уравнения в на­ стоящее время «могут пока быть точно решены лишь в отдельных частных случаях. Поэтому единых методов расчета для всех параметрических и нелинейных цепей не существует».34

Правда, теперь уже построена теория систем с пе­ ременной структурой,35 с помощью которой можно успе­ шно решать задачи управления объектами с изменя­ ющимися и неизвестными параметрами. Но необходи­ мость идеализации реальных явлений сохраняется и в этой теории.

Второй серьезный недостаток аналитического описа­ ния траекторий реальных процессов при помощи дифференциальных уравнений состоит в том, что. этот метод применим в основном для траекторий, удовлетворящих требованию математической непрерывности.3638* От соблюдения этого требования зависит возможность дифференцирования соответствующих функций, т. е. оп­ ределения мгновенных значений быстроты или скорости изменения переменных в ходе процесса, мгновенных ве­ личин ускорения и т. п.

33 А. Л. Зиновьев, Л. И. Филиппов. Введение в теорию сигналов и цепей, с. 5.

34 Там же, с. 151.

36 Теория систем с переменной структурой. Под ред. С. В. Емельянова. Μ., 1970.

38 См., например: H. Н. Лузин. 1) Дифференциальное исчис­ ление. Μ., 1952 с. 83 и далее; 2) Ньютонова теория пределов,— В кн.: Исаак Ныотон, 1643—1727. Μ.—Л., 1943, с. 64, 72, и др.

127

Заслуживает также специального внимания примени­ мость принципа мгновеипого действия (и соответственно возможность пренебрежения гистерезисом, или ве­ личинами запаздывания реакций во времени) при соста­ влении дифференциальных или разностных уравнений на основе закона сохранения энергии. Так, при рассмо­ трении мезо-, макро- и мегамодульных процессов этот принцип применим, видимо, лишь в тех случаях, когда мы не претендуем на вполне адекватное отображение всех мельчайших деталей хода изучаемого процесса.

Как известно, при некоторых условиях дифференци­ альные уравнения могут быть заменены соответствую­ щими интегральными уравнениями.37 Поэтому высказан­ ные выше соображения в общих чертах можно распространить и на этот вид аналитического описания траекторий.

Подход, основанный на теории случайных процессов, с самого начала связан с графически наглядным траек­ торным представлением хода реальных процессов во времени. G самого начала он ориентирован на возмож­ но более адекватное отображение сложного рисунка тра­ екторий, исходя из того, что «строго говоря, пи один реальный процесс не может быть точно определен, т. е. задан аналитической функцией времени. Излучение несущего колебания передающей станции, ход высоко­ стабильных молекулярных часов (так называемых стан­ дартов) — это процессы, не обладающие абсолютно неизменными параметрами. Сдвиг фазы, частоты, а также амплитуда таких колебаний с течением времени ме­ няются».38

В эмпирическом исследовании этот подход задает четкую в методологическом отношении платформу из двух основных пунктов: а) точно зафиксировать траекто­ рию отдельной реализации процесса со всеми ее индиви­ дуальными особенностями; б) набрать достаточно боль­ шое число единичных реализаций для получения надежных выводов об особенностях хода изучаемого процесса (либо фиксировать ход процесса в течение достаточно длительного интервала времени).387

37 См., например: Л. Я. Цлаф. Вариационное исчисление и интегральные уравнения, с. 107, и др.

38 А. Л. Зиновьев, Л. И. Филиппов. Введение в теорию сигналов и цепей, с. 82.

128