книги из ГПНТБ / Диткин, В. А. Интегральные преобразования и операционное исчисление

τcp∏3yeτ действенность, эффективность прилагаемой к данному объекту внешней нагрузки с учетом момептного состояния объ­ екта, его подготовленности к восприятию именно данной на­

грузки.

Величина τ представляет собой теоретическую продолжи­ тельность взаимодействия при данных величинах D, К, Pn и

Pb- q — коэффициент пропорциональности.

Вырая^енпе (1) справедливо для тех случаев, когда при составлении уравнений используется закон сохране­ ния энергии. Будучи обобщением ряда формул классиче­ ской физики, оно сохраняет смысл при тех же упроща­ ющих допущениях, которые положены в основу соответ­ ствующих законов. Главнейшим среди этих упрощений является рассмотрение лишь таких стадий взаимодействия объектов, на которых наблюдается линейная, прямо пропорциональная зависимость между величинами вне­ шнего действия и изменения состояний объекта (т. е. таких стадий, когда величины D, К, Pn и Pn могут рас­ сматриваться как независимые друг от друга).

Имея в виду эти условия, выражение (1) можно пре­ образовать в те или иные привычные для школьных учебников формулы.21

Q

тока I = — и полагая g = 1, мы приходим к формуле закона Ома:

U

I = -R-. Если мы примем, что механическая сила F = Pn — Pn,

масса тела т = D и изменение скорости движения данного тела при действии па него за время t = τ силы Нравно Tz1 — V0 = K,

ряются), <7=1, К = I1 — I0 = M (где I0-исходная длина образ-

■ EF

да и M — абсолютное удлинение), D = —,— (где E — модуль упруiO

гости образца, F — площадь его поперечного сечения); внешнее' растягивающее усилие представим как P = Pu—Pn (при отсут--

Преимущество выражения (1) по сравиеиию с дру­ гими символическими формулировками взапмосвязв между физическими величинами в том, что оио представ­ ляет в явной форме важную временную характеристику процессов взаимодействия — их теоретический модуль продолжительности, величина которого может определять­ ся в конкретных случаях и эмпирическим путем.

В связи с этим, допуская расширительную трактовку законов сохранения, можно поставить, в эвристическом плайе, следующий вопрос: нельзя ли распространить вы­ ражение (1), при тех же упрощающих допущениях, из области сугубо физических явлений иа области явлений биологических, психологических, информационных?

Само собой разумеется, что при этом потребуется в каждом конкретном случае переосмысление величии D, К, P1, и Pn. Однако для размышлений в этом направле­ нии побуждающим стимулом может послужить хотя бы, скажем, перспектива сравнительного анализа величин Pn для таких случаев, когда заведомо эквивалентны величи­ ны D, К и Pn пли т, D и Pn.

Третье замсчаипе касается той схемы дефини­ ции конкретных процессов, которая приведена в конце § 1 этой же главы.

По-видимому, такая схема ие только вносит уточне­ ние предмета в обсуждение конкретных явлений, по и в сочетании с формальной классификацией процессов может использоваться как вспомогательное средство при эвристическом поиске и выяснении ранее не обсуждав­ шихся, не изучавшихся явлений.

Так, например, известно следующее определение общего предмета химии: «Химия есть наука о превраще­ нии веществ. Она изучает состав и строение веществ, зависимость свойств вещества от его состава и строения,

претировать выражение (1) и для целого ряда других физических

100

ГЛАВА IV

МЕТОДОЛОГИЯ ОТОБРАЖЕНИЯ ПРОЦЕССОВ И АНАЛИЗА ТРАЕКТОРИИ

§ 1. Эмпирическая стадия структурно-диахронического исследования

Если при синхроническом исследовании некото­ рой коллекции объектов можно раз за разом перебирать их, заново и заново рассматривать, то при изучении «жи­ вого» реального процесса надо сначала научиться улав­ ливать мимолетное, текущее, движущееся, научиться вы­ делять из всего неиссякаемого разнообразия различных сторон и особенностей процесса главное, основное для дан­ ной исследовательской задачи. Умение остановить движе­ ние, зафиксировать ход процесса так, чтобы потом можно было многократно анализировать его под разными углами зрения, — одна из главнейших проблем диахронического исследования.

Научная регпстрация реальных явлений в их течении осуществляется практически в Casrbix разнообразных фор­ мах — от словесного описания до озвучеппой цветной ки­ нохроники, от датированного протокола отдельных собы­ тий до графиков, вычерчиваемых самопишущим прибором.

Однако в основе любой из этих форм лежит одно и то же — непосредственный контакт с эмпирической дейст­ вительностью, «живое созерцание», как очень точно опре­ делил эту стадию познания реального мира В. И. Ленин. При изучении процессов «живое созерцание» по необхо­ димости движется во времени g развитием изучаемого процесса, отмечая момент за моментом, состояние за со­ стоянием, стадию за стадией в реальном явлении.

Как и всякий реальный процесс, эмпирическую стадию исследования можно охарактеризовать теми или иными хрономорфологическими признаками. В гносеологиче-

102

ckom плане основными из них являются следующие три: 1) продолжительность единичного акта наблюдения, или величина момента анализа і; 2) продолжительность ин­ тервала от начала одного момента анализа до начала следующего, или шаг анализа по времени й1; 3) общая, суммарная продолжительность наблюдения данного явле­

ния, или Т.

Соотношение между Ohl можно представить в сле­ дующем виде: ∙6,=ι+κ, T ≥>∙θ. Здесь κ— неизбежный интервал между соседними моментами наблюдения.

Величины і и κ в частных случаях могут быть очень «малыми» по абсолютной величине, порядка долей се­ кунды, как например при использовании чувствитель­ ных приборов-самописцев, рисующих сплошную линию.

Однако сам по себе принцип прерывистой регистрации хода процесса всегда остается справедливым — это свя­ зано с самой технологией фиксирования отдельных со­ стояний в ходе процесса, поскольку в реальной дейст­ вительности нет и не может быть мгновенных взаимо­ действий, т. е. взаимодействий с абсолютной нулевой продолжительностью.

При изучении крупномодульных процессов, особенно макро- и мегамодульных, абсолютные величины і и κ могут быть очень «большими» — от нескольких минут до нескольких лет.

От величин Т, О и і зависит, что именно мы наблю­ даем. Так, если модуль продолжительности реального процесса равен μ и 21<μ, значит, исследуется только лишь некоторый фрагмент процесса, отдельная его ста­ дия или состояние. Для получения надежных, проверен­ ных данных о ходе процесса необходимы многократно повторные его наблюдения и, следовательно, 71>>μ.

Величины Т, Ф и і, вообще говоря, могут назнача­ ться произвольно, как это часто и бывает при нечетко сформулированной исследовательской задаче. По сути же дела во избежание ложных заключений и ошибочных экстраполяций они должны устанавливаться с учетом объективных особенностей реальных явлений, которые могут диктовать в каждом конкретном случае те или иные ограничения для выбора этих величин. Так, для колебательных или дискретных во времени явлений шаг анализа естественным образом зависит от величин пе­ риода колебаний или пауз между явлениями, величины

103

Zbi зависят от величины модуля процесса и требуемой точности знания о нем и т. д.

В исследовательской практике встречаются и такие случаи, когда величины Т, ö и і не зависят от выбора исследователя, а заданы заранее. При этом одно из пра­ вил методологической профилактики сводится к выясне­ нию вопросов о том, какому по модулю процессу они наиболее соответствуют, какие из морфологических ха­ рактеристик могут быть выявлены, каковы границы до­ стоверности выводов, получаемых при данных значениях Т, іЭ и і.

Из всего сказанного вытекает, что эмпирическая ста­ дия в структурно-диахроническом исследовании требует тщательной, продуманной теоретической подготовки. Именно на подготовительном этапе устанавливается до­ пустимая степень схематизации «живого» явления, опре­ деляются его наиболее существенные для данной исследо­ вательской задачи качественные признаки, намечаются способы количественной оценки этих признаков, выра­ батываются методики записи наблюдаемых фактов в ходе явления и т. п.

Продуктом данной стадии в конечном итоге будет словесное, графическое или чисто символическое опи­ сание конкретного явления, некий неизбежно упрощен­ ный, огрубленный, «омертвленный» образ реального про­ цесса, но зато образ четко зафиксированный, более или менее точный и полный, позволяющий проверять и пере­ проверять отдельные его детали, пригодный для дальней­ шего теоретического анализа.

§ 2. Геометрическое отображение процессов. Аналитические пространства и траектории

Из всех известных на сегодня способов отобра­ жения реальных процессов наиболее удачным, по-види­ мому, является их геометрическое и, в частности, графи­ ческое изображение. Одно из его преимуществ состоит в том, что оно делает целостную картину процесса на всем его протяжении во времени легко обозримой, компактной, доступной для обобщающего, синтезирующего восприя­ тия. При помощи геометрических образов «легче довести до сознания сложные умственные ансамбли, чем при по­

104

мощи длинных цепей фонем или соответствующих им письменных знаков алфавита естественного языка».1

Широко известный частный случай геометрического изображения процессов — графики на плоскости с прямо­ угольной системой координат и шкалированной осью вре­ мени. Овп являются не только хорошей пллюстрапией к текстовому или табличному материалу, по и самостоя­ тельным средством анализа,’ позволяющим выявить це­ лый ряд характеристик процесса через те или иные осо­ бенности рисунка траектории, обозреваемые единым взглядом сразу во всей их совокупности. Это свойство плоскостных графиков сочетается с технологической простотой и удобством их построения: чтобы нарисовать график, достаточно имѣетъ под рукой лист бумаги или гри­ фельную доску и перо, карандаш, мел и т. п.

Помимо графиков в прямоугольной системе коорди­ нат с равномерными масштабными шкалами использу­ ются и другие формы графического изображения пгопес-

Особый интерес для целей структурно-диахрониче­ ского исследования представляют круговые диаграммы, используемые для отображения периодических ппопессов в метеорологической, экономической и демографиче­ ской статистике, а также графики на полулогарифмиче­ ской сетке. Последние позволяют совместить на одном и том же чертеже в соизмеримой и сопоставимой форме сразу несколько разнородных показателей, а также отно­ сительные их изменения по сравнению с предыдущим уровнем.

Мы не будем останавливаться здесь па многочислен­ ных технических подробностях построения графиков — па вопросах о выборе формата, масштабов, густоты сетки, условных знаков, о размещении значащих точек и т. п., так как они уже изложены в специальных руководствах. В литературе по статистике можно найти также и реше­

105

жепием мезо- и макромодульных процессов в виде так называемых динамических рядов.2

Рассмотрим подробнее более общий случай геометри­ ческого изображения процессов при помощи специально конструируемых воображаемых аналитических простраиств,3 разновидность которых, собственно, и пред­ ставляют собой указанные выше плоскостные формы гра­ фического изображения.

Как и для плоскостных графиков, основным элемен­ том аналитических пространств являются те или иные системы координат. Основное отличие таких пространств от трехмерных пространств стереометрии в том, что число координатных осей в них может быть произвольным в за­ висимости от условий решаемой задачи.

Так, при рассмотрении некоторой физической системы, состоящей из п независимых элементов, каждый из кото­ рых характеризуется шестью степепямп свободы, кон­ струируется 6?г-мерное фазовое пространство. Возможные

некоторым множеством последовательных точек, образую­ щих траекторию.

Вместо множества независимых элементов могут рас­ сматриваться отдельные из п независимых признаков некоторого объекта, например в медицинской диагно­ стике,4 социологпп,5 биологической систематике,6 теории управления7 и т. д. В этих случаях также могут быть

дивидуальными качествами. Некоторые авторы называют

и далее скорее в общем, чем в строго специальном математи­ ческом смысле.

“’M. JT. Б ы х о в с к и й. Машинная диагностика, основанная на принципе фазового интервала. — В кп.: Машинная диагностика и информационный поиск в медицине. Μ., 1969.

s Распознавание образов в социальных исследованиях. Под ред. Н. Г. Загоруйко и Т. И. Заславской. Новосибирск, 1968, с. 6.

6E. С. C м и р и о в. Таксономический анализ. Μ., 1969.

7 П. Д е р у с с о, Р. Рой, Ч. Клоуз. Пространство состояний в теории управления. Μ., 1970.

106

и т. п. Нас не должно это смущать, так как за разными названиями стоит в сущности одно и то же содержание, одни и те же цели наиболее адекватного отображения реальных сложных явлении.

Метод фазовых пространств в теории йвтоматического управления и регулирования детально разработали А. А. Андронов, А. А. Витт и С. Э. Хайкии. В своей фун­ даментальной работе они дают предельно четкое и крат­ кое определение фазового пространства для случая п = 2, т. ѳ. для фазовой плоскости: «...она изображает совокуп­ ность всех возможных состояний нашей системы. Каж­ дому новому состоянию системы соответствуют все новые и новые точки фазовой плоскости».8

Своеобразную конструкцию фазового пространства ис­ пользует У. Р. Эшби.9

Мы будем в дальнейшем называть фазовым простран­ ством такое n-мерное аналитическое пространство, в ко­ тором ось времени занимает равноправное положение на­ ряду с другими осями, определяющими качественную специфику отдельных фаз процесса. Отдельные точки в таком пространстве будут отображать различные фазы процесса, а последовательная их совокупность — траекто­ рию хода процесса во времени.

Траектория — это как раз тот самый аналитический образ процесса, построением которого заканчивается эм­ пирическая стадия и который подвергается анализу на всех последующих стадиях структурно-диахронического исследования.

Рисунок траектории со всеми его морфологическими особенностями служит основанием для тех или иных вы­ водов о специфике отображенного процесса с точки зре­ ния его композиции и морфологии. И в рамках структур­ но-диахронического исследования первый вопрос, который должен быть поставлен, когда заходит речь о каком-либо процессе; каков может быть рисунок траектории этого процесса?

107

§ 3. О способах наглядного изображения n-мерных траекторий

Вполне естественно, что ответ на такой вопрос упрощается, если есть возможность просто-напросто нари­ совать траекторию.

При п=2 это не составляет особых трудностей. В на­ чертательной геометрии разработаны также способы плоскостного изображения трехмерных координатных си­ стем. Что же касается случаев, когда рассматриваются «-мерные траектории при «>3, то их наглядное изображе­ ние на плоскости становится крайне сложным или даже невозможным. При некоторых условиях, однако, подобные затруднения преодолимы.

Принцип отображения «-мерных объектов при « > 3 на плоскости полезно рассмотреть на примере топографи­ ческих планов местности. Каждая точка реальной земной поверхности характеризуется, вообще говоря, бесконечным числом признаков — широтой, долготой, высотой над уров­ нем моря, типом рельефа и характером почвы, наличием растительности, инженерных сооружений, гидрогеологи­ ческими признаками, определенным геомагнитным полем, сейсмическими, метеорологическими характеристиками и т. д. и т. п. В основе принципа отображения некоторого комплекса таких признаков каждой реальной точки лежит использование двух технических приемов: во-первых, на плоскость будущего топографического плана наклады­ вается сетка пространственных координат, во-вторых, вво­ дится более или менее сложная система условных обозна­ чений для каждой совокупности качественно различных признаков.

Система координат служит для регистрации взаимного размещения отдельных точек в плане, а также для после­ дующей разбивки всей плоскости на некоторые специфи­ ческие области — сушу и воду, почвенные зоны, горы и равнины, области с магнитной аномалией, населенные пункты и дороги и т. п. Условные обозначения вводятся как для этих областей, так и для индивидуальных характе­ ристик отдельных точек реальной земной поверхности. Каждый из комплексов условных знаков приобретает при этом смысл координатной системы, а сам топографический план местности под этим углом зрения представляет собой продукт многократного наложения друг на друга целой

108