книги из ГПНТБ / Баженов, Ю. М. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона

Г л а в а II

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА1

II.1. Понятие о случайных величинах, дискретные величины. Случайной величиной называется поддающа­ яся измерению величина X, значения которой подверже­ ны некоторому неконтролируемому разбросу при повто­ рениях данного процесса. Случайная величина является непрерывной, если она может принимать любое значение в некотором числовом интервале; случайная величина дискретна, если ее значения представляют собой отдель­ ные изолированные числа.

Совокупность всех мыслимых наблюдений, которые могли бы быть сделаны при данном реальном комплек­ се условий, называется генеральной совокупностью, в которой число элементов УѴГ может быть конечным или бесконечным. Некоторая часть генеральной совокупно­

Пример II.1. Конечная генеральная совокупность — все зафик­ сированные результаты испытания бетона в лаборатории, например за 1973 г. Бесконечная — мыслимое число кернов, которые можно было бы высверлить из бетонного тела плотины. Отбор 25 кернов из готового сооружения дает выборку для суждения о прочности бето­ на в этом сооружении.

Мерой объективной возможности появления случай­ ной величины X (происходит событие А) является веро­ ятность Р{Х}=Р{А}. Если событие А происходит обя­ зательно, то его называют достоверным (Р{Л} = 1). Ес­ ли событие А никогда не может произойти, то его назы­ вают невозможным (Р{Л }=0).

Вероятность случайного события А, которое может произойти, но может и не произойти, находится в преде­ лах 1 ^ Р { А } ^0 . Вероятность Р{А} отражает опреде­ ленную, независимую от 'Проводимого наблюдения струк­ туру самого процесса, в котором наблюдается событие Л.

Законом распределения дискретной случайной вели­ чины X является совокупность ее возможных значений

1 В гл. II использовано руководство [44] и др.

21

и соответствующих им вероятностей. Этот закон может быть представлен в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения х,-, а вторая — вероятно­ сти pi (события Хи Л'2,..., Хі,..., Хп являются несовмести-

П

мыми и единственно возможными, поэтому 2 р і = 1 ) . Та-

1=1

кая таблица называется рядом распределения (табл. II.1). Для событий, которые не могут быть сведены.к си­ стеме случаев, совокупность дискретных значений слу­ чайной величины X может быть задана рядами частот

щая, как часто она встречается в совокупности Nr. Отно­

Nr

В пределах рассматриваемой совокупности сумма всех частостей, равна единице, или 100%.

Пример 11.2. При исследовании морозостойкости после 300 цик­ лов замораживания и оттаивания бетонов иа пуццолановом порт­ ландцементе и щебне из песчаника проведена [77] оценка N r= 95 ку­

бов по десятибалльной системе. Результаты приведены в табл. II.1, многоугольник распределения — на рис. II.1, о.

Функцией распределения дискретной величины X называется функция F{x}, выражающая для каждого Хі вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее Хі (—оог^сХ-ОД. Функция распре­ деления дискретной величины X постоянна на интерва­ лах, значения которых она не принимает, и имеет скач­ ки в точках, соответствующих Х{. Скачки равны вероя­ тностям, с которыми X принимает значения Хі, поэтому график F{x} имеет ступенчатый вид (рис. ИЛ, б).

22

Функция F{x) может быть задана аналитически как F{x}—P{X<iXi}. Она является неубывающей функцией

гом Хі функция распределения находится в интервале 0<^{х}<;1. Вероятность того, что случайная величина X примет значение в интервале Хі=^:Х<>'2, равна прира­

Рис. II.I. Многоугольник распределения а и функция распределения б для дискретной случайной величины х (по данным примера II.2)

Пример П.З. Какова вероятность того, что бетон (по данным примера II.2) будет оценен в интервале 7—9 баллов (включи­ тельно) ?

Р (лц < X < х 2] = Р {7 < X < 10} = 0,6316 — 0,0421 = 0,5895 .

11.2. Числовые характеристики распределения дис­ кретной случайной величины. Функция распределения F{x} полностью описывает дискретную случайную вели­ чину с вероятностной точки зрения. Однако практически нередко можно ограничиться значительно меньшей ин­ формацией— знанием нескольких основных числовых характеристик распределения.

Математическим ожиданием М{Х} случайной дис­ кретной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений х,- на их вероятности рр.

П

М {X} = хгРі + *2 р% -------Ь Хп рп = 2 Xi Pi. (ІІ.2)

і= 1

23

Математическое ожидание М{Х} молено представить как центр группирования случайной величины X (харак­ теристика положения случайной величины «а числовой оси). Из определения М{Х} следуют, в частности, та­ кие его свойства: математическое ожидание постоян­ ной величины С равно этой постоянной (II.3); матема­ тическое ожидание суммы случайных величин равно сум­ ме математических ожиданий слагаемых (П.4); при изменении случайной величины X на постоянную величину С на ту лее величину изменится М{Х) (II.5); при изменении случайной величины X в С раз (C = const) во столько лее раз изменится М{Х} (II.6):

Характеристикой рассеивания случайной величины X около центра ее группирования М{Х} служит диспер­ сия D{X}, которая определяется как математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины X от ее математического олшдаиия:

D {X} = М {(X — М {X})2} = Е(+--УМ{Х})*р,, (II.7) /=і

Для наглядной характеристики рассеивания (в этом случае ее размерность будет совпадать с размерностью М{Х}) можно пользоваться среднеквадратичными от­ клонениями (допустимый термин «стандарт») о{Х}:

24

Достаточно часто используется безразмерная харак­ теристика рассеивания, которая называется коэффици­ ентом вариации у{Л'}.

на 0. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

/= 1

Дисперсия не изменится, если ко всем значениям случайной величины X прибавить постоянную С:

Если все значения X умножить на постоянную С, то дисперсия увеличится в С2 раз:

Пример 11.5. Определить D{X}t сг{Х} и у{Х} по данным приме­ ра II.2. В третьей строке табл. II.2 значение М{Х} взято из при­

мера II.4.

ю

D {X} = £ (х, - М {Х})2Рі = 0,1971 +

+ 0,1559 -f------1- 0,3664= 1,1192;

а {X} = V D {X} = 1,058; у {X} = а {X} : М {Х}=

= 1,058:8,2211 = 0,1287.

Математическое ожидание Л4{Х} является частным случаем начальных моментов случайной величины X, а дисперсия D{X} — частным случаем центральных мо­ ментов.

Начальным моментом nis порядка s случайной вели­ чины X называют математическое ожидание величины Xs

;= i

Начальные моменты первых четырех порядков опре­ деляются по формулам:

25

Центральным моментом p,s порядка s случайной ве­ личины X называют математическое ожидание величины

26

?7

Проверить правильность вычисления р3 и щі можно по формулам:

Моменты третьего и четвертого порядка используют­ ся для характеристики формы ряда распределения слу­ чайной величины X.

Пример 11.6. Рассчитать первые четыре начальных и централь­ ных момента по данным табл. II.2. Вычисления приводятся в табл. 11.3:

т\ = 67,5865; m3 = 555,635; т\ = 4567,93;

р, = т2— т\ = 68,7057 — 67,5865 = 1,1192;

Рз = т.л — 3/7/, тл 4- Ъп\ = 582,582 — 3-68,7057-8,2211 +

+ 2-555,635 = — 0,657;

р , = /77,-- 4//?3 /77( -}- 6/77, /7/2 — З/7/.j’ = 5005,9 —

— 4 ■582,582 • 8,2211 + 6 • 68,7057 - 67,5865 —

-3-4567,93 = 5,72.

Все приведенные числовые характеристики построе­ ны на основе теории моментов и называются парамет­ рическими. Существует и иная система характеристик, не связанных с ps и ms, которая называется непарамет­ рической. Такие характеристики обладают худшими ста­ тистическими свойствами (см. ниже п. II.6), по вычисля­ ются весьма просто, что делает их достаточно целесо­ образными для применения в прикладных задачах, в частности при контроле качества.

Непараметрические числовые характеристики нахо­ дятся в зависимости от положения элементов Х і в ряду распределения (см. табл. II.1) и могут быть определены на основе того, как они расположены по отношению к некоторым или всем рассматриваемым элементам. Наи­ более общей характеристикой монотонно возрастающего ряда Хі являются квантили — такое значение случайной величины Хд, ниже которого располагается q-тая часть ряда Хі из п элементов. Эта q-тая часть находится по соотношению (11.28), в котором К — целое числОі ука*

28

Квантиль j£0,5, разделяющий ряд надвое, называется медианой Me и является характеристикой центра груп­ пирования случайной величины X. Другой такой не­ параметрической характеристикой служит мода Мо — значение х,-, для которого в распределении (табл. 11.1) максимально рі. Могут быть и многомодальные ряды.

Мерой рассеивания служит размах ряда W, который равен разности между максимальным и минимальным Хі в ряду распределения:

И.З. Непрерывные случайные величины. Непрерыв­ ную случайную величину X невозможно охарактеризо­ вать (подобно дискретным) рядом распределения, по­ скольку она имеет бесчисленное множество возможных значений. Для количественной характеристики распре­ деления непрерывной случайной величины X прежде всего используется функция распределения F{x}, кото­ рая (так же, как и для дискретной X) выражает для каждого Хі вероятность того, что непрерывная случай­ ная величина X примет значение, меньшее х,-. Если F{x} непрерывная, и дифференцируемая функция, то вероят­ ность попадания X в интервал от х до х + Ах равна:

Р {x < X < X + Ах} = F {х -f Ах} — F {х}. (11.31)

При рассмотрении отношения этой вероятности к длине интервала в пределе (при Дх->-0) получаем про­ изводную

29