книги из ГПНТБ / Баженов, Ю. М. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона

Пример 11.12. По шести результатам испытания на изгиб образ­

цов цементно-песчаного раствора R определить оценки R, s2{R}, s{£) и № (Л* и £* при п — 6 не вычисляют).

£= 53,1; 53,5; 53,6; 53,9; 54,2; 55,1 кгс/сиі2.

Встроках 3 и 4 (табл. II.5) последовательно из каждого зна­ чения R вычтена постоянная С| = 54, а результат умножен на постоянную С2=Ю .

Это значительно упростило арифметические действия. Однако постоянные С] и С2 должны быть учтены при расчете числовых ха­

рактеристик:

быть построены графические изображения распределе­ ний: полигоны и гистограммы (рис. II.8).

Для построения полигона распределения на оси абс­ цисс откладываются интервалы значений величины А'; в серединах интервалов х'- строятся ординаты, пропор­

циональные частотам nij или частостям ѵ,-, и концы ор­ динат соединяют прямыми.

При построении гистограммы над каждым отрезком dx оси X строится прямоугольник, высота которого (или площадь, если dx переменная) пропорциональна частоте nij или частости ѵ,- в данном /-том интервале.

Пример 11.13. Определить числовые характеристики эмпириче­ ского распределения для большой выборки /і= 537 [22] величии па­ спортной активности х = £ сш цемента Рыбиицкого завода.

40

Исходные данные приведены в столбцах 1—5 табл. П.6. Дан­

уровень:-выше него в таблице располагаются отрицательные классы;

Рис. 11.8. Гистограмма а и полигон б эмпирического

распределения частот активности цемента в примере

11.13

ниже — положительные. Такая нумерация классов значительно об­ легчает расчеты. В соответствии с неравенством (11.52) фактические

значения Xj заменены номерами классов, в которые они попали.

Номер класса определяется по формуле

удобно производить расчет оценок числовых характеристик методом моментов. В расчете используются только частоты t r ij и номера

41

начальных моментов ms {х}, а далее р,9, (.і3 и (.ц — по формулам

(11.23) — (11.25):

А* {*) = 5 ,0 8 5 :[ V 14,592)3 = 0,091;

•Е* [k) = 686,7:(Ѵ Г14,592)‘І = 0 ,2 2 5 .

Поскольку оценки Л* и Е* не зависят от изменения начала от­ счета х0 и длины интервала dx, то A*{R}=A*{k] и E*{R} =E*{k}.

11.6. Основные свойства статистических оценок. До верительные интервалы. Одной из важнейших задач тех­ нологических исследований является задача оценки па­ раметров генеральной совокупности. Некоторые при­ меры таких оценок даны в п. II.2.

Статистической оценкой Ѳ* называют некоторую функ­ цию ф{^} выборочных значений {хи х2, Х\, ..., хп), позволяющую оценить истинное значение параметра генеральной совокупности 0. Точечные статистические оценки Ѳ* являются однозначными оценками.

Желательно, чтобы оценки Ѳ:і: любых параметров ге­ неральной совокупности 0 были состоятельны (они дол­ жны с ростом выборки п стремиться по вероятности к истинному значению 0), не смещены (их математическое ожидание М{0*} при любом п равно истинному значению 0) и эффективны (оценка 0^ должна обладать наимень­

шим рассеянием D{Q*A } по сравнению с любыми други­ ми оценками 0^, Q*c ... того же параметра 0; так, среднее

42

43

44

45

X, например, является эффективной оценкой по сравне­ нию с оценкой медианы Me*, поскольку дисперсия сред­

него D{x} =о2п~1 меньше дисперсии медианы D{Me'*} =

= 1,6- о2п~').

Для данной выборки точечные оценки являются оп­ ределенными (детерминированными) числами, вычис­ ление которых можно провести с любой точностью. Од­ нако для генеральной совокупности любая выборочная оценка Ѳ* есть величина случайная (в отличие от оцени­ ваемого параметра генеральной совокупности 0), даже если эта оценка состоятельна, несмещеиа и эффективна. Поэтому к случайной величине 0* можно применить все те рассуждения и выводы, которые получены ранее для случайной непрерывной величины А'.

Вероятность q того, что параметр 0 окажется в ин­ тервале от Ѳн (нижняя) до Ѳв (верхняя граница), опре­

Поэтому уравнение (II.62) следует понимать как вероят­ ность того, что случайный интервал (0В—Ѳи) накроет точку 0. Вероятность q называется доверительной ве­ роятностью. Границы Ѳп и 0п и образуемый ими интервал ( Ѳ в —Ѳи) носят названия доверительных. Они образуют систему интервальных оценок, связанных с точечными. Так, для оценок 0*, имеющих симметричный закон рас­

где Uq — квантиль соответствующего распределения ср{Ѳ*} при ве­ роятности q (иногда называется коэффициент доверия).

Далее в табл. II.7 по формулам (11.64) — (11.68) оп­ ределяются доверительные интервалы основных число­ вых характеристик распределения для больших и малых выборок, извлеченных из нормально распределенных ге­ неральных совокупностей. Формулы для малых выборок отличаются тем, что в них вместо квантиля нормаль-

46

47

48