книги из ГПНТБ / Баженов, Ю. М. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона

По моделям (е—и) для каждой пары добавок можно уточнить соотношение между добавками (такое *і, чтобы р увеличивалось, например, для p{NH4Cl+Na2S 0 4} * і = — 1) и уровень концентрации

—х2. Результаты оптимизации представлены в табл. ІѴ.8.

ратичных членах в модели (ІѴ.44) нужен такой план эксперимента, в котором каждая переменная будет варьироваться хотя бы на трех уровнях. Такое плани­ рование может быть получено путем добавления некото­ рого количества точек к «ядру», в котором уже были проведены опыты при линейном приближении. Эти но­ вые точки располагаются некоторым оптимальным об­ разом (с точки зрения целей данного эксперимента [56]). Последовательно строящиеся планы называются композиционными.

150

На рис. IV.6 показана схема планирования для трех факторов. После постановки ПФЭ в вершинах куба к плану добавляется шесть точек С, вынесенных за грани куба на некоторое расстояние а ^ І от центра эксперимента, где также поставлены дополнительные опыты. Точки С называются звездными точками.

Исследования в области математической теории экс­ перимента показали, что критерий ортогональности пла­ на для получения модели второго порядка не является

п

л

Рис. ІѴ.6. Трехфакториын план второго порядка, полученный добавлением шести звездных точек С к ПФЭ 2Э (точки А)

достаточно эффективным, поскольку коэффициенты Ь0, Ьі, Ьц и bij определяются с разными дисперсиями, вели­ чина которых меняется в зависимости от поворота ко­ ординатных осей факторного пространства. Было пред­ ложено (Бокс и Хантер, 1957) считать оптимальным планирование, при котором количество информации, со­ держащееся в уравнении регрессии, будет одинаково для всех точек, равностоящих (радиус г) от центра эксперимента. Такие планы были названы ротатабель­ ными [55]; для них в табл. IV.9 показаны значения звездного плеча а и другие необходимые характеристики.

Ковариационная матрица для планов второго порядка в общем случае недиагональна, но ее можно предста­ вить в виде четырех подматриц:

из которых две нулевые [0 ], одна — [Дг] для оценки ли­ нейных эффектов и взаимодействий диагональна с эле­ ментами Гз и Т6 и одна [Ді] для оценки bQи квадра­ тичных эффектов содержит внедиагональные элементы

151

Г2 и Т5, определяющие корреляцию между Ь0 и Ьц, а также между è,-,- и &<>

для для оценки

оценки ьа

ь,

Отсюда следуют расчетные формулы для определе­ ния оценок коэффициентов регрессии:

* Из прнл. ѴШ.

152

Для планов в табл. IV.9 значения расчетных коэф­ фициентов Ті приведены в прил. IX.

Свойством ротатабельности обладает и ряд некомпо­ зиционных планов. Такие планы целесообразно приме­ нять в том случае, когда область оптимума Y уже из­ вестна.

Для К = 2 рекомендуются [63] наименьшие рота­ табельные планы типа правильного пятиугольника и шестиугольника с центральными точками (/г0 ^ 1 ) . План ' на шестиугольнике показан на рис. IV.7 (расчетные ко­ эффициенты Ті в формулах приведены в прил. IX). Как показано в [28, 49], такой план весьма эффективен, на­ пример, при изучении действия индивидуальных химиче­ ских добавок на бетой при разных Ц/В (или других технологических факторов). Особенность плана заклю­ чается в том, что один фактор варьируется на трех уров­ нях, а другой на пяти — это очень удобно в технологи­ ческих экспериментах.

Ротатабельными (или почти ротатабелы-іыми [63]) являются трехуровневые планы на кубе, предложенные Боксом и Бенкиным. Особенностью этих планов являет­ ся то, что во всех строках отличны от нуля только два (при /( = 3-f-5), три (при К= 6 , 7, 9) или четыре (при /(=10, 11, 12, 16) фактора. Эта особенность планов весь­ ма важна для решения рецептурно-технологических за­ дач, так как позволяет стабилизировать ряд Хі в много­ факторной ситуации в течение некоторой группы опытов. Для /С=Зч-5 матрицы планирования приведены в табл. IV. 10 (с разрезкой на блоки они даны в [63]). Расчет­ ные формулы подобны (ІѴ.7І) —(ІѴ.77), кроме расчета

Ь0 по (ІѴ.78).

153

154

в которой i/й — среднее по результатам опытов в центре плана.

Хорошими статистическими характеристиками обла­ дают [57] композиционные, близкие к Д-оп'тималы-іым

планы на кубе, минимизирующие обобщенную диспер-

л

сию s2 {Y}. Наиболее приемлемы для решения задач бетоноведения и технологии близкие к Д-оптимальиым планы на кубе при Д=4-^5 типа В4, В5 и На5, обладаю­ щие симметричным расположением точек в факторном пространстве и дающие независимые оценки Ьі и bij коэффициентов модели. Эти планы в кодовой записи приведены в табл. IV.11. Расчетные формулы подобны

При использовании планов на кубе положительным является то, что они лучше соответствуют рецептурно­ технологическим задачам, факторное пространство кото­ рых редко ограничено многомерной сферой.

Действительно, при изучении влияния тепловлажно­ стной обработки при атмосферном давлении на механи­ ческие свойства бетонов температура среды как фактор не может быть более 100° С (это дает ограничение в ги­ перпространстве в виде плоскости), а в технологических

15.5

задачах часто приходится исследовать совместное влия­ ние факторов Хі именно в окрестностях этой плоскости.

Регрессионный анализ при планировании второго по­ рядка проводится для доказательства адекватности представления результатов эксперимента полиномами второй степени. Можно проверить также гипотезы о том, что не все коэффициенты регрессии при членах первого или второго порядка равны нулю.

Для решения основного вопроса об адекватности опи­ сания полиномом экспериментальных данных необходи­ мо рассчитать /"'-отношение (IV.18) и сравнить его с F.табл (обычно а = 5%). Оценка дисперсии s23v, характе­

ризующей ошибку опыта, определяется по сумме квад­ ратов отклонений экспериментальных данных в центре

плана (you) от их средних значений (уаи) при числе сте­ пеней свободы центральных опытов '»о—1 :

Оценка дисперсии неадекватности spIA для полинома

с числом значимых эффектов L рассчитывается по соот­ ношению

где остаточная сумма квадратов S S 0Cт определяется или

л

прямым расчетом по Уи и уи (IV.16), или по коэффи­ циентам регрессии:

Следует отметить, что такой подход к проверке адек­ ватности возможен только в том случае, если измерения в - каждом из N опытов не дублируются. В противном случае следует проверять адекватность с учетомпарал­ лельных измерений (см. п. ІІІ.5 и [33]).

156

Для определения значимости коэффициентов регрес­ сии рассчитывается bKp — tTiS3 (IV.25). Если часть. Ьц оказывается статистически незначимой, то их не следует удалять из модели, так как все Ьц связаны между собой

и с Ь0 (или нужно полностью пересчитать модель по ме­

Пример IV.11. При изучении на физических моделях [69] свойств ячеистых бетонов оценивалось влияние на R„av четырех показателей,

характеризующих мембраны ячеистой структуры (табл. IV. 12). В ка­ честве параметра выхода Y рассматривалось (а) относительное из­ менение прочности на изгиб любого u-образца по сравнению с нан-

лучшнм результатом (Дизг) макс, достигнутым во всей совокупности опытов.

Т а б л и ц а IV. 12. Варьирование характеристик мембран пористой структуры

Для планирования эксперимента использован план типа В4. В табл. IV. 13 показана' матрица плана в ко­ довой записи и результаты эксперимента. По формулам

(IV.70) — (IV,75) рассчитана модель:

157

В частности, отмечалось:

а) среди четырех анализируемых факторов структуры пористого материала капиллярная пористость влияет на предел прочности при изгибе весьма нелинейно; при малой пористости ее изменение ска­ зывается на R„3t сильнее, чем при большой; влияние всех остальных

факторов на 7?НЗг почти прямо пропорционально (в исследуемом диа­

дефектов в мембранах А'3 и Х4, но одновременно снижению плотно­ сти перегородок Х 2 (см. табл. Ѵ.12), приводит к уменьшению проч­

158