книги из ГПНТБ / Баженов, Ю. М. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона

.фектнвностн при полном расходе выделенных для дости­ жения дели ресурсов.

Примером задач первою типа является подбор со­ става заданной марки бетона при минимальном расходе цемента, а второго типа — достижение заводом макси­ мального выпуска изделий при определенных запасах цемента или металла.

К критериям эффективности, используемым для тех­ нологических решений, предъявляется ряд требований

[ 11].

Критерий должен:

а) характеризовать эффективность технологии с уче­ том конечной цели производства, а не отдельных его этапов (улучшая, например, формуемость смеси, добав­ ка не должна ухудшать долговечность материала); одна­ ко в сложных системах при использовании ступенчатой оптимизации допускается применение разных критериев на каждом этапе;

б) оцениваться количественно и быть однозначным, причем важно, чтобы он имел физический смысл и легко вычислялся (если у критерия нет числовой оценки, то как исключение допустимо применение рангов 1, 2... по не­ которым формализованным шкалам, как это сделано, например, в работе С. В. Шестоперова [77] для оценки морозостойкости);

в) обладать статистической эффективностью, т. е. быть нечувствительным к малым случайным воздействи­ ям, и минимальной (в пределах метрологической точно­ сти) ошибкой воспроизводимости для параллельных опытов в одной серии;

г) по возможности обладать универсальностью, т. е. учитывать экономическую и техническую стороны техно­ логии (в этом смысле относительная прочность бетона на единицу расхода цемента — более универсальный критерий, чем абсолютная прочность бетона).

Выбор цели и критерия эффективности для оценки вариантов управления — важнейшие этапы решения тех­ нологических задач, управления качеством материала и производством. Чем яснее и четче технологическая фор­ мулировка задачи, тем больше гарантий успешного ре­ шения задачи.

І-З- Математическое моделирование в рецептурно-тех­ нологических задачах. Управление системой предпола­ гает принятие обоснованных решений об изменении ре-

10

цептурпо-технологических факторов X влияющих на выходы системы Y. Выбор таких решении из большого числа возможных вариантов существенно облегчается при формализации самого процесса принятия решений, основанной на количественом описании системы. В ко­ нечном счете при этом становится возможной передача значительной доли функций человека-оператора управ­ ляющей электронной машине, в основу программы кото­ рой заложена математическая модель поведения си­ стемы.

Вне зависимости от привлекаемых к решению задачи методов анализа (физики, химии, кибернетики и т. д.) возникает необходимость построения некоторых абстрак­ ций. Модель является особой формой абстрагирования, т. е. отвлечения тех или иных элементов и связей от мно­ жества реально существующих в системе. Модель [80] характеризуется как мысленно представляемая или ма­ териально реализуемая система, которая, отражая или воспроизводя объект исследования, способна давать ин­ формацию об этом объекте-оригинале. Модель и ориги­ нал не тождественны во всем, а лишь аналогичны хотя бы в-одном определенном смысле. Наиболее существен­ ной для данной области является классификация моде­ лей исходя из тогог какие стороны объекта представлены моделью. По такой классификации модели могут быть: субстанциональные, структурные и функциональные

[32].

У субстанциональных моделей их материал (субстан­ ция) по своим некоторым свойствам совпадает с мате­ риалом оригинала. Например, контрольный образец-ку­ бик бетона, изготовленный параллельно с конструкцией,

свойствам совпадает с бетоном в конструкции.

Под структурной моделью понимается модель, имити­ рующая внутреннюю структуру оригинала (способ орга­ низации элементов объекта). При этом может моделиро­ ваться как структура процесса (например, технологиче­ ская схема производства бетона, транспортные потоки внутри предприятия),- так и «статическая» структура (например, способы укладки зерен заполнителя различ­ ных фракций в массе бетона, схема размещения армату­ ры в железобетонных конструкциях и т. д.).

Функциональные модели имитируют способ поведе-

11

ния (функцию) оригинала. Функциональный подход, роль которого в современной науке резко возросла, характеризуется как бы двойной абстракцией — абстра­ гированием сначала от вещественной субстанции систе­ мы с подразделением ее внутренней структуры на от­ дельные элементы и последующим абстрагированием этой системы с выделением ее функциональных связей со средой.

Обобщенной абстрактной функциональной мо­ делью является теоретически разработанный в киберне­ тике метод «черного ящика». Понятие «черного ящика» описывает такую систему, внутренняя структура которой неизвестна и недоступна для наблюдения, а известны лишь параметры «входа» X (факторы) и «выхода» У. В этом случае задача управления сводится к подбору таких уровней X, которые обеспечили бы определенные значения У, в частности оптимальные. Исследуя значе­ ния Хі и соответствующие им значения У, можно найти закономерность, описывающую эту связь. Такой подход в задачах технологии бетона и железобетона позволяет абстрагироваться от некоторых сложных и пока мало­ изученных физико-химических явлений, происходящих при производстве и эксплуатации бетонов. Однако он не отрицает необходимости дальнейших исследований при­ чин явлений и структуры системы.

Метод «черного ящика», основанный на использова­ нии эмпирических способов при системном кибернетиче­ ском подходе, поднимает решение технологических задач на качественно новую ступень, так как позволяет найти и использовать в управлении технологией новые, в част­ ности статистические закономерности. В результате ко­ личественного исследования модели «черного ящика» удается получить совокупность соотношений, которые выражают в виде математических зависимостей (графи­ ков, уравнений, неравенств, логических условий п т. д.) реальные физические характеристики системы. Эта сово­ купность соотношений вместе с условиями, ограничиваю­ щими пределы изменения физических характеристик, позволяет построить математическую модель —дать опи­ сание системы на формальном языке, с помощью кото­ рого возможно вывести суждение о некоторых чертах по­ ведения этой системы.

В технологии бетона издавна стремились обобщить опыт в виде математических моделей, отражающих те

12

или иные стороны наблюдаемого явления. Уже в первых работах (И. Г. Малюга, Р. Фере и др.) сложились три направления количественного описания закономерностей технологии бетона, которые получили развитие и в даль­

нейших исследованиях:

л

а) построение графиков Y=f(X) при прочих равных условиях (например, построение графика зависимости прочности бетона от цементно-водного отношения);

б) описание таких графиков эмпирическими форму­ лами, например описание прочности бетона известной формулой Боломея Rq= A R 4(U,/B— С);

в) построение аналитических формул на основе неко­ торых физико-химических представлений (сначала в ал­ гебраической, а позже в дифференциальной форме).

В зависимости от исходной информации получают мо­ дели, описывающие с известной точностью определенный процесс или явление, как, например, обобщенные модели прочности бетона (типа формулы Боломея с коэффици­ ентами, усредненными по результатам испытаний бетона на разных материалах), либо частные модели, описы­ вающие данный процесс или явление в конкретных усло­ виях, например модель прочности бетона (график или формула) для определенных видов материалов, исполь­ зуемых на данной стройке.

Наибольшую сложность при построении любой мате­ матической модели представляет решение вопроса о вы­ боре формы связи между переменными. Однако ряд трудностей моделирования можно исключить, если при­ нять ограничение: модель должна как можно точнее описывать поведение системы в конкретной ситуации. Тогда можно исходить из принципа максимальной на­ чальной простоты модели поведения, не искать в каждой задаче специфических математических форм связи меж­

Воспользовавшись тем, что любую непрерывную фун­ кцию можно разложить в ряд Тейлора, который преоб­ разуется в степенной ряд, начальную модель поведения системы удобно представить в виде полинома т-й сте­

13

При расчете необходимо по результатам исследова­ ния системы как можно точнее найти оценки в та­ кой локально-интегральной модели [54]. Это позволяет

для истинного значения Уо получить по модели (1.2)

А

расчетную величину У.

Вычислительная процедура определения коэффици­ ентов bo, bi, Ьц, bij... модели (1.2) построена на основе метода наименьших квадратов. Сущность этого метода разъясняется ниже при оценке коэффициентов Ь0 и Ь\ в полиноме первой степени (линейная зависимость) от од­ ного фактора Х\. Обобщение метода на случай произ­ вольного числа факторов будет дано ниже, в гл. IV.

предположить, что У находится в линейной зависимости от Хи то поведение системы описывается моделью

Необходимо подобрать такие значения Ь0 и Ь\или так провести прямую на рис. 1.4, чтобы модель (1.3) наибо­ лее полно удовлетворяла данным табл. 1.1. Провести прямую через все точки с координатами (Хщ, уи}, как правило', невозможно. Это объясняется тем, что или из­ мерения Х 1и и уи весьма точны, но предположение о ли­ нейном влиянии Х[ на У несовершенно, или влияние X і на У действительно линейно, но уи измерены со значи­ тельной погрешностью, или несовершенна гипотеза ли­ нейности и существует погрешность измерения уи (наи­ более часто встречающийся случай в технологии бето­

14

на). Следовательно, всегда между наблюдаемым значе-

Л

нием у и и рассчитанным по модели значением Yu будет разница А«'

л

Рис. 1.4. Зависимость коэффи­ циента раздвижки зерен Кр от

содержания в бетоне цемент­ ного теста

Показано, что наименее громоздкие вычислительные схемы [35, 45] получаются в том случае, если минимизи­

Для нахождения минимума (1.6) необходимо прирав­ нять нулю частные производные по всем неизвестным (их два: Ь0 и Ь\). После дифференцирования имеем так называемую систему нормальных уравнений:

или

15

Следовательно, искомая модель /Ср= 0,7052+0,002416 ЦТ.

N

Исходя из (1.6), сумма квадратов отклонений 2А*

квадратов, и в рассмотренном примере (см. табл. 1.2) она равна 115,02-ІО-4. Меньшую величину SS0Ct при гипо­ тезе линейности по имеющейся .в табл. 1.2 информации получить невозможно.

Следует обратить внимание на запись формул (1.11)

уравнений. Такая матрица [М] носит название «инфор­ мационной матрицы» [57,66]. Матрица [М] имеет очень важное свойство: она состоит только из элементов, включающих входы системы Хі (это ее свойство распро­ страняется иа любую размерность системы с К факто­ рами). Следовательно, существует возможность выби­ рать координаты опытных точек Х{и до проведения экс­ перимента некоторым способом, обеспечивающим опти­ мальность (с точки зрения цели всего исследования) построения и применения модели, т. е. математически планировать эксперимент.

Спланировать эксперимент — это, в частности, значит: а) выбрать из Nx действующих в системе факторов те наиболее существенные факторы Х\, Х2, ..., Хі,..., Хк,

уровни которых технолог собирается изменять; б) наметить пределы их варьирования (ТС) мин и

(Т С ) м аксі

в) наметить комбинацию уровней К факторов Хі, при которых будет исследоваться система;

г) определить число повторений опытов и измерений в каждой из выбранных комбинаций К факторов ТС.

Вопрос о составлении такого плана требует анализа

1 Матрица — таблица (в данном случае из четырех чисел), а оп­ ределитель — одио-единственное число, рассчитанное по элементам этой таблицы (см. ниже).

1% / •

с позиций новой научной дисциплины— математической теории эксперимента, которая изучает «оптимальное уп­ равление экспериментом при неполном знании механиз­ ма явления» [60] и является одним из направлений ки­ бернетики, основывающемся на применении аппарата математической статистики.

Информация, собранная при так называемом «актив­ ном» эксперименте по математически обоснованному пла­ ну, априори учитывающему цели эксперимента и мето­ ды обработки его результатов, имеет много большую ценность, чем информация от эксперимента, поставлен­ ного по традиционной методике, когда изменяется каж­ дый фактор в отдельности, или от наблюдений (так на­ зываемый «пассивный» эксперимент). При этом прак­ тически всегда меньше затраты ресурсов (материальных и временных) на активный эксперимент и существен­ но облегчается технологическая интерпретация моделей. Преимущества активных экспериментов сформулирова­ ны и обсуждены на основе большого опыта в работах В. В. Налимова [54,56]. Кроме минимизации числа опы­ тов автор отмечает, что при активном эксперименте:

оптимально используется факторное пространство (см. ниже), поскольку планы строятся так, чтобы с ро­ стом числа факторов увеличивался радиус обследуемо­ го пространства;

вводится четкая логика для всех процедур, последова­ тельно совершаемых экспериментатором;

условия опытов рандомизируются, т. е. (Nx —К) «ме­ шающих» факторов превращаются в случайные величи­ ны;

благодаря направленной организации эксперимента выполняются исходные предпосылки статистического анализа;

оценивается элемент неопределенности, дающий воз­ можность сопоставлять результаты, полученные разны­ ми исследователями;

повышается контроль за точностью эксперимента; стимулируется разработка новых инструментальных ме­ тодов исследования, уменьшающих ошибку воспроизво­ димости результатов.

Все частные математико-статистические методики, применяемые при решении задач анализа и оптимиза­ ции качества и технологии материалов вообще, а бето­ на в частности, могут быть объединены общей блок-