книги из ГПНТБ / Баженов, Ю. М. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона

ров распределений кривых Пирсона [75] весьма слож­ ны. Поэтому без ущерба для точности целесообразно в рецептурно-технологических задачах перейти к описанию распределений кривыми Н. Джонсона, который показал [41, 75], что преобразование е=/{л'} типа (111.51) при­ водит к семейству кривых и областей, более обширному (рис. III.2), чем в методе Пирсона. Были исследованы три системы преобразований Sb (III.52), S L (III.53) и Su (III.54), из которых далее в примере рассматривается первое.

е— нормированная, нормально распределенная ве­ личина.

Порядок определения параметров у, rj, Х0, X рассмот­ рен в примере III.19.

Пример Ш.19. Определить по данным 134 испытаний песка па содержание глины (пример III.17—III.18) параметры 5 В-распре­

деления. Минимальная граница Х0 известна: нулевое содержание

пробами № 67 и 68 п составляет 2,9. Аналогично находим, что А''5=

IIO

между эмпирическими и теоретическими частостями можно признать случайными и считать, что функция ср (х) адекватно описывает ис­

ходную информацию (поскольку Хф=9,21 и -Р{Хф}>5%, то в дан­

ной задаче сделан такой вывод); и) по фактическим т и теоретическим т Т частотам строится

совмещенная гистограмма распределения, наглядно иллюстрирую­ щая степень их совпадения.

Опыт показывает следующие немаловажные для тех­ нолога преимущества такого подхода:

в отличие от других семейств кривые Джонсона охва­ тывают все поле в координатах ßi и ß2;

во всем поле ßi — ßo находятся лишь 3 типа кривых Sb, Sl и S u, а на рис. III.1 таких разновидностей 9,

111

Г л а в а IVr

РАСЧЕТ, АНАЛИЗ И ПРИМЕНЕНИЕ МНОГОФАКТОРНЫХ ПОЛИНОМИНАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ

IV. 1. Метод наименьших квадратов. При обсуждении методов математического моделирования в рецептурно­ технологических задачах отмечалось (гл. 1), что если необходимо описать поведение системы в конкретной ситуации, то можно искать модель в виде полинома т-той степени от /(-факторов.

кк

На практике обычно достаточно ограничиться поли­ номом второй степени, который содержит одни свобод­ ный член ßo, К линейных членов с коэффициентом ßi, К квадратичных членов с коэффициентом ßü, С2К пар­

Полином (IV.1) может быть преобразован в форму линейную по параметрам, если заменить X? на К допол­

нительных линейных членов от Хк+\ до Хк+к, а Х,Х,- — на С^ линейных членов от Х2к+\ до XL. В результате по­

лучается полином первой степени от L—1 факторов

Для такой линейной модели и нужно по эксперименталь-

ным данным (пли иной исходной информации) найти статистические оценки коэффициентов Ьа и Ьі. Тогда по

статистической модели можно будет рассчитать оценки

л

выхода У:

Как указывалось в гл. I, вычислительная процедура определения оценок коэффициентов Ь0 и Ьі построена на основе метода наименьших квадратов — минимизирует­ ся сумма квадратов разностей Ди между наблюдаемыми

значениями у и и рассчитанными по модели значением

л

Yu (по всем м-опытам пли другим информационным комплексам в количестве N единиц):

(в дальнейшем все рассуждения ведутся для К факто­ ров, что легко обобщается L—I эффектов), представля­

Результаты наблюдений выхода Y в N опытах представ­ ляют собой вектор-столбец [у] размерности AM, назы­

Нормальные уравнения записываются с помощью квадратной матрицы [М] = [X*] [X] порядка /<Ч-1 (она называется «информационной»), полученной при умно-

114

женин слева матрицы значений факторов [X] па матри­ цу, к ней транспонированную [X*], и вектора [Х*][у].

( К У )

где

В матричной форме система нормальных уравнений имеет вид:

где [В ]— вектор-столбец размерности (/(+1)1, элементы которого составляют коэффициенты регрессии Ьі (і =0, 1, ..., К), называемый

«вектором коэффициентов» модели.

Находим обратную матрицу [X*] [X]-1, которая на­ зывается матрицей ошибок или ковариационной (корре­ ляционной) и обозначается [Д]:

Если умножить слева обе части уравнения (IV. 10) на матрицу [Д], то вектор [В] определяется как

поскольку произведение [Д] на ([X*] [ X ] ) дает еди­ ничную матрицу [Е]. Следовательно, оценка коэффици­ ентов Ьі (элементы вектора [В]) равна:

где Cij— элементы матрицы ошибок [Д].

Решение системы (IV.10) производится любым изве­ стным способом. Все современные ЭЦВМ снабжены для

этого типовыми программами.

IV.2. Основные типы зависимостей между перемен­ ными и их влияние на выбор метода статистического анализа моделей. Алгебраический расчет математиче­ ской модели на основе эмпирической информации явля­ ется лишь предварительным этапом использования веро­ ятностно-статистической концепции в бетоноведешш и технологии.

Перед применением моделей необходимо провести тщательный их статистический анализ, который вклю­ чает в себя полностью или частично проверку гипотез об адекватности (соответствии) модели исходной инфор­ мации, о степени влияния А',- на У, взаимосвязи между Хі, взаимосвязи между коэффициентами регрессии ß, и ßj, об отличии коэффициентов ß; от нуля, о доверитель­ ных интервалах для коэффициентов ß; и т. д. Необходи­ мость и возможность проверки тех или иных статисти­ ческих гипотез обусловливается как технологической по­ становкой задачи, так и типом зависимостей между пе­ ременными.

Основные схемы зависимостей между переменными величинами рассмотрены в работе С. А. Айвазяна [4]. Эти схемы проводятся для двух переменных, но легко могут быть обобщены и на К факторах.

Схема А — зависимость между неслучайными вели­ чинами, называемая функциональной. При этом каждо­ му значению одной величины соответствует свое одно и только одно определенное (детерминированное) зна­ чение другой величины.

Схема В — зависимость случайной переменной | от неслучайных переменных Хі. Физическая природа такой связи может носить двойственный характер: а) измере­ ние £ неизбежно связано с некоторыми случайными ошибками измерения, а переменные X,• измеряются без

116

ошибок (или величины этих ошибок пренебрежимо ма­ лы по сравнению с ошибками измерений зависимой пе­ ременной £); б) значения £ зависят не только от соот­ ветствующих значений. Хі, но и еще от ряда неконтроли­ руемых факторов, а поэтому при каждом фиксированном значении Хі соответствующее значение | неизбежно под­ вержено некоторому случайному разбросу.

Схема типа В наблюдается в том случае, если экспе­ риментатор назначает уровни изменения В/Ц в бетоне (например, 0,4; 0,5; 0,6) и активности цемента (напри­ мер, 280; 340; 450 кгс/см2 и т. д.) и изучает влияние этих факторов на прочность бетона (здесь только £= Л!сж — случайная величина).

Схема С — зависимость между случайными величи­ нами |і, ..., %к- Здесь следует выделить два варианта связи, принципиально отличных друг от друга вследствие двойственной физической природы данной связи. Вари­ ант Сі — исследуемые величины | і зависят от совокупно­ стей неконтролируемых факторов и таким образом яв­ ляются случайными по своей физической природе. Ва­ риант Сг — исследуемые величины не случайны, однако могут быть измерены только с некоторыми случайными ошибками о{£,-}, близкими между собой по величине.

Связь типа Сі наблюдается между пределами проч­ ности бетона при сжатии и при изгибе или между проч­ ностью бетона и скоростью прохождения ультразвука. К типу Сг можно отнести связь между теплопроводно­ стью бетонной панели и ее толщиной; эта связь близка к функциональной, однако при фактических измерениях этих величин неизбежны ошибки, что и обусловливает вероятностный характер связи.

Установление схемы связей необходимо технологу для выбора корректного статистического аппарата ана­ лиза силы связи между переменными: при схеме В во­ просы решаются методами регрессионного анализа; при схеме Сі — методами корреляционного анализа. При схеме Сг используются весьма сложные методы конфлюеитного анализа (которые в данной работе не рассматриваются). Кроме того, проведенное выше рас­ смотрение схемы связей способствует правильному уста­ новлению и анализу причинно-следственных связей в ре­ цептурно-технологической ситуации.

ІѴ.З. Основы регрессионного анализа. Если случай­ ная величина У — критерий качества продукции или тех-

117

иологического процесса — зависит от неслучайных пере­ менных Хі (схема В), то применяется регрессионный ана­ лиз математической модели [35]. Для его эффектив­ ности должны быть обеспечены следующие условия [4]:

а) истинная функция Уѳ =f{x} линейна по парамет­ рам (ІѴ.З);

б) случайные величины уи, а также их невязки Ди стохастически взаимонезавнснмы;

го пространства Хі постоянна или пропорциональна не­ которой функции от АѴ,

д) неслучайные факторы А,- стохастически независи­ мы (р{А,-Х,-} =0).

Если одна или несколько из этих предпосылок будут нарушены, то эффективность анализа значительно сни­ жается и по модели могут быть получены неверные тех­ нологические выводы.

Первым этапом регрессионного анализа является проверка адекватности модели результатам наблюдений (рис. ІѴ.1,а). Для этого используется дисперсия неадек­

118

л

или прямым подсчетом по значению выхода Уи, предска­ занного моделью в м-опыте:

При проверке адекватности формулируется нуль-ги­ потеза Я0 : 0 ңА=о^ (а2— дисперсия, характеризующая точ­

ность эксперимента и определяемая в зависимости от схемы его организации), которая проверяется по Fа- критерию при числе степеней свободы [на (всегда в чис­ лителе) и /э:

Принципиально иная по смыслу проверка значимо­ сти модели (ІѴ.З) или проверка ее «информационной способности» (рис. IV. 1,6), хотя в этом случае также используется Е-критерий (внешнее сходство весьма ча­ стоприводит к ошибкам в проверке гипотез; так, в ра­ боте [46] доказательство «значимости» модели прини­ мается за доказательство ее адекватности). Формулиру­ ется нуль-гипотеза Я0: а2{У} = ОңА, где а2{У}— диспер­

то проверяемая модель описывает ситуацию так же, как

л_

модель У=г/, и не имеет информационной ^ценности

(удобнее считать, что все уи равны среднему у). Тонкость статистического анализа заключается в том,

что при большом числе измерений N модель оказывает­ ся значимой при малых Ем (так для а = 5% при Я=130

119