книги из ГПНТБ / Баженов, Ю. М. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона

непараметрическая статистика, в которой нет необходи­ мости высказывать какие-либо соображения относитель­ но закона распределения случайных величин. Примене­ ние ее значительно упрощает систему вычислений, одна­ ко точность анализа существенно снижается. Сейчас разработано достаточно много непараметрических мето­ дов, которые уже нашли применение в различных обла­ стях науки и техники [53, 74].

Ш.З. Сравнение нескольких групп испытаний. Резуль­ таты нескольких групп испытаний представляются в габл. Ш.З, в которой указываются результаты каждого

Уіі из піі измерений в каждой из п групп, среднее tji и дисперсия измерений s2 в каждой группе. В общем

При сравнении результатов испытаний п групп об­ разцов последовательно проверяются две гипотезы:

первая — Я0: о] = с\ = • • • —о2.— • • • = с£; (III.19)

вторая — = г)2 = • ■• = г),. = • • • == ч\п. (III.20)

Проверка гипотезы о равенстве генеральных диспер­ сий (III.19) является одной из важнейших (особенно при

80

многомерном статистическом анализе и моделировании) II носит специальное название «проверка однородности дисперсий или равноточиости измерений». Принятие (а = 5%) этой гипотезы в качестве правдоподобной слу­ жит основанием для корректного применения в дальней­ шем дисперсионного и регрессионного анализа, а также методов математического планирования экспериментов.

Для проверки гипотезы об однородности ряда из /г оценок дисперсий s? предложено несколько критериев.

i=1

Величина В приближенно распределена как %2 с чис­ лом степеней свободы п—1, если все /г>2. Если В>%2 при выбранном уровне значимости, то нуль-гипотеза об однородности ряда дисперсий отклоняется. Пример при­ менения такого критерия дан в работе [22].

Точный критерий Кохрена G [16, 53] применяется для

І= 1

9

где sMaKC — максимальная эмпирическая дисперсия в ряду я,

и сравнивается с GTa6n (прил. V II). Если G < G Ta6n, нульгипотеза о равенстве дисперсий не отклоняется.

Пример 111.8. При контроле объемной массы (уБ , кг/м3) бето­ на был получен ряд из 10 дисперсий (ті = т2=,.. — т ю= 3 ).

Определить однородность ряда: s ?{Yb} = 430; 430; 630; 1300; 200; 1200; 30; 430; 630; 630. Воспользуемся G-критерием (III.22) при ^ sf)Ma„c = 1300.

факторного дисперсионного анализа. Логическое основа­ ние этого метода: если ие отвергается гипотеза о равен­ стве генеральных дисперсий внутри групп а2 г и между

группами 0 2г, то можно считать, что при переходе от

группы к группе нет какого-либо неслучайного смеще­ ния и, следовательно, допускается гипотеза о равенстве средних в группах. В этом случае проверка гипотезы (III.20) о равенстве п средних осуществляется через проверку равенства дисперсий o^r = 0 ^r по Л-критерию,

в котором оценка s2 г всегда стоит в числителе:

Дисперсионный анализ требует специального об­ ширного изложения [22, 36, 52, 53], здесь же мы огра­ ничимся лишь конечными расчетными формулами для оценок s2r и s l r ПРИ Пі~ const. Оценка межгрупповой

дисперсии определяется по данным табл. III.3 при числе степеней свободы /м.г=Д—1, как

где у — общее среднее по всем результатам измерений

п

i=i

Оценка внутригрупповой дисперсии s2r определяется

82

по данным та-бл. III.3 при числе степеней свободы /в.г =

= / г ( / 7 і — 1 ) :

П

(III.26)

Критическое значение Етабл определяется (прил. VI) при заданном уровне значимости а с учетом степеней свободы числителя (п—1) и знаменателя п(т—1). Если ЁсЕтабл, то можно считать, что ст^_г= ств.г» и> следова­ тельно, вариация уц обусловлена только ошибками конт­ рольных операций (эксперимента). В этом случае сле­

оценкой дисперсии, характеризующей внутрилаборатор­

(опытами).

II 1.4. Метрологические задачи в материаловедении и технологии бетона. Особое научное направление — ме­ трология— занимается проблемой точности и правиль­ ности измерений и обеспечения единства мер. Общая метрология в СССР находится на уровне мировых до­ стижений, а по некоторым проблемам она является наи­ более передовой. На базе общей развивается отраслевая метрология, отражающая то особенное, специфическое, что свойственно процессам в данной области человече­ ского знания.

Однако, если, например, в машиностроении и геоде­ зии, отраслевая метрология развита на уровне общей, то существует ряд областей, в которых метрологиче­ ские задачи решены неполноценно. Судя по анализу периодической печати, к таким областям можно отнести общее материаловедение и технологию строительных материалов. В то же время можно показать, что нали­ чие отраслевой метрологии и вытекающих из нее одно­ значных практических рекомендаций является одним из

условий успешного решения проблем анализа и управ­ ления качеством материалов [23].

Из приведенной общей схемы управления качеством материалов видно, что вся необходимая для управления качеством информация поступает в подсистему приня­ тия технологических решений через подсистему контро­ ля. Следовательно, точность и правильность работы под­ системы контроля в значительной степени определяет надежность работы подсистемы управления и, в конечном счете, уровень качества выпускаемых материалов.

Измерение — это «познавательный» процесс, в кото­ ром на основании эксперимента получается информация о численном значении измеряемой величины» [58]. При этом физический процесс сравнения одной величины Qi с другой величиной U, значение которой известно (пос­ ледняя может быть по общему согласию принята за

84

единицу измерения), приводит к результату измере­ ния ус

(III.28)

Абсолютной погрешностью (ошибкой) измерения А,- называется разность между результатом измерения у\ и действительным значением А измеряемой величины

^ i = yt — А (III.29)

Относительной погрешностью (ошибкой) измерения бг называется отношение абсолютной ошибки Ді к ре­ зультату измерения ус.

б; = Ьі’-Уі- (III.30)

Погрешности появляются вследствие того, что усло­ вия измерений не остаются постоянными в течение фи­ зического процесса измерений.

Важным условием малой погрешности результата измерения является учет максимально возможного коли­ чества факторов Хщм, влияющих в ходе эксперимента на достоверность добываемой информации. За этим, соб­ ственно говоря, и скрыт субъективный фактор, называе­ мый обычно «искусством экспериментатора».

Факторы Апзм, влияющие на ошибку Дг-, можно клас­ сифицировать на пять условных (в силу взаимозаменяе­ мости понятий в конкретной измерительной ситуации) групп:

первая — ошибки, возникающие из-за изменения объ­ екта во времени, например из-за уменьшения активности цемента (особенно БТЦ и ОБТЦ) с увеличением срока хранения;

вторая — ошибки оператора, связанные с уровнем его квалификации и психико-физическим состоянием (уста­ лость— болезнь; возбуждение — торможение; реакция на шумы и другие внешние и внутренние раздражители); третья — инструментальные ошибки, связанные с по­ грешностями изготовления измерительных приборов и

испытательных машин; четвертая — ошибки, обусловленные влиянием внеш­

ней среды (переменные температура, влажность и т. п.) на исследуемый объект, измерительные приборы и испы­ тательные машины;

пятая — методические ошибки, связанные, с одной

85

стороны, с неправильными или упрощенными представле­ ниями о закономерностях проявления некоторого свойст­ ва объекта (или о закономерностях взаимодействия объ­ ект — измерительный комплекс), а с другой — со сте­ пенью разработки методики проведения измерительных операций (отбор образцов, порядок операций, обоснован­ ность допусков, полнота учета фактород Х1Ш{ и ограни­ чений на них и др.); для уменьшения таких ошибок пред­ ложен новый специальный подход [23], основанный на алгоритмизации и моделировании всего комплекса изме­ рительных операций; его применение при анализе ка­ чества вяжущих существенно уменьшило погрешность результатов.

Грубые ошибки («промахи») исключаются из ряда измерений у и у2, ..., уп по статистическим критериям, детально рассмотренным в [50] и проанализированным применительно к технологии строительных материалов в [24]. Рассмотрим лишь наиболее распространенную ситуацию, когда экспериментатору известны только

оценки у и s2 {у}, а нужно проверить, не является ли результат умакс или утш грубой ошибкой. Если s2{y} оп­ ределено по анализируемой группе измерений, то нужно вычислить критерий Смирнова — Граббса [16]

Погрешность измерения можно условно1 разделить

1 Грань между случайными и систематическими ошибками про­ вести достаточно сложно, так как последние могут в соответствую­ щих условиях рассматриваться как случайные величины [53].

86

на две части: систематическую Ѳ и случайную Хс

Систематическими ошибками Ѳ можно назвать такие ошибки, величина которых во всех измерениях, прово­ дящихся одним и тем же методом с помощью одних и тех лее приборов, одинакова (постоянная системати­

ческая ошибка 0) или изменяется по детерминированно­

му закону Ѳ= Ф{*„зм} (переменная систематическая

ошибка 0). Знание этого закона позволяет устранить си­ стематическую ошибку из результата измерения уі (так называемая исключающая систематическая ошибка Ѳ~). Однако на практике весьма часто нет возможности пол­ ностью устранить 0, поэтому измерение уі содержит ос­ таточную ОШИбку ©ост-

Пример II 1.9. В лаборатории при изготовлении цементно-песча- иого раствора для отмеривания воды в количестве В = 260 мл поль­ зовались стеклянным цилиндром V = 500 мл. Для проверки ошибок определения В проведены 10 взвешиваний Q (г) на аналитических

весах тех объемов воды, которые вытекали в другую посуду из мерного цилиндра (при выдерживании его перевернутым в течение 30 сек для стенания капель):

По Ді можно определить оценку исключающейся постоянной систематической ошибки 0 - как среднее арифметическое

Ѳ“ = — — ( 8, 87+ 7,98-1-------(- 7,09) = — 8,28.

Систематическую ошибку Ѳ~ можно в дальнейшем учесть таким образом: вместо 300 мл отмерить этим цилиндром 308 мл. После

исключения из Ді ошибки Ѳ~ получим:

Величина Ді—0 - (например, за счет смачивания стенок цилиндра) содержит и остаточную систематическую ошибку Ѳ0ст, однако оп­

ределить ее не представляется возможным; исходя из (ІІІ.32) мож­ но приравнять Ді—0 - случайной ошибке Х,\

87

Случайными ошибками называют такие ошибки, ве­ личина которых во всех измерениях, проводящихся од­ ним и тем же методом и с помощью одних и тех же при­ боров, изменяется, причем вероятность появления кі меньше некоторой величины А,а подчиняется закону рас­ пределения F{k}=P{k<ikа}- Ошибка hi отражает объ­ ективный закон действия случайности и связана, в част­ ности, с действием всех неучтенных факторов измерения AWДіожно считать [53], что случайные ошибки подчи­ няются нормальному закону распределения (гл. II). Это определяет их свойства.

Таким образом, необходимо различать понятия пра­ вильности и точности (воспроизводимости) результа­ тов [53]. Правильность результата характеризуется си­ стематической ошибкой 0, а точность — среднеквадра­ тичным отклонением а{у}, связанным со случайной ошибкой к.

Пример III.10. Оценим по данным примера Ш.9 случайную ошибку к, для чего определим оценку среднеквадратичного откло­

нения

Среди свойств случайных ошибок следует отметить, что для нахождения суммарной ошибки от действия не­ скольких факторов уі нужно суммировать не сами сред­ неквадратичные ошибки, а их квадраты (закон сложе­ ния дисперсий). Если результаты измерений независи­ мы, то закон сложения двух ошибок определяется следующим образом:

Если результаты измерений і/і и г/2 взаимозависимы, то закон сложения двух ошибок определяется с учетом коэффициента корреляции р{уіУ2 } ‘

88

Если у\, у 2 , У п интерпретировать как п независи­ мых наблюдений одной и той же величины у со средним

значением у, то можно считать, что o2{j/i} = ... —о2{ у } . Следовательно, дисперсия в определении среднего

Пример III.11. При определении прочности бетона с химической добавкой на трех образцах были получены результаты Rx, а на трех образцах без добавки — (эталонные) результаты R 3. Необходимо рас­

считать ошибку в определении прироста прочности Rx— Ra и пред­ ложить пути снижения в два раза величины s{R x—1?0}.

ся серия химических добавок, то следует надежно установить ошиб­

В данной задаче нужно обязательно уменьшать ошибку _обоих сла­ гаемых, так как любое из них больше, чем s~pc6{Rx—R0} = (5,2)2.

89