книги из ГПНТБ / Баженов, Ю. М. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона

Выше указывалось, что коэффициент корреляции ха­ рактеризует степень линейной зависимости между двумя случайными величинами X и У. Эту линейную зависи­ мость можно представить в виде

Уравнения описывают линии регрессии У па X (11.76) или X на У (11.77). Можно показать, что угловые коэф­ фициенты Ьі п b[ выражаются через г{ху), s{x} и s{y}

и уравнения регрессии записываются:

Если г{ху}Ф 1, то уравнения регрессии дают две раз­ ные прямые (см. рис. II.9), пересекающиеся в точке с ко­

60

ординатами (х, у). Поэтому уравнение (11.77) нельзя получить из уравнения (11.76) простым алгебраическим преобразованием.

Пример 11.21. По данным примера П.20 найти уравнения рег­ рессии:

Л

у =■: 2248 — 28,83117;

в) Если алгебраически преобразовать первое уравнение, то по­ лучаемое уравнение не совпадает с регрессией у по 117;

53,89 — 117

= 2501 — 46,42 117.

0,02154

11.10. Элементы линейной алгебры. Определения. Упорядоченная совокупность я чисел называется век­ тором я-мерного пространства с компонентами аи а2,

..., ап (вектор можно рассматривать как точку я-мер­ ного пространства с координатами аь а2, ..., ап):

600кг/м3, щебня 1100 кг/м3.

Вчетырехмерном пространстве состав бетона определяется век­ тором А, равным 300, 180, 600, 1100.

Совокупность тп чисел, расположенных в прямо­ угольной таблице, которая имеет т строк и я столбцов, называется матрицей [А], составленной из элементов

61

Совокупность некоторых элементов матрицы, обра­ зующих новую матрицу, в которой т '^.т и п '^.п пазы-, вают подматрицей [A'] матрицы [А]. Так, совокупность подчеркнутых элементов в матрице (11.81) образует под­ матрицу [A'] (11.82). Элементы матрицы [А], стоящие в j-столбце, образуют вектор-столбец Aj, а элементы, рас­ положенные в і-строке, образуют вектор-строку А,:

Матрица [А] может быть составлена как совокуп­ ность векторов At или Aj.

Матрица [А*], образуемая из исходной (11.81) мат­ рицы [А] заменой строк столбцами, называется транс­

62

Для вектора-строки Аі (11.84) в результате транспо­ нирования может быть получен вектор-столбец Аі и наоборот:

Если т = п, то матрица называется квадратной по­ рядка п. Элементы квадратной матрицы, для которых ('=/, образуют главную диагональ матрицы. Квадратная матрица [А], у которой все элементы, кроме располо­ женных на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Если все элементы диагональной матрицы а.ц—1, то матрица называется единичной и обозначается

[Е].

Матрицы [А] и [В] считаются равными, если они имеют одинаковое число строк (тА =іпв ) и столбцов

(пА =/гв ) и соответствующие элементы этих матриц fltjj и bij равны («ij = Ьіі при і= 1 , 2, ..., т и / = 1, 2, ..., л).

Пример 11.23. В работе [21] приводятся ориентировочные ре­ жимы тепловлажностной обработки изделий. В частности, рекомен­ дуются режимы, приведенные в табл. 11.11.

Т а б л и ц а 11.11. Ориентировочные режимы тепловлажностной обработки

Эти данные можно представить в виде матрицы [Т], которая является квадратной третьего порядка и неднагональной. Матрица [Т*] является транспонированной к ней.

63

Из матрицы [Т] можно образовать девять квадратных под­ матриц [Т,-]:

Подматрицы [Т.2|, [Т3] и [Т5] равны между собой.

Определителем (или детерминантом) квадратной матрицы [А] называют число |/1[, рассчитанное по пра­ вилу Крамера:

для /г = 2 — по формуле

!ЗІ — ^12 ^21

Матрица, определитель которой отличен от пуля, на­

рядка п называется определитель (п—1)-го порядка, получающийся из определителя \А\ при вычеркивании t-строки и /-столбца. Миноры, образованные вдоль глав­ ной диагонали матрицы [А], называются главными ми­ норами.

Алгебраическое дополнение А,-; элемента a,j равно

Пример 11.24. По данным примера 11.23 рассчитать для [Т] определитель [Г|, миноры Л4І;- и алгебраическое дополнение Ац.

4 4 2 IT] = 3 3 2 .

3 2 2

64

По формуле (11.84) находим определитель

|Т| = 4- 3-2 — 4-2-2 + 4-2-3 — 4-3-2 + 2-3-2 — 2-3-3 = 2.

Миноры (в примере 11.23 определители подматриц |Г(-| в том же

Главные миноры Л4ц= 2 , Мгг= 2 и М33= 0 .

Присоединенной матрицей [АѴ] для заданной квад­ ратной матрицы [А] называется матрица, полученная при замене каждого элемента ац его алгебраическим до­ полнением Aij и транспонированием такой новой мат­ рицы.

Пример И.25. По данным примеров П.23 и II.24 получить при­ соединенную матрицу [TV]:

первый этап: замена ац на А ц

/пХ/г. то для них можно найти матрицу суммы [С] того же порядка mX/t:

[А] + [В] -Ь [С]= ([А] + [В]) + [C]=[A]+([B]+[C]). (11.93)

Если число столбцов пА матрицы [А] = {aij} равно числу строк mjj матрицы [В] = {Ьік}, то можно опреде­

лить матрицу произведения [С] = {Cüt} размером тА Х т в> элементы которой С{к вычисляются как

П

оік =У>ацЬ1к (при і = 1,2,...,«в). (11.94) /=1

Произведение матриц имеет смысл только при пА — = /пв . При этом матричное произведение имеет свой­ ства:

В общем случае [А] [ В ]# [В] [А], т. е. умножение матриц некоммутативно. Более того, из существования произведения слева [А] [В] вовсе не следует существо­ вание произведения справа [В] [А]. Если для некоторой пары матриц существует равенство [А] [В] = [В] [А], то такие матрицы называются коммутирующими.

Пример 11.26. По данным примера 11.23 определить матрицу произведения для [TJ и [Т2].

При умножении [Т: ] на [Т2] слева получаем

66

При умножении [TJ иа [Т2] справа получаем

22 22

18 18

Следовательно, [Т2] и [Tt ] — некоммутирующие матрицы.

Если квадратная матрица [А] невырожденная, то обратной матрицей [А]-1 называется такая матрица, которая при перемножении в любом порядке с матрицей [А] дает в результате единичную матрицу [Е]:

При вычислении обртаной матрицы [А ]-1 (процесс обращения квадратной невырожденной матрицы [А]) используются определитель JA) и присоединенная мат­ рица [АѴ]:

Матрица [А], для которой транспонированная мат­ рица [А*] равна обратной [А]-1, называется ортого­ нальной; ее определитель всегда равен +1.

где определители |Л і | (£ = 1, 2, .... п) образуются из оп­ ределителя \А\ путем замены /-столбца вектор-столбцом свободных членов [В]. В особом случае, если матрица [А] диагональная, то все Хі определяются вне зависи­

Найдем матрицу обратную [А], для чего последовательно рас­ считаем матрицу алгебраических дополнений [Аа], определитель

|Л| и присоединенную матрицу [АѴ]:

69