книги из ГПНТБ / Баженов, Ю. М. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона

п /(=10 величина Fтабл ~ 1,3). Однако ее ценность в тех­

прогноза по сравнению с моделью У=г/ составит всего

Трудно указать минимальную величину ри, при кото­ рой следует считать проверяемую модель полезной, но разумно не пользоваться [23] моделями при рм>30— 50% (в зависимости от постановки задачи). Следует еще раз отметить, что проверки по (ІѴ.19) и (IV.20) не­ взаимозаменяемы и адекватность модели ие гарантиру­ ет ее информационной способности (и наоборот).

Пример IV.1. Оцепить адекватность п информационную полез­

Рэг = оо. В этом случае К= 0,7052+0,002416.Y.

Дисперсия воспроизводимости s~v =0,0016. Остаточная днспер-

Общая дисперсия выхода по данным табл. 1.2 составляет

S- (К) = " ^ ~ 'f ' = °»01608C (при/ {К} = 8 — 1 = 7 ) .

Проверка адекватности (/7та0л=2,1 при ct= 5%, /і = 6, f2— oo)

Расчеты показывают, что модель адекватна и обладает доста­ точной информационной полезностью (Рн=190%)

Ошибки в определении коэффициентов регрессии, ха­ рактеризуемые дисперсией о2{6;}, определяются [55] по ковариационной матрице [Д], исходя из соотношения:

120

С00 С01 С0К

ско СК1 ' ’' скк

cov{ftK&u) СОѴ {ÖK ö,}• • • CT'2(ök1

Из (IV.21) следует, что дисперсия а2{6;} и коэффи­ циент корреляции р{bibj} между коэффициентами ре­ грессии Ьі и bj соответственно равны:

По (IV.22) с помощью t-критерия, значение которого связано с числом опытов при определении s2, можно кор­

ректно оценивать доверительные интервалы для ß,, если все оценки независимы (корреляция p{bibj} = 0):

P|ö,. — if|/c(Is3< ß i < ö i + / y ‘cn s3}= 1—a. (IV.24)

С доверительными интервалами связано то критиче­ ское значение коэффициента регрессии Ькр, ниже кото­ рого при заданной вероятности а следует допустить нульгипотезу H q : ßi = 0 и считать, что оценка коэффициента регрессии Ьі статистически неотличима от нуля:

Если коэффициенты корреляции р{bibj} отличны от нуля, т. е. коэффициенты регрессии корреляционно взаимосвязаны, то корректно найти доверительный ин­ тервал для коэффициента регрессии ß* можно только после того, как выбраны для всех остальных ß* некото­ рые фиксированные значения. Однако иногда допускает­ ся [73] применение ^-критерия для удаления «незначи­ мых» Ьі с последующим полным пересчетом оставшихся коэффициентов в модели. Несмотря на статистическую неточность, этот подход (называемый последовательным регрессионным анализом) дает нередко удовлетворитель-

121

пые результаты при построении интерполяционных мо­

делей.

л

Для однофакторной линейной модели F= 0оЧ-6іЛ"і доверительные интервалы находят по простым соотно­ шениям [4] при числе степеней свободы f = N—2:

0,002416— 0,000665<ßi < 0,002416 -|- 0,000665,

T . e. 0,001751 < ß x< 0,003081.

Значение ßi находится в интервале, не накрывающем ноль, по­ этому ßt статистически значим.

Подробный анализ методов построения доверительных интервалов однофакторных линейных моделей для сред­

них значений выхода ут при_фикснроваииом Х= /?і и для индивидуальных значений ут при тех же условиях, а также методов построения доверительной зоны истинной линии регрессии дан в работе [4]. В частности, для ве­

личин ут при каждом фиксированном X доверительный полуинтервал определяется соотношением (с вероятно­ стью 1—а при f = N—2):

Из этого соотношения также видно, что чем дальше

от среднего значения фактора X будет отстоять прове­ ряемая точка Х = т, тем менее надежными оказываются предсказания, основанные на этой модели. Сделать их более надежными, т. е. сузить доверительный интервал,

122

можно при увеличении числа единиц исходной информа­ ции N или при повышении точности измерений.

Пример ІѴ.З. По данным примеров 1.1 и ІѴ.1 построить довери­

тельные интервалы для //„, при фиксированных Х — т от Л'=200 кг/м3 до А'=400 л/м3 (дискретность 20 л/м3). Расчеты целесообразно вы­

Рис. ІѴ.2. «Коридор ошибок» для модели Яр = ф{ДУ} (при фиксированных ЦТ)

В бетоноведении и технологии весьма часто возникает задача об определении с помощью модели значения X (неслучайная переменная!) по заданному значению У

123

(случайная переменная!). При такой постановке задачи имеется только одна линия или поверхность регрессии (см. гл. II о корреляционной связи, при которой всегда возникает отдельная регрессия X по У). Учитывая слу­ чайный характер У, нельзя указать единственное зна­ чение аргумента Хі, н о можно установить его доверитель­ ный интервал. Так, для линейной модели с одним фак­ тором

границы доверительного интервала ЛГМШІ и Хьш;с опре­ деляются при фиксированном ут — >п [4, 74] по соотно­ шению

Если окажется, что величина В0 незначительно от­ клоняется от boa, то можно пользоваться приближенным соотношением

Если в качеству заданной величины ут используется

среднее значение ут из п параллельных наблюдений ве­ личины У, снятых при фиксированном значении фактора X, то в формулах (IV.30) и (ІѴ.32) величина т заменя­

ется на ут и вместо множителя ^1 + — j под корнем ис­

Изложенные положения весьма важны в практике ре-

124

цептурпо-технологических расчетов, потому что нередко, проведя преобразование (IV.33) в (IV.34):

не обращают внимания на случайный характер всех трех величин, стоящих в правой части выражения (ІѴ.34). Пренебрежение тем, что X в (ІѴ.34) как функция слу­ чайных величин есть величина случайная, приводит к нежелательным технологическим ошибкам.

Пример ІѴ.4. По данным примеров ІѴ.1 и ІѴ.З определить зна­

На основании анализа соотношений (ІѴ.22) —(ІѴ.23) можно сделать важные методологические выводы.

125

1.При обработке информации классическим регрес­ сионным анализом может наблюдаться такая ситуация, при которой коэффициенты регрессии оказываются взаи­ мосвязанными (p{bibj} фО ). Избежать этого можно лишь

втом случае, если в матрице [Д] все внеднагоиальиые элементы c;j = 0, что достигается специальным разме­ щением уровней факторов Х і в матрице [X], т. е. пла­ нированием эксперимента.

2.При иедиагоналыюй матрице ошибок [Д] всякое изменение в порядке полинома (IV. 1), добавление или удаление некоторого члена в модели приводят к изме­ нению числового значения остающихся оценок Ьі. Э то затрудняет технологическую оценку роли факторов и приводит к необходимости после каждого изменения чис­ ла членов полинома полностью повторять вычислитель­ ную процедуру.

ІѴ.4. Интерполяционные статистические модели как

средство концентрации технологической информации. В задачах анализа и регулирования качества материа­ лов перед технологом весьма часто возникает необхо­ димость использовать для принятия решения журналы контрольных испытании, дневники экспериментальных работ, технико-экономические отчеты и др. Представлен­ ная в виде многовходовых таблиц информация не всегда позволяет количественно оценить взаимосвязь между зарегистрированными факторами іг качеством продук­ ции для оперативного принятия решений. Если же тех­ нологу необходимо найти количественную оценку свя­ зей или дать описание многофакторной ситуации, то инструментом для обозримого представления информа­ ции является статистическое моделирование.

При построении интерполяционных моделей (градиуровочиых, информационных, прогнозирующих и т. п.) изложенные в п. ІѴ.З особенности регрессионного ана­ лиза вызывают трудности скорее вычислительного ха­ рактера, чем принципиальные. Действительно, если перед исследователем не стоят задачи технологической интер­ претации модели или оценки роли в системе каждого

из факторов, то удовлетворительное решение можно по-

л

лучить, если по модели предсказывать значение Yu в

126

Трудоемкость вычислительных операций при пост­ роении статистических моделей по данным пассивного эксперимента в значительной степени уменьшается при использовании ЭЦВМ, реализующих по типовым про­ граммам процедуру регрессионного анализа. При реше­ нии интерполяционных задач рассматриваются все воз­ можные в данной ситуации модели и выбирается та из них, которая при проверке гипотезы Н0 : а2{У) = ЦңА дает

максимум /щ-критерия или минимум s|IA (IV. 14 и IV. 19).

Весьма широк в бетоноведепни и технологии класс задач, для решения которых удобно привлекать интер­ поляционные прогнозирующие модели. Они позволяют ориентировочно оценить значение некоторого свойства через длительный срок (например, через 28 или 180 су­ ток) по данным ранних или ускоренных испытаний (в течение I—3 суток или даже нескольких часов). Такой подход оказался достаточно эффективным для прогнози­ рования активности цемента некоторых заводов по дан­ ным одно- и трехдневных лабораторных испытаний [27] и, по-видимому, возможен на заводах сборного железо­ бетона и товарного бетона.

Пример 1V.5. По результатам испытаний, выполненных Цен­ тральной лабораторией КиевГЭСстроя, была сделана попытка [62] получить регрессионную модель прочности бетона Т?18о, аргументами которой служили бы только характеристики материалов и бетонной смеси.

Для этого было решено включить в модель факторы, числовые оценки которых или известны до приготовления смеси (Л — актив­ ность цемента в кгс/см2, Ц — расход цемента в кг/м3), или опреде­

ляются сразу после изготовления смеси, но до ее укладки в массив: Убс — объемная масса смеси в кг/м3, ОК — подвижность по осадке конуса в см, ВЩ — фактическое водоцементное отношение н г —

фактическая процентная доля песка в смеси заполнителя, опреде­ ляемая при мокром рассеве смеси.

По 84 пятифакторным точкам были рассчитаны линейные мо­

Наилучшей является модель № 22, поскольку ома содержит коэф­ фициенты, значимо отличающиеся от нуля (Ц6,-) > / Кр=1,99 при а = 5 % ):

и23 = — 5,892 + 0 ,3 7 Ц/В + 2 ,55 убс + 0 .015 О К .

127

128