книги из ГПНТБ / Баженов, Ю. М. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона

Функция cp {л:} называется плотностью вероятности или дифференциальным законом распределения (рис. II.2). Зная плотность вероятности ф{х}, можно найти закон распределения F{x} или интегральную функцию

Величина cp {x}dx называется элементом вероятности. Для точки величина cp{x}dx равна нулю, поэтому попа­ дание непрерывной случайной величины X в определен­ ную точку — событие невозможное. Однако вероятность

Рис. 11.2. Интегральная функция распределения и вероятность попа­ дания X на отрезок от х , до дг2 (а); дифференциальная функция рас­ пределения (заштрихованная площадь cp[x}dx— элемент вероятно­ сти) и вероятность попадания X на отрезок от о до 6 (зачерченная площадь до кривой ср{.ѵ}) (б)

попадания X на элементарный участок dx (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна cp{x}dx. Вероятность попадания X на отрезок от а до б равна:

Р {а < Х < Ь) = J ф {*} dx —■F Щ — F {а}. (11.34)

ь

Дифференциальная функция распределения обладает свойствами:

а) ф{х} — неотрицательная функция, так как F{x} — функция неубывающая;

б) интеграл в бесконечных пределах от ср{х} равен единице (полная площадь, ограниченная осью х и кри­ вой ср{х}).

30

Числовые характеристики распределения непрерыв­ ной случайной величины X, связанные с моментами рас­ пределения, рассчитываются по формулам:

Все изложенное выше о математическом ожидании, дисперсии и иных моментах распределения дискретных случайных величин может быть принято и для непре­ рывных случайных величин (с учетом замены сумми­ рования всех дискретных значений х* интегрированием по области существования Х).

II.4. Теоретические распределения, наиболее важные для статистического анализа. Если значение случайной величины X формируется под одновременным воздей­ ствием очень большого числа независимых факторов, каждый из которых вызывает ее случайные колебания, примерно одинаковые по величине и равновероятные по знаку, то случайная величина подчиняется нормаль­ ному распределению. Плотность вероятности для нор­ мального распределения описывается функцией

Можно показать, что MN{x) для закона нормального распределения равно параметру г) (теоретическое сред­ нее), a Dn {X) = сг2, т . е. данный закон двухпараметриче­ ский. График плотности вероятности флфх} имеет вид симметричной колоколообразной кривой (рис. П.З, а) с максимумом при х=т] и двумя точками перегиба при

31

* = t| ± cf. Кривая становится более пологой с ростом зна­ чения я. Для распределения фя{х} центральные момен­ ты равны: (лз = 0 и р4 = 3 я 4.

Для практических расчетов удобно пользоваться «нормированными» плотностью (11.39) и функцией (11.40) распределения, в которых величина е (так назы­ ваемая «нормированная» случайная величина) вычисля­ ется по формуле (П.41):

Рис. П.З. Кривые плотности вероятности нормального распределения

ности функции фіѵ{е}; если е < 0, то для отыскания функ­ ции распределения в прил. II следует пользоваться вы­ ражением Кдг{е} = 1—Fn {—е}.

При переходе к нормальному распределению с про­ извольными параметрами г| и о используются формулы:

ф*{*}= (IU2)

32

Интеграл (11.34) в пределах от —е до + е указывает вероятность q появления случайной величины X в интер­ вале т|+ ё0 , симметричном относительно среднего (см. рис. П.3,б). Благодаря симметрии функции {е} удоб­ но пользоваться удвоенной нормированной функцией Флг{е), табулированной в прил. III:

о

Вероятность р появления случайной величины X вне интервала г|±ео равна:

—0,8413=0,0919.

При изменении X от і/—Зо до г)+Зо изменение е составит ± 3

[по формуле (11.41)]. Интеграл (11.44) в этих пределах составит с/=0,9973 (прил. III).

Нормальный закон не является универсальным зако­ ном распределения непрерывных случайных величин X, хотя области его приложения весьма обширны. Нор­ мальный закон оказывается мало полезным, если чис­ ло измерений невелико (п от 2 до 25—60). Для решения статистических задач при малом объеме выборки п наи­ более часто приходится прибегать к использованию трех связанных с нормальным распределений: %2-распределе- нию (Пирсона); ^распределению (Стьюдента) и Д-рас- пределению (Фишера — Снедекора) [41, 53, 74].

^-распределение задается распределением случай­ ной величины, являющейся суммой квадратов пезавн-

Функция ср(х2} (рис. 11.4,а) зависит от одного пара­ метра f, называемого «числом степеней свободы». Когда /->-оо, то х2-распределемие приближается к нормалыю-

Рис. II.4. Кривые плотности вероятности х2 распреде­

ления

а — изменение формы кривой в зависимости о т /; б — вероятность попадания X2 за интервал от О доХ~; о — вероятность выхода /2

за интервал от О до Х9*9

му. Функции ср{%2} и F{%2} табулированы. В прил. IV приведены значения %2 в зависимости от а и вероятности

Р= Р{%2-<%1} (рис. 11.4,б). Вероятность q попадания %2 в интервал от Хрі Д° %% определяется (рис. 11.4, в) по формуле

Если необходимо, чтобы вероятности выхода вели­ чины X2 за пределы интервала вправо и влево (см.

следовательно, границы изменения х2 будут равны Хр/2

И Х?_р/2-

Пример П.9. Для числа степеней свободы f = 5 определить ин­ тервал, в который с вероятностью <7=0,9 попадает величина х2>ес­

34

ли вероятность выхода за интервал влево и вправо должна быть одинаковой.

^-распределение задает распределение случайной ве­ личины t, связанной с нормированной величиной е со­ отношением

(П.48)

где X2— зависит только от f и не зависит от в.

Функция ф{<} (рис. II.5) зависит от одного парамет­ ра /; при f—yoo ф{/} приближается к нормальному (сте­ пень раскрытия колокола уменьшается). Вероятность р того, что t окажется вне интервала от tpp до t\—Рр (из-за симметрии распределения tpp = —U~Pp), равна:

величины, являющейся отношением частных от деле­ ния двух рзаимонезавйенмьіх случайных величин yj (с

числом степеней свободы М и yj (с /о) на соответствую­ щие им числа степеней свободы

и

В прнл: VI дана таблица пределов интегрирования Fp в

имеет для случайной величины X информацию не обо всей генеральной совокупности Nr, а лишь выборку с объемом я. Результаты такого ограниченного ряда на­ блюдений (если Хі расположены в возрастающем по­ рядке, то ряд называется вариационным) х\, х2, ..., лщ...

........ хп служат основанием для проверки некоторых ги­ потез о свойствах генеральной совокупности. Далее под­ разумевается, что указанный ряд наблюдений образован из элементов генеральной совокупности, отобранных слу­ чайным образом и независимо друг от друга. Если все элементы генеральной совокупности будут пронумеро­ ваны, то в выборку попадают элементы с номером, взя­ тым из таблицы случайных чисел [16, 53].

При малом числе наблюдений (я^Ю ) вариацион­

36

ный ряд непосредственно используется для дальнейших расчетов; при большом количестве данных простой ва­ риационный ряд преобразуется в сгруппированный: дан­ ные разбиваются на ряд групп или классов, обычно с равномерным интервалом dx. Общее число интервалов k должно быть в пределах 8—25, так как при увеличении k резко возрастает трудоемкость статистических расчетов, а точность результатов не повышается. В каждую группу входят данные, для которых х,- удовлетворяет неравен­ ству

где X] — среднее значение X в /-том интервале.

Знак sg: в правой части неравенства (11.52) указы­ вает, что те Хі, которые точно попадают на границы ин­ тервалов, относятся к меньшему (левому) интервалу. Всего в /-тый интервал попадут из вариационного ряда nij значений X. Число trij указывает частоту попадания случайной величины X в данный интервал. В результате группирования фактические значения х, заменяются средним значением х. случайной величины в каждом

/-том диапазоне, определяемом неравенством (11.52). Среднее значение класса можно определить как полу­ сумму его границ. Такое искусственное выравнивание значений случайной величины X внутри интервала dx допустимо, поскольку и теория и практика показывают, что при достаточно большом числе наблюдений неточ­ ность настолько мала, что ею можно пренебречь.

В большинстве случаев закон распределения случай­ ной величины X и числовые характеристики ms{X) и (1,5{А7} генеральной совокупности неизвестны, поэтому по выборочным данным определяются точечные оценки чис­ ловых характеристик распределения. Расчетные форму­ лы (11.53) — (11.57) приведены для сгруппированного ряда, но, если считать m j= l, х. =х, и k = n, то по ним

можно вычислить также оценки для несгруппированного ряда.

По (11.53) рассчитывается оценка генерального сред­ него г), по (11.54) — оценка дисперсии а2, по (II.56) — оценка коэффициента вариации у, по (11.57) — оценки моментов (оценки обычно обозначаются латинскими буквами в отличие от генеральных характеристик, обо­ значаемых греческими):

37

у'=1

Оценки моментов pj и р* используются для расчета оценок коэффициентов формы эмпирического распреде­

кривой распределения (рис. II.7, б) является коэффи­ циент асимметрии А; его оценка рассчитывается по формуле

Любое симметричное распределение имеет А=0. Количественной характеристикой крутости распреде­

ления (рис. 11.7, в) является эксцесс; его оценка рас­ считывается следующим образом:

38

В формуле (11.59) вычитаемое всегда равно 3, по­ скольку это значение эксцесса для нормального распре­ деления, т. е. все совокупности сравниваются с нормаль­ ным, у которого цз=0 и Ц4 = 3 а4. Островершинные кривые

мостоятельные кривые, что указывает на наличие двух несмешанных совокупностей. Оценки А * и Е* будут иметь статистическую полезность только в том случае, если объем выборки п достаточно велик. Так, для рас­ чета Л* должно быть 25, а для Е *—/г^50.

Выборочный размах W при малых выборках (я^Ю ) можно использовать для быстрого определения несме­ щенной оценки s по следующему соотношению:

39