книги из ГПНТБ / Баженов, Ю. М. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона

Строка 1 в табл. V.2 является направляющем; из плана исклю­ чается вектор лг5, имеющий в этой строке коэффициент 1. Выделим направляющую строку в табл. V.2 жирной линией.

На пересечении строки / и направляющего столбца находится ключевой элемент аи, в нашем примере его значение равно 25.

3. Проведем пересчет симплексной таблицы таким образом, что бы на месте ключевого элемента получить 1, а все остальные эле­ менты направляющего столбца обратить в нули.

Преобразование элементов симплексной таблицы производится по двум формулам: одна — для пересчета элементов направляющей строки, другая — для пересчета всех остальных элементов таблицы.

Новое значение элементов направляющей строки вычисляется по формуле

Это правило применимо и для элемента столбца .ѵ0 н направ­ ляющей строке.

Для преобразования всех остальных элементов матрицы коэф­ фициентов, столбца д'о н целевой строки применимо одно общее правило:

Введем вспомогательный коэффициент ß = — , который остает-

Xlk

ся постоянным при вычислении новых значений коэффициентов каж­ дой строки. Тогда

(ѵ-14)

4. Повторяем операции 1—3 до тех пор, пока в целевой строк не останется отрицательных чисел (в основных векторах-столбцах), что будет означать получение оптимального решения.

Повторяемость операций при пересчете симплексной таблицы позволяет эффективно использовать ЭВМ.

В настоящем параграфе для понимания метода приведен пример ручного счета. Для расчета более сложных таблиц можно исполь­ зовать стандартные программы для ЭВМ.

Рассмотрим порядок расчетов па примере пересчета табл. Ѵ.2. Вычисляем значение коэффициента ß:

ются аналогично исходной, кроме х5, исключенного из плана. На его место записывается вектор Х\ и соответствующее этой переменной значение с, = 1 вписывается в столбец cj.

Остальные элементы таблицы пересчитываются.

170

Подобным образом пересчитываются элементы третьей, четвер­ той II целевой строк.

Полученные значения вписываются в соответствующие клетки симплексной таблицы первого приближения (табл. Ѵ.З).

Значение функции цели задачи получаем в целевой строке в столбце Хо, оно равно 44. Однако план может быть улучшен, так

как в целевой строке имеются отрицательные элементы. Проводим вторую итерацию. В план вводим вектор х3, которому соответствует наибольший отрицательный элемент в целевой строке.

Вновь определяем вектор, подлежащий исключению, для чего вы­

ключевой элемент 210. Дальнейшие расчеты и составление новой симплексной таблицы проводятся по рассмотренному выше алго­ ритму.

Результаты расчетов показаны в таблице второго приближения

(табл. Ѵ.4).

Затем проводим третью итерацию (табл. Ѵ.5): вводим вектор х2,

исключаем вектор Л'8.

Среди элементов целевой строки в табл. Ѵ.5 есть только один отрицательный, но он находится в столбце дополнительного векто­ ра *5, ранее исключенного из плана. Поэтому его введение в план

нецелесообразно. Следовательно, план является оптимальным:

X — (л^; х2; .Ѵд) = (13; 57; 23,1).

Оптимальным планом в заданных конкретных условиях являет­

= 23 шт. подставляем в уравнения ограничений и проверяем расход

171

173

Т а б л и ц а V.6. Исходная симплексная таблица

Из уравнений видно, что план оптимален, так как полностью исчерпаны возможности по изготовлению арматурных каркасов и из­ делий и максимально возможности автотранспорта. Производство бетона имеет резерв, и бетонная смесь может отпускаться непосред­ ственно па строительство.

Пример V.2. Рассмотрим еще одну возможность решения зада­ чи по планированию производства бетона методом линейного про­ граммирования [67].

Имеется завод, где изготовляются железобетонные конструкции. Для них требуется бетон различных марок. Песок для бетонов по­ ступает из различных карьеров, щебень для всех бетонных смесей используется один и тот же.

Применяя песок из разных карьеров, для каждой марки бето­ на можно подобрать смеси нескольких составов — по числу карьеров песка. Каждому составу будет соответствовать свой расход материа­ лов и компонентов смеси. Имея заданные потребности в бетонной смеси каждой марки и ограниченный объем отпускаемого песка од­ ного из карьеров, необходимо определить объем применяемой бетон­ ной смеси каждого вида при условиях:

174

1/5

а) суммарный расход цемента па весь объем бетона наименьший (первый вариант);

б) стоимость всех материалов, израсходованных на приготовле­

пт

£Е Ьц' х-J = мни.

£=1 /=1

2.При наименьшей суммарной стоимости бетонных смесей всех видов и ограничений песка вида

176

Д л я в то р о го в ар и ан та

до 2,5%.

Ѵ.З. Графический метод решения задач линейного программирования. Если в задаче имеются всего два неизвестных, то ее решение может быть найдено графи­ чески.

Рассмотрим в качестве примера задачу производства при ограниченных ресурсах.

Пример Ѵ.З. Завод выпускает изделия двух видов. Для их вы­ пуска требуются определенное количество материалов (цемента и ар­ матуры) и определенные затраты труда и энергии. Ресурсы мате­ риалов, рабочей силы и энергии ограничены. Необходимо устано­ вить, какое количество изделий каждого вида надо изгото­ вить, чтобы стоимость продукции была наибольшей при данных про­ изводственных возможностях.

Исходные данные сведены в табл. Ѵ.8.

Т а б л и ц а Ѵ.8. Данные к примеру Ѵ.З

Ві — общий объем имеющихся ресурсов t-того вида.

178