книги из ГПНТБ / Баженов, Ю. М. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона

11.7. Понятие о статистической гипотезе. Сущнос статистического анализа заключается в том, чтобы на основе выборки вывести суждение о свойствах генераль­ ной совокупности. Поскольку это суждение о делом де­ лается по информации о части, то само суждение носит вероятностный характер и содержит элемент риска.

Статистической гипотезой Я называется любое ут­ верждение о свойствах генеральной совокупности. За­ дача проверки статистических гипотез является одной из важнейших не только в математической статистике, но и во всех экспериментальных работах. Только при вы­ движении и проверке тех или иных статистических гипо­ тез осуществляется на практике вероятностно-статисти­ ческая концепция, а совокупность всех осуществляемых до этого математических операций можно рассматривать лишь как вычислительную процедуру, подготовляющую информацию для проверки этих гипотез.

Процедура проверки непротиворечивости гипотезы Я имеющимся экспериментальным (выборочным) данным называется статистической проверкой гипотез и осуще­ ствляется с помощью того или иного статистического критерия Сг. Очень часто в экспериментальной прак­ тике формулируется в качестве основной, так называе­ мой нуль-гипотезы Я0, гипотеза о том, что различие меж­

для двух выборок А и Б отсутствует, а наблюдаемые от­ клонения ДѲ = Ѳ'Л—0*в (например, Аа2 = 5д—s2B) объяс­

няются случайными колебаниями в выборках (факти­ чески ДѲ равно нулю). Все остальные гипотезы называ­ ются альтернативными и обозначаются Н\. При про­ верке гипотез возможны четыре случая:

первый — фактически истинна гипотеза Я0, и она до­ пускается критерием Сг;

второй — фактически истинна гипотеза Я0, но она отвергается критерием Сг;

третий — фактически истинна гипотеза Я ь а Я0 от­ вергается критерием Сг;

четвертый — фактически истинна гипотеза Я ь но Я0 допускается критерием Сг.

Истина достигается только в первом и третьем слу­ чаях. Во втором случае допускается ошибка первого рода: отклоняется верная гипотеза Я0; в четвертом слу­

50

чае допускается ошибка второго рода: принимается лож­ ная гипотеза Но, в то время как верна альтернативная.

Вероятность допустить ошибку первого рода назы­ вается уровнем значимости и обозначается а (соответ­ ствующая ей область Сг называется критической).

Если объем выборки п велик (n>1000), то имеется принципиальная возможность добиваться минимизации ошибок а и ß. Если объем фиксированной выборки мал, то обычно задаются уровнем значимости а, а статистиче­ ский критерий Сг выбирают так, чтобы минимизиро­

вать ß.

Чем существеннее потери от ошибочного отклонения гипотезы Н0, тем меньшей выбирается величина а. Прак­ тика исследований в области технологии [23] показы­ вает, что можно ориентироваться на следующие значе­

ния а:

а) для поисковых рецептурно-технологических задач а = 5—10%;

б) для окончательных решений в таких задачах а = = 2 -5% ;

в) для задач контроля качества неконструкционных материалов (отделочных, изоляционных и др.) а = = 1-5% ;

г) для задач контроля качества конструкционных материалов и несущих конструкций а = 0,1— 1% (мень­ ший предел для случаев, когда нарушение нормальных условий эксплуатации связано с риском для жизни людей).

Основные этапы проверки гипотез Я0 сформулирова­ ны в табл. 11.8. Они комментируются для случая про­ верки гипотезы Н0 : Ца —т}треб.

Пример 11.16 [22]. Проверить нуль-гипотезу о равенстве истин­ ной средней т)л фактической прочности бетона марки 400, если че­

70% марочной, следовательно, тітрсб=0,7-400=280 кгс/см2. Решение дано в табл. 11.8.

Следует отметить, что статистические критерии по своей природе отрицательны. Если значение изучаемого параметра попадает в область принятия гипотезы, то это значит лишь, что гипотеза не противоречит экспери­ ментальным (выборочным) данным и ее с риском а мо-

52

жно признать правомерной (в таких случаях будем го­ ворить «гипотеза допущена») по крайней мере до тех пор, пока более глубокие исследования по расширенной информации или с помощью более мощных критериев не приведут к противоположному результату. Кроме того, неотрицательный результат проверки гипотезы Н0 не означает, что эта гипотеза лучшая или единственная (свойством непротиворечивости могут обладать и дру­ гие гипотезы)— ее следует рассматривать лишь как одно из правдоподобных, а не абсолютно достоверных утверждений.

ІІ.8. Проверка гипотезы о нормальности распределе­ ния. При достаточно большом числе наблюдений моле­ но вариационный ряд описать кривой распределения. Если предполагается, что случайная величина X в гене­ ральной совокупности распределена по нормальному за­ кону ср;у{х'}, то формулируется нуль-гипотеза Н0: ср{Х} =

= (pjv{^}-

Для проверки гипотезы нормальности можно исполь­ зовать оценки коэффициента асимметрии Л* и эксцесса Е*. При этом выдвигаются гипотезы # 0: /1= 0 и Я0: Е = 0, проверка которых осуществляется с помощью довери­ тельных интервалов. Если интервалы «накрывают» ноль, то гипотезу нормальности можно принять. Процентные точки распределения оценок А* и Е* табулированы [16], что позволяет решать задачу без дополнительных вычис­ лений.

Пример 11.17. По данным примера II.15 границы при р=90%

Поскольку в обоих случаях нуль накрыт доверительными интер­

(«критерии согласия»). Одним из самых строгих и на­ дежных критериев является критерий Пирсона

к

„ѴД (nil — ni. I2

53

Критерий Хф не зависит от параметров неизвестной функции ср{К} и поэтому называется «непараметриче­

(прил. IV), найти Р{%ф} при f= k'—I—1.

Если P {x|}> 5% , то гипотеза Я0: cp {X} = срл-{х} до­ пускается как правдоподобная.

Пример 11.18. По данным примера 11.13 проверить гипотезу нор­ мальности по критерию согласия ХфРасчеты приведены

в табл. 11.9: в столбцах 8 и 9 частоты т ^<Ъ объединены; в столбце 10 по данным столбцов 8 н 9 рассчитаны отклонения |т . —гп:ТI,

эмпирическими накопленными частотами и теоретической функцией распределения F{x}.

Расчеты и схема проверки гипотезы весьма просты, однако критерий К дает правильные результаты только в том случае, если известны генеральные т) и а2, что в действительности встречается крайне редко. Если из­

вестны X и s2, то значительно возрастает, особенно при малых выборках, риск ß принять ошибочную гипотезу как правдоподобную. Поэтому в случае применения кри­ терия X нужно для принятия нуль-гипотез брать очень жесткие границы Р{А,}^20—30% и даже Р{Я,}^60% [53].

Пример П.19. По данным примера 11.13 рассчитать критерий Колмогорова X и проверить гипотезу нормальности.

54

55

В табл. II.9 в столбце 13 приведена теоретическая функция У{е*}, рассчитанная для верхних границ интервалов (столбец 12); она нор­

мирована. Максимальная разность между vxj (столбец 14) и /Де*}

ности можно было бы принять, если были бы известны ц и а.

11.9. Система двух случайных величин. Если одн временно фиксируются факты появления двух случай­ ных величин X и У, то можно говорить о системе двух случайных величин (X, У). Результаты наблюдений дву­ мерной случайной величины (X, Y) геометрически изо­ бражаются в виде совокупности точек плоскости с ко­ ординатами {(*,, Уі), (Х'2, у2), (Хі, Уі), ..., (Хп, !/„)}.

Если число наблюдений п велико, то возможен пере­ ход к сгруппированным данным. В этом случае каждая ось разделяется на k и / интервалов размером dx и dy. Образуется kl прямоугольников, середины которых име­ ют координаты x'j и у . Для определения эмпирических

частот тху аналогично правилу (11.52) подсчитывается число точек, попавших в прямоугольник с координатами

х ’і 11У*■

Плотность вероятности (11.71) нормального распре­ деления двумерной случайной величины (2СУ) геомет­ рически изображается поверхностью с экстремумом в точке с координатами ах и ау, которые по своему вероят­ ностному смыслу представляют значения средних ком­ понент г|.г- и % системы X и У (ох2 и о2 дисперсии тех же

компонент):

(11.71)

В приведенной формуле есть дополнительный (пя­ тый) параметр р{ху}, характеризующий в некотором смысле зависимость Х и У друг от друга; этот параметр называется коэффициентом корреляции и определяется по второму смешанному центральному моменту дщ, но­ сящему название ковариации (соѵ);

56

Для независимых случайных величин X и Y кова­ риация соѵ{ху} = 0 и, следовательно, р{Аі/}=0. Величина р{ху} характеризует степень линейной зависимости меж­ ду двумя случайными, нормально распределенными ве­ личинами (хотя формально его можно вычислять для любой двумерной системы); она существует в преде­ лах— 1^ р {аі/ } ^ 1. Равенство нулю коэффициента кор­ реляции необходимое, но не достаточное условие неза­ висимости X и Y. Из независимости случайных величин вытекает их некоррелируемость, но из некоррелируемости не следует их независимость.

Точечная числовая оценка г{ху} для иесгруппированных данных вычисляется по формуле (11.74), а для сгруппированных — по формуле (11.75):

П

S ( Х і — х ) ( У і ~ ~ у )

г {ху} ■= t = 1

ns (а) ■s {у}

(П.74)

(11.75)

Построение доверительных интервалов для р{ху} и

57

проверка гипотезы Я0: р{л:г/}=0 рассматриваются ниже,

в гл. III.

Пример 11.20. Во ВНИИСтроме были проведены [29] испыта­ ния нзвестково-песчамых автоклавных бетонов, в том числе для ма­ териала 43 изделий заводского изготовления определены объемная масса у (кг/м3) и водопоглощенпе W (%). Результаты испытаний

представлены на рис. 11.9.

По данным рис. 11.9 можно составить таблицу группированных наблюдении (табл. 11.10), определив частоты подсчетом количества

Рис. 11.9. Взаимосвязь между водопоглощением W и объемной массой у

автоклавных бетонов

точек, попавших в соответствующие прямоугольники. Такая табли­ ца называется «корреляционной». В иен номера классов выбраны так, чтобы начало отсчета проходило через максимум частот т х и т у, и определены по формулам:

klniih рассчитывается для проверки расчета Hklmhi— —78). Находим

58

69