книги из ГПНТБ / Баженов, Ю. М. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона

100

Обращает внимание последний результат: относительная ошиб­ ка определения площади цилиндра вдвое больше относительной

ит. п., но и для определения допустимых ошибок а{Хі}

иб{л'г} по заданной величине а {У} и 6{У}. Это один из обязательных этапов управления процессом эксперимен­ та и контролем качества.

На основании анализа закона распределения ошибок

вконкретной ситуации технолог может выбрать необхо­ димую измерительную аппаратуру, а также определить число повторений того или иного измерения Х; на дан­ ном образце.

Пример III.14. Проанализируем по данным примера III.13 ус­ ловия получения заданной ошибки a{R} и 6{Р}.

Если задано 6{Р }=2% , то

б2 {R} = б2 {Р} + б2 (Р) = б2 (Р) + 4б2 {d) = 0,0004.

Поскольку 62{Р) задано конструкцией испытательной машины (весьма часто 6{Р} = 1%), то регулировать можно 62{d}:

„0,0004 — 0,0001

Если такая ошибка инструментально недостижима, то следует увеличить число параллельных измерений диаметра образца. Пред­ положим, что возможна бВозм{гі}=2%, тогда, воспользовавшись (ІІІ.35), найдем:

62 W

101

= 75 V (10: ЗОО)2 — 0,001- =-= 2,385 м м .

Поскольку 0треб{с/} >o{rf} = 2 мм, то можно считать метод из­

мерения диаметра цилиндра удовлетворительным по точности.

Пример 111.15. Проанализируем относительную ошибку a{R} определения прочности бетона па сжатие R по известной формуле в предположении независимости коэффициентов А и а:

102

о{хі} обычно неизвестны и заменены /е оценками s {a:,}, каждая из которых определена с числом степеней сво­ боды \і = Пі—1. В этом случае оценка среднеквадратич­ ной ошибки косвенного измерения s { y } , рассчитанная по (III.39), имеет число степеней свободы /{У}, опреде­ ляемое (предложение Уэлча) следующим образом:

где s{y} принимается по табл. III.8 (с заменой символа генераль­ ного среднеквадратичного отклонения на символ оценки).

в табл. III.9] показателей изменения некоторого пара­ метра R (такие задачи часто встречаются в технологии) число степеней свободы определяется как:

103

III.6. Принципы выбора кривых распределения по опытным данным в рецептурно-технологических зада­ чах. Числовые значения критериев качества бетона и чи­ словые значения технологических факторов, определя­ ющих это качество, можно рассматривать как случай­ ные величины (см. гл. II). Чтобы задать такую величи­ ну, нужно указать не только ее возможные значения, но и вероятности, при которых эти значения достигаются.

мальной — таблица зафиксированных в ходе исследова­ ния выборочных значений случайной величины.

Познавательная сторона задачи сводится к тому, что­ бы на основании выборочных данных сделать выводы о свойствах генеральной совокупности. Такой переход от минимальной информации к максимальной может быть осуществлен только на вероятностно-статистической ос­ нове. При этом исследование проводится в несколько этапов:

первый — построение ряда распределений для выбо­ рочных значений случайной величины, группировка их по интервалам, определение частот и частостей в каж­ дом интервале, построение графика распределения (ги­ стограммы, полигона и т. п.);

второй — определение точечных числовых оценок рас­ пределения: среднего х\ дисперсии sz{x}; коэффициен­ тов вариации ѵ{х}, асимметрии А*, эксцесса Е* и т. д.; третий — определение интервальных оценок, кото­ рые дают уверенность (с определенным риском а) в том, что параметр генеральной совокупности лежит внутри

интервала, связанного с точечной оценкой;

104

четвертый-— аппроксимация выборочного распреде­ ления теоретическим законом распределения или подхо­ дящей эмпирической кривой (с проверкой адекватности принятого решения).

До последнего времени большинство технологиче­ ских работ ограничивается двумя первыми этапами, при этом используются лишь элементарные алгебраические

операции при вычислении х и s2{%}, а не вероятностностатистический метод познания, который начинается на третьем этапе.

Технолог, определивший интервальные оценки и тем более правильно аппроксимировавший выборочное рас­ пределение, может при том же объеме исходных данных ответить на ряд важнейших технологических вопросов, в частности:

об области существования случайной величины; о точности точечных оценок параметров распреде­

ления;

овыборе необходимого числа наблюдений для полу­ чения заданной точности параметров выборки;

осправедливости тех или иных нуль-гипотез (напри­ мер, о равенстве двух выборочных средних) и т. д.

Ответы иа эти вопросы невозможно получить вне ве­ роятностно-статистической методологии. А именно эти ответы лежат в основе решения задач технико-экономи­ ческого анализа производства и управления им, метро­ логии, стандартизации, надежности, текущего и при­ емочного контроля качества, моделирования рецептур­

но-технологических ситуаций и т. п.

Выбор типа закона распределения — задача не­ простая. Наиболее популярен в практике нормальный закон (см. гл. II), физическая модель которого основа­ на на предположении, что случайная величина представ­ ляет собой результат «малых» воздействий (примерно одинаковых по величине и равновероятных по знаку) большого числа взаимоиезависимых факторов. Однако многие явления не могут быть описаны таким законом по своей физической сущности: размеры зерен при дроб­ лении, число дефектов в образце и др. В этом случае следует применять иные распределения: непрерывные (экспоненциальное, Вейбулла и др.) или дискретные (биноминальное, Паскаля и др.) [41, 79, 75]. Целесооб­ разно анализировать соответствие выбранного распреде­ ления физической модели явления, однако во многих

105

технологических задачах механизм явления известен не­ полно, и технолог вынужден ограничиться подбором распределений по эмпирическим данным.

Информация о закономерностях распределения слу­ чайных величин в виде функций пли числовых характе­ ристик необходима технологу при решении всех задач

Рис. III.1. Диаграмма для оп­ ределения типа кривых распре­ деления в координатах ßi и ß2

мальное; Л — критическая область

анализа и оптимизации качества бетона гі других строи­ тельных материалов. Этот этап предшествует примене­ нию любых статистических методов в технологии. Если в некоторых задачах технолог не проводит специальных исследований кривых распределения для входов X и вы­ ходов У системы, то на основании анализа механизма явления он выбирает тот или иной закон распределения. Даже если он принимает, что закон распределения слу­ чайных величии не известен, то это тоже является суще­ ственной информацией, так как она определяет приме­ нение в дальнейших исследованиях методов иепараметрической статистики.

Для выбора кривой распределения по известным чис­ ловым оценкам асимметрии А* и эксцесса Е* удобно пользоваться методом, основанным на анализе оценок

На рис. II1.1 показаны в координатах ßi и ß2 обла­ сти существования шести различных теоретических рас-

106

пределеиии, а в табл. III.10 даны сведения о них; в за­ висимости от соотношения между ßi п р2 технолог нано­ сит точку С и выбирает подходящий закон распреде­ ления [75].

Пример III.17. При анализе 134 проб песка (для приготовления нзпестково-песчаных автоклавных бетонов) на содержание глины были получены следующие числовые оценки (при 15 группировках

107

Можно выбрать для описания распределения содержания гли­ ны в песке распределение типа ß (/). Если бы в данной задаче бы­ ла принята кривая нормального распределения, то этот вывод имел

достоверность менее 0,05% (%]j,=63,2 при /= 1 1 —3 = 8, так как 5 интервалов пришлось бы объединить в один).

Истинные значения коэффициентов ßi н ß2 находятся в некотором доверительном интервале возле оценок ßj и ßj, следовательно, С нужно представлять себе не

как точку, а как область, очерченную эллипсом, который (особенно в зонах ßj=0-=-l и ßj =0-М , а также в зонах

ßj = 2,5л-3,5 II ßj =7-4-8) может перекрывать несколько

линии на рис. III.1. В результате нужно проверить не­ сколько теоретических распределений и выбрать из них наилучшее как по %2-критерию, так и по физическому смыслу механизма явления.

Пример III.18. Определить параметры ß-распределепия по дан­ ным примера III.17. Из табл. ШЛО находим, что любая ß-форма имеет два параметра распределения ц и у. оценки которых т|* н yjy

можно [75] найти по (III.47) и (111.48) в зависимости от оценок х

и s{*}. Однако следует учесть то обстоятельство, что ß-pacnpe-

1Г—----[•ѵ’и (1~ -ѵо) — sii] = sö1

108

Хо = 0 и Л*=15,5) показывает, что Р{х2}> 5% и гипотеза адекват­ ности не отклоняется. По физическому смыслу ß-распределение можно признать удовлетворительным, так как одно из его интер­ претаций [75]: распределение доли совокупности (содержание гли­ ны в %), заключенное между наименьшим и наибольшим значения­ ми выборки.

этих распределений не может конкурировать в данной зада­ че с ß-распределением (пример

III.18).

Вряде случаев технолог вынужден прибегать к описа­ нию ряда распределения эм­ пирическими законами, из ко­ торых популярностью пользу­

109