книги из ГПНТБ / Баженов, Ю. М. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона

Г л а в а III

НЕКОТОРЫЕ ТИПОВЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ РЕЦЕПТУРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

III.1. Определение количества исходных данных для статистического решения задач. Изучение сложной си­ стемы возможно лишь в результате многократного на­ блюдения за ее поведением и получения информаций о явлениях и процессах, объективно существующих в дан­ ной системе.

Так как анализ и оптимизация качества бетона и же­ лезобетона должны опираться на правильные и точные количественные оценки входов и выходов системы, то сбор информации является одним из важнейших этапов решения технологических задач [22]. В абсолютном большинстве случаев решение таких задач статисти­ ческими методами проводится в условиях, когда техно­ лог оперирует не всей совокупностью возможных данных (под данными понимаются сведения о состоянии изу­ чаемого объекта [48], содержащиеся в печатных изда­ ниях, документах, результатах испытаний и т. п.), а лишь некоторой их частью — выборкой из генеральной сово­ купности. Эта выборочная совокупность, как показано в гл. II, служит основой определения статистических оценок Ѳ* истинных значений параметров генеральной совокупности Ѳ (среднего т], дисперсии а2, коэффициента корреляции р{ху}, коэффициентов регрессии ßi и т. д.).

Расхождение между параметром Ѳ и оценкой Ѳ* воз­ никает в связи с тем, что выборка не может полностью воспроизвести (репрезентатировать) генеральную сово­ купность. Эти расхождения ДѲ*= Ѳ—Ѳ* называются ошибками репрезентативности. Параметр Ѳ будет нахо­ диться с вероятностью q в некотором доверительном ин­ тервале, который для многих Ѳ (особенно при га^бО) оп­ ределяется соотношением

Р {Ѳ* — Д Ѳ * < О < Ѳ * + Д Ѳ * } = q = 1 — а. (IH.l)

Поскольку ДѲ связана не только с уровнем значи-

71

мости а (вероятностью существования 0 за границами доверительного интервала) и законом распределения оценок параметра 0*, но и с объемом выборки п, то, исходя из (III.1), осуществляется построение большин­ ства методов априорного определения количества на­ блюдений или иных данных. Так, для определения ^сред­

него х с заданной ошибкой репрезентативности Д{х} ис­ пользуется соотношение (см. табл. 11.7)

Более удобно в технологических расчетах исполь­ зовать относительную ошибку репрезентативности 8{х} =

= Д{х} : X и коэффициент вариации и{х} =s{x} : х. В этом случае

Величина 8{х} обычно выбирается в пределах 1—5%; уровень значимости а — в пределах 1—10%, а коэффи­ циент вариации ѵ{х} принимают из предыдущих опы­ тов или по другой априорной информации.

Если объем генеральной совокупности Nr известен, то это позволяет уменьшить объем выборки /іу, который определяется по формуле

сборного железобетона нужно определить число необходимых дан-

/і = о о по прил. V)

п= (2,326-0,08 :0,01 )2 = 346 единиц.

Если известно, что в журнале содержится 1000 данных (за ин­ тересующий период), то по (III.5) будет получена при тех же усло­ виях меньшая величина

2,3262-0,082-1000

= 257 единиц.

0,01 = -j000-f 2,326=-0,082

72

Если технологу необходимо сравнить средние двух

выборок Х\ и х2>то объем каждой выборки при условии

ііі = п2 = Пі определяется по преобразованной к относи­ тельным величинам формуле

Если объем одной из выборок ti\ уже известен, то

Если число эталонных образцов известно (//і= 60), то число об­ разцов с химической добавкой составит

2,3262-0,082(1 -f-0,05)2

= 20 единиц.

0,052 — 2,3262-0,082-60—1

Следует отметить, что формулы (III.3) — (Ш.7) вы­ ведены в предположении, что распределение X нор­ мально, а. ожидаемый объем выборки 60 (только в этом случае в указанных примерах вероятности ос=2% соответствует величина / = 2,326, а если п ;< 60, то / > >2,326). Поэтому для уточнения объема выборки осо­ бенно при /г< 10 рекомендуется вести последовательный расчет, выбирая из таблиц /-распределения значения, соответствующие получаемым гц.

и нужно брать 7 единиц.

73

Для облегчения определения я в табл. III.1 приведены минимальные объемы выборок в зависимости от а и со­

отношения %т = б{х} : V{х}, называемого нормирован­ ной погрешностью.

Для типичных в технологии бетона я = 2-6 в табл. III.2 приведена расчетная нормированная погрешность хт для а = 5% и а=10% . Анализ этих результатов пока­ зывает, что почти во всех случаях кт > 1 , следовательно, при малом числе образцов нельзя сделать выводы с точ­ ностью большей, чем коэффициент вариации ѵ{х}.

Для больших выборок объем я, обеспечивающий ре­ презентативность по оценкам s2{x}, ѵ{х}, г{ху} и т. д., можно рассчитать исходя из соотношения (III.1). Для малых выборок объем я следует выбирать по таблицам, построенным с использованием распределений, отличных от нормального (такие таблицы для s2{x} приведены в работе [16], для г{ху) — в работе [61]). Как показы­ вает опыт, для определения необходимого объема я дан­ ных при классическом регрессионном анализе (число

74

переменных К) расчеты по сложным методикам приво­ дят к результату, близкому к следующему:

1 0 /(< я < 3 0 /С , (III.8)

который и рекомендуется использовать при сборе ин­ формации.

Для определения числа параллельных измерений в

учитывать не только риск а совершить ошибку первого рода (риск отвергнуть в действительности верную гипо­ тезу, учитываемый в приведенных выше формулах), но и риск ß совершить ошибку второго рода (допустить не­ верную нуль-гипотезу, когда в действительности верна альтернативная).

Последние годы в различных отраслях науки и тех­ ники широко применяется новый метод последователь­ ного отбора информационных единиц (при эксперимен­ те — образцов) в изучаемую выборочную совокупность. Предложенный Вальдом метод при систематическом применении дает возможность изучать в среднем в два раза меньше образцов, чем при обычных методах, когда число испытаний фиксируется априори. После каждого проведенного испытания экспериментатор делает одно из трех заключений [53] (с учетом ошибок а и ß):

а) проверяемая гипотеза Я0: ті^т)о допускается; б) гипотеза Я0 отвергается и допускается альтерна­

тивная Я 1 : ті^г|і; в) испытания продолжаются, так как результаты всех

накопленных испытаний находятся в области сомнения. Однако в технологии вяжущих и бетонов применение алгоритма Вальда ограничено лишь специфическими за­ дачами физико-химического анализа, когда результат испытаний может быть получен достаточно быстро. В ти­ повых задачах (изучение прочности, упругопластических свойств и долговечности) последовательный анализ применять затруднительно, так как время ожидания резуль­

тата весьма велико.

II 1.2. Сравнение результатов двух групп испытаний (двух выборок). Такая задача возникает наиболее часто в повседневной работе технолога, когда необходимо оце­ нить, влияет ли то или иное рецептурно-технологическое решение на результаты испытаний. Применение стати­ стических критериев для проверки гипотез о равенстве

75

средних Гр и г)2>дисперсий of и о%, коэффициентов ва­

риации д>і и У2 в данном случае является обязательным, так как известны многочисленные работы, в которых решение данной задачи на «интуитивном» уровне приво­ дило к грубым ошибкам в технологических выводах.

Статистические критерии для проверки гипотез Н0: :г)і=г)2, Я о: of =о\ и Я0 : у і= у 2 предполагают, что оба

ряда измерений являются выборками из двух нормально

Индексом 1 отмечают большую из двух дисперсий. Гипотеза о равенстве crj =а^ допускается в том слу­

чае, если /?< ^ ’табл. взятого при числе степеней свободы fi —ііі—1 и f2 = «2—I для определенного уровня значи­

часть таблиц приведена в приложении VI. Если F > F тасл, то нуль-гипотеза отклоняется и с вероятностью 1—а мо­ жно утверждать, что о\Ф о \ .

Пример Ш.4. Проверить нуль-гипотезу о равенстве дисперсий фактической прочности двух бетонов марки 300, изготовленных на

пустить нуль-гипотезу о равенстве генеральных дисперсий прочно­ стей бетона (о[ = 0,).

Задача Яо_:т|і=г|2 о сравнении двух выборочных средних у 1 и i/г может быть решена с помощью f-крите­

76

рия. Если 5j не отличается статистически значимо от s;2, то находят значение t по формуле

>4+ яа — 2

После этого сравнивают при заданном уровне значи­ мости эту величину с £Табл при / = /іі + /г2—2. При ^табл>^ нуль-гипотеза допускается и можно г|г считать равным г|2- Если гипотеза а] = g? не допущена, то формулы

(ШЛО) и (IIIЛ 1) неприменимы. Приближенное решение в этом случае (для п{ф п 2) дано в [74].

При пі — п2 = п выборочные средние можно сравнить, если гипотеза Gj = g| не отклонена, по формуле [при

f = 2(n—1)]

У+

Если а \ф о \ , то формула (III.12) является прибли­

женной и (-критерий проверяется при числе степеней свободы:

77

что при переходе от цемента марки 500 к цементу марки 600 сред­ няя фактическая прочность бетона марки 300 возрастает.

Если обе нуль-гипотезы (Но-'Ц\ = Ц2 и Н0 \а\ = а\)

не отклонены, то в дальнейшем две группы испытаний можно рассматривать как одну выборку и использовать

новые оценки у{піп2} и s2{n1u2}-.

Задача о сравнении двух оценок коэффициентов ва­ риации VL и ѵ2> весьма частая в рецептурно-технологи­ ческих задачах для бетона и других строительных ма­ териалов, несложна, если предварительно проверены ги­ потезы # о : *»1г = гі2 и #о '■а? (поскольку у і= О і: rji),

но становится очень не простой, если есть информация только о Ѵі и соответствующем числе измерений пи До­ статочно удачным можно признать для малых выборок

образования А. Мак-Кэя [51] (в числителе стоит боль­ шая величина, число степеней свободы соответственно

Пі—1 и tij—1):

Пример Ш.6. При применении добавки СаСІа был получен бе­ тон с коэффициентом вариации гч=10% (по данным испытаний J_5 образцов). При введении в бетон добавки NaN02 определены

7?2=300 и s2= 4 5 кгс/смг (при п2= 6 образцов). Сохранилась ли

однородность бетона, характеризуемая величиной у,-, при замене одной добавки на другую?

78

Но: рм —рА2 ■Выборочные оценки (р*м = т АІ '■п\ и Раз = = т А2 : «2, где т А — число образцов, в которых есть

и с его помощью рассчитать 2 -критерий, распределен­ ный по нормальному закону:

нуль-гипотезу следует отклонить и признать, что бетон на гравии, действительно, имеет меньшую долю хорошо сохранившихся об­ разцов.

При проверке таких гипотез оказывается полезной

79