книги из ГПНТБ / Баженов, Ю. М. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона

л

изменению У при переходе только этого фактора Хі с

ростъ изменения У в зависимости от Хі. Е сли при каком-

пазон изменения фактора 2АХа столь мал, что влияние

л

ха на У в данном диапазоне не обнаруживается. При

необходимости технолог может увеличить АХа и вновь

л

проверить влияние ха на У.

Квадратичный эффект численно равен Ьц и характе­ ризует нелинейность модели. Абсолютное числовое зна­

чение квадратичного эффекта Ьц представляет собой

л

ускорение роста' У при изменении Хі. Эффект взаимо­

действия численно равен Ьц и характеризует совместное

л

влияние на У двух факторов Хі и Xj при изменении обоих

от 0 до 1 1 1 или влияние одного фактора Хі на связь дру-

л

того Xj с выходом У. Если в неполной квадратичной двух­

Таким образом, в описывающей гиперболоид модели каждый фактор х{ может быть оценен лишь с учетом всех связанных с ним факторов л> Анализ знаков при

коэффициентах указывает направление, в котором нужно

д

регулировать факторы для оптимизации выхода У. Так,

л

для увеличения У в линейной многофакторной модели все факторы х,, имеющие отрицательный коэффициент

Ьі< 0, нужно принимать лг,-=—а (см. рис. ІѴ.4). В этом

л

случае ДУ>0, поскольку (—Ь) (—а )> 0 .

Следует отметить, что такой алгебраический (или геометрический) подход к интерпретации полиномиаль­ ных моделей обязательно дополняется анализом с при­ менением технологических терминов, который специфи­ чен для каждой рецептурно-технологической задачи, и

141

степень его глубины зависит от целей работы и профес­ сиональной подготовки технолога.

В цепи идей, последовательное развитие которых при­ вело к созданию современной математической теории эксперимента, одним из первых звеньев являются орто­ гональные планы, они позволяют определять все коэф­ фициенты регрессии линейной и неполной квадратичной моделей (а при некотором преобразовании переменных и квадратичные эффекты нелинейной модели) независи­ мо друг от друга. Для такого плана должно быть p{bibj}=0, т. е. матрица [Д] должна быть диагональна,

поэтому будет диагональна и информационная матри­ ца [М]

0о ■ • (КК)

Всилу диагональное™ [М] скалярное произведение всех вектор-столбцов матрицы [х] равно нулю (условие

ортогональности матриц):

И=1

За счет введения кодированных переменных х\ мож­ но получить план с симметричным расположением всех независимых переменных относительно центра экспери­ мента, т. е. выполнить условие

При кодированных переменных Хі в двухуровневых планах диагональное™ [М] приводит к равенству:

1

142

поэтому диагональные элементы матрицы [Д] равны:

Три свойства (IV.52) —(IV.55) ортогональных двух­ уровневых планов при построении линейных и неполных квадратичных моделей позволяют получить из формул классического регрессионного анализа весьма простые отношения [1, 2, 55]:

К числу ортогональных планов принадлежит широко известный экспериментаторам полный факторный экс­ перимент (ПФЭ) типа 2К. Если в эксперименте с двумя переменными Х\ и х2, каждая изменяется (см. рис. IV.4) на двух уровнях (например, при подборе состава бетона расход цемента Х\ изменяется на уровнях 280 и 320 кг/м3, а расход воды х2— на уровнях 190 и 210 л/м3), то все возможные комбинации для варьируемых таким образом двух факторов будут исчерпаны перебором, приведенным в табл. ІѴ.З (столбцы 3 и 4). Верхний уровень в ней со­ ответствует + 1, а нижний —1. Каждая строка ее отно­ сится к одному из экспериментов; в столбце 2 приведены

143

* Далее вместо «+ І» иногда записывается « + * , вместо с—I» записывает­ ся «—».

ний столбец 7 содержит кодовое обозначение строк: на­ пример, буква «а» обозначает, что соответствующая пе­ ременная нт находится на верхнем уровне; «ав» показы­ вает, что на верхних уровнях находятся обе переменные; символ (I) обозначает, что обе переменные — на ниж­ них уровнях. Кодовые обозначения значительно сокра­ щают запись.матриц. Так, табл. ІѴ.З для планирования

Число опытов (четыре) равно числу оцениваемых па­ раметров {Ь0, b1, Ь2, bі2), и на проверку гипотезы об адекватном представлении результатов эксперимента моделью (ІѴ.63) не остается степеней свободы. Однако если явление может быть описано линейной моделью (без взаимодействия Х\Х2), то одна степень остается для проверки гипотезы адекватности.

обходимо было оцепить, как изменяются в -зависимости от этих фак­ торов напряжения R^. (в долях от разрушающих), при которых

144

появляются видимые (в микроскоп) трещины. Осуществлен полный факторный эксперимент 22 при:

Матрица плаиироваиня, результаты эксперимента и расчетная матрица приведены в табл. IV.4. Оценка дисперсии s2{R^} =

= 8,4-10-4 при числе степеней свободы /о= 30 .

Т а б л и ц а 1Ѵ.4. К построению модели в примере 4.11

приравнять нулю. Окончательно модель в кодированных перемен­ ных имеет вид:

R* = 0,5925 -I- 0,0675л:! — 0,0325.ѵ2. (б)

Для удобства применения модели в инженерных задачах допу­ стимо заменить в (б) Хі на натуральные переменные по (а):

Матрица планирования для трех переменных 23 по­

лучается из матрицы 2 2 при повторении ее дважды: пер­ вый раз при значении х3 на нижнем уровне, второй раз — на верхнем. Это формально равносильно умножению кодовой записи матрицы один раз на (I), второй— на с:

Это действие можно применить при К факторах [22]

ипостроить любые планы 2К.

Вполном факторном эксперименте число опытов ра­

стет по показательной функции N = 2K. В то же время число іі{Ьі} линейных эффектов растет пропорционально К, а число эффектов в неполной квадратичной модели —

В тех случаях когда можно ограничиться линейным приближением (априори известно, что все ßjj = 0) или пожертвовать оценкой некоторых эффектов взаимодей­ ствия (это возможно на первых этапах исследования, когда при минимальной затрате ресурсов необходимо получить некоторую информацию о явлении, хотя бы и не очень точную), то число опытов можно резко сокра­ тить, применяя планы, построенные по методу дробных реплик. Эти планы представляют собой некоторую часть матрицы ПФЭ, сохраняющую свойства ортогональ­ ности. Если взята (Ѵг)*-я часть матрицы ПФЭ, то такой план называется регулярной дробной репликой 2К~1. Рассмотрим реализацию этого метода на примере трех­ факторного эксперимента.

Если есть основания априори полагать, что ß12 = ßi3 = = ß2 3 = 0 (линейная модель, описывающая плоскость), то достаточно поставить четыре опыта — ну^кно опреде­

146

в матрице независимых переменных ПФЭ—22, заданной табл. ІѴ.З, можно приравнять ХіХ2 = х3 и получить план для трех переменных Х\, х2 и х3, задаваемый правой по­ ловиной табл. ІѴ.5.

Если же в действительности окажется, что в данной задаче ßi2 # 0 , то коэффициент Ь3, оцененный по такому плану, будет оценкой суммы ß3 + ßi2, что можно записать следующим образом: £3-НЗз+ Рі2 [55, 54]. Коэффициент Ь3 является смешанной оценкой, под которой понимается [6 6 ] оценка коэффициента регрессии, одновременно учи­ тывающая несколько эффектов, причем, по крайней мере, два оцениваемых эффекта не равны нулю; в плане экс­ перимента колонки одновременно учитываемых эффек­ тов имеют одинаковые наборы значений.

В первой полуреплике 23-1 (табл. ІѴ.5) смешанной оценкой является не только коэффициент Ь3, но и коэф­

фициенты 6 r->-ßi + ß23 и b2->-ß2 + ßi3. Если возникают сом­ нения в том, что ßij —0 , то можно поставить еще четыре опыта при х3 ——Х\Х2 по второй полуреплике 2 3 -1 (табл. ІѴ.5), которая вместе с первой дает ПФЭ-23. При рас­ щеплении полного факторного эксперимента на полуреп­ лики в первую отбирались строки с нечетным числом кодовых букв (выполняется требование х3 = Х\Х2)\ во вто­ рую— с четным, причем (I) всегда считается четным. Такие реплики, содержащие только четные или нечетные комбинации букв, называются главными.

Соотношение х3 = лг1х2 (или х3 ——Х[Х2) создает дроб­ ную реплику в плане 23_1 (табл. ІѴ.5) и называется ге­ нерирующим соотношением. В планировании экспери­ мента под генерирующим соотношением понимается [54] такое соотношение, которое показывает, какие взаимо­ действия заменены новыми факторами при построении дробной реплики. Еще более общим понятием является определяющий контраст — соотношение, задающее эле­ менты столбца матрицы планирования, соответствующе­ го фиктивной переменной х0= + 1. В рассматриваемом плане определяющий контраст будет получен, если обе части генерирующего соотношения х3 = Х\Х2 умножим на

Определяющий контраст дает возможность устано­ вить, какие оценки являются смешанными. Для этого

последовательно умножим обе его части на каждый из факторов .V;. Например, для фактора Л'і получаем:

Л'і (хгх2х3) = XL*1 ;

(ІѴ.6 6 )

хйх3 = лу,

следовательно, оценка bi-»-ßi + ß23; аналогично опреде­ лим 6 2-^ß2 + ßi3 и b3-^ß3 + ß i2- Полное изложение методов построения дробных реплик дано в работах [1, 2, 55]. Некоторые дробные реплики приводятся в прнл. VIII.

Если система изучается при одновременном измене­ нии большого числа факторов (/(73=7 ) на двух уровнях, то целесообразно использовать насыщенные ортогональ­ ные планы, в которых все степени свободы используются для определения коэффициентов 6 *. Такие планы (мат­ рицы Адамара) построены для любых N^.200, кратных четырем, за исключением Ѵ= 188 [57]. Опыт решения рецептурно-технологических задач показывает, что ис­ пользование матриц Адамара весьма полезно на первом этапе исследования, когда нужно отобрать наиболее су­ щественные для данной ситуации факторы А; (отсеиваю­ щий эксперимент).

Пример ІѴ.10. Необходимо оценить [28] эффективность влия­ ния четырех комбинированных добавок-электролитов NI-LiCl+NaaSO«; КОН+К2СО3; NH4G-I-K2CO3 и KOH+Na2SÖ4 на прирост прочности

Планирование целесообразно на первом этапе исследований про­ вести на главной полуреплике 25_1, которая позволяет оцепить раз­ дельно все линейные эффекты и взаимодействия при расходе четырех опытов на каждую парную добавку. В табл. ІѴ.6 указаны кодиро­ ванные переменные и уровни их варьирования. В ней первая смена

148

Матрица планирования (п кодовом обозначении) н результаты определения р (по R»Зг) приведены в табл. IV.7.

если Ьі или bij меньше йкр, то такие эффекты можно удалить и по­

лучить модель:

можно считать адекватной и использовать ее для решения техноло­ гических задач.

149