Метода термодинамика(лекции)

С помощью формул (4.73) и (4.75) находим следующие условия устойчивости разреженной плазмы

т.е. при одинаковых условиях плазма менее устойчива, чем идеальный газ.

4.10.4. Собственные продольные колебания . Вторая особенность плазмы также связана с дальнодействующим характером кулоновских сил взаимодействия. Речь идет о том, что флуктуация плотности электронов в плазме не релаксирует, как плотность в обычном газе, а колеблется с определенной частотой, зависящей только от концентрации электронов. Причина колебаний в том, что изменение плотности электронов

вкаком-либо месте плазмы связано с появлением объемного заряда, поле которого, действуя на смещенные электроны, приводит к появлению восстанавливающей силы, пропорциональной их смещению. Переменный характер силы вызывает вибрацию электронов с определенной частотой.

Выделим мысленно в плазме с концентрацией электронов n прямоугольный параллелепипед длиной dx и сечением S (объем dV = Sdx ) (рис. 4.12). Вследствие большой массы скорость движения ионов много меньше, чем у электронов, поэтому их можно считать неподвижными. Пусть

внекоторый момент времени электроны выделенного объема сместились по отношению к ионам на величину ξ(x). Тогда возникающий здесь объемный

заряд и его плотность становятся равными

215

прекрасном согласии с экспериментальными фактами. Все это сыграло неоценимую роль в развитии молекулярно-статистических представлений, в окончательном утверждении молекулярно-кинетической модели вещества.

Имеется два основных источника флуктуаций: а) флуктуации классических физических величин обусловлены конечностью числа частиц в системе; б) у квантовых величин флуктуации связаны с соотношениями неопределенностей. Критерием классичности флуктуаций (пренебрежение квантовыми эффектами),

физической величины около среднего значения (~ время релаксации), T – температура (см. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Статистическая физика. М.: Наука.

– 1964, 568 с, гл. 12, § 112.) При очень низких температурах или очень быстром изменении величины x (очень мало τ) флуктуации нельзя рассматривать термодинамически, инапервыйпланвыступают чистоквантовыефлуктуации.

Явление флуктуации практически может наблюдаться в двух случаях: 1) размеры системы достаточно малы; флуктуации происходят часто и масштаб их относительно велик; 2) размеры системы большие; флуктуации происходят также часто, но отклонение системы от состояния равновесия весьма малые. Наглядным примером флуктуаций в малых системах может служить броуновское движение.

В настоящем курсе основное внимание уделяется флуктуациям физических величин в больших классических системах и не рассматриваются квантовые флуктуации.

5.2. Мера вероятности и масштаб флуктуаций

5.2.1. Флуктуации в замкнутых системах . Пусть замкнутая система в состоянии статистического равновесия имеет энтропию

S0 . При переходе в неравновесное состояние энтропия принимает значение

218

S . Считаем, что изменение состояния системы обусловлено изменением некоторого внутреннего параметра ξ (например, плотности, давлении),

значение которого зависит от состояния всей системы, а в состоянии равновесия ξ = ξ0 . Энтропия системы S(ξ) – функция параметра ξ. Согласно формуле Больцмана (S = k ln w +const ), вероятность величины ξ иметь значение в интервале между ξ и ξ +dξ равна

Эта формула была впервые применена А. Эйнштейном в 1910 г. к исследованию флуктуаций. Здесь в качестве меры вероятности флуктуации рассматривается изменение энтропии. В состоянии равновесия энтропия имеет максимальное значение S0 = S(ξ0 ) , поэтому разность энтропии S(ξ) −S(ξ0 ) отрицательная.

Считаем отклонение параметра ξ от его равновесного значения малым.

Представляя S(ξ) рядом по степеням ξ и ограничиваясь членом второго порядка малости, получимсучетом ∂S(ξ0 )∂ξ = 0

S(ξ) = S(ξ0 ) −a2 (ξ −ξ0 )2 ,

где a = −∂2S(ξ0 )∂ξ2 > 0 . Нормировочнуюпостояннуюопределимизусловия

−∞

Хотя здесь использовалось выражение для w(ξ), относящееся к малым отклонениям от ξ0 , но ввиду быстрого убывания подынтегральной функции с

определяется распределением Гаусса:

219

из равновесного в неравновесное состояние он меняется от λ0 до λ, при этом изменяются и термодинамические параметры, характеризующие подсистему. Предполагаем изменения λ настолько медленным, что в каждый данный момент времени подсистема находится в равновесном состоянии, и ее термодинамические параметры связаны между собой равновесными соотношениями. Причиной перехода подсистемы из равновесного в неравновесное состояние будем считать действие некоторого внешнего теплоизолированного источника работы. При изменении параметра λ на величину ∆λ = λ −λ0 источник совершает работу ∆A(λ) .

Поскольку термостат, подсистема и источник работы составляют замкнутую систему, к ним применима формула (5.1), где общее изменение энтропии состоит из изменения энтропии подсистемы ∆S′ и термостата ∆S0 :

∆S = ∆S0 +∆S′.

Поэтому вероятность перехода подсистемы в состояние с λ под действием внешнего источника роботы определяется формулой

Запишем основные термодинамические равенства для подсистемы и термостата

∆E′ = ∆A −p0∆V ′ +T0∆S′ ∆E0 = p0∆V0 +T0∆S .

Здесь T0 и p0 – равновесные значения температуры и давления подсистемы и термостата, E′ и V ′ – энергия и объем подсистемы, ∆A – работа внешнего источника (но не термостата!). Поскольку внутренняя энергия и полный объем замкнутой системы остаются постоянными (∆V0 = ∆V ′, ∆E′ +∆E0 = 0 ), то из указанных равенств следует

∆S +∆S′ = −∆A(λ)T0 .

Подстановка этих величин в (5.3) дает

221