Метода термодинамика(лекции)

учёт дискретных уровней энергии и введение множителя 1 N ! являются

неизбежными), только создание квантовой статистики позволило решить целый ряд важнейших физических вoпроcoв.

2.11.3. Функция распределения фермионов . Параметры электронного газа. Характерная черта поведения электронов металла состоит в том, что внешние (как правило, валентные) электроны не локализованы в определенных атомах, а «размазаны» по всей решетке. Совокупность «свободных электронов» кристалла, могущих участвовать в явлениях переноса, образуют электронный газ. Электроны движутся совершенно хаотически, их плотность чрезвычайно велика, в несколько раз превышает плотность частиц в обычном, не очень разреженном молекулярном газе. Модель свободных электронов объясняет большое число фактов и основанная на ней теория находится в хорошем количественном согласии с опытом. Это свидетельствует о том, что взаимодействие между электронами в металле не играет большой роли. Можно предположить, что это взаимодействие каким-то образом компенсируется потенциалом ионов решетки (см. следующий раздел курса). При перемещении внутри металла электрон не совершает никакой работы. Он не может выйти за его пределы, если не располагает кинетической энергией, достаточной для преодоления потенциальной ямы глубинойU .

Дискретные уровни энергии отдельных атомом по мере их сближения при образовании кристалла расширяются в зоны (полосы). Состояние электрона s –ой зоны определяется заданием импульса (энергии). Из-за принципа Паули на любом энергетическом уровне не может находиться больше двух электронов. Поэтому в каждой зоне находится не более 2N электронов, где N – число уровней в зоне, равное числу атомов в кристалле. Уровни энергии системы, состоящей из очень большого числа электронов, образуют почти непрерывный спектр. Спин электрона равен

112

=2 , поэтому свойства электронного газа описывается распределением

Ферми-Дирака (2.74).

Рассмотрим сначала поведение электронного газа при температурах, близких к абсолютному нулю, когда энергия теплового возбуждения намного меньше разницы между соседними уровнями энергии, т.е. kT << ∆ε. Если N – полное число электронов в металле, то при T → 0 К будут заполнены первые N2 уровни с энергией ε < εmax , все остальные с ε > εmax свободны

от электронов (рис. 2.11а). На рис. 2.11б представлена функция распределения – среднее число электронов с данной ориентацией спина в одном квантовом состоянии. Во всех заполненных энергетических уровнях число электронов равно двум, а в незаполненных – нулю. Найдем энергию

εmax последнего, самого высокого из заполненных уровня. Считая уровни энергии электронов распределенными непрерывно, определим их общее число через интеграл от плотности состояний (2.31б)

113

∆NN ≤ 0.01. Таким образом, в широком диапазоне температур

электронный газ в металлах является вырожденным и его распределение мало отличается от распределения при абсолютном нуле.

Определим теперь параметры электронного газа при низкой температуре. Распределение электронов по состояниям определяем из (2.75)

Входящий в неё парциальный потенциал µ находится из условия нормировки:

Средняя энергия электронного газа дается формулой

Интегралы Ферми, входящие в (2.84) и (2.85), в общем виде не берутся. Если g(ε) – монотонно возрастающая функция и g(0) = 0 , то приближенное вычисление таких интегралов при низких температурах приводит к формуле

При T = 0°К значение парциального потенциала совпадает с выражением,

следующим из формулы (2.80): µ(0) = εF . При температурах, близких к абсолютному нулю, уравнение (2.87) для µ(T) можно решить методом последовательных приближений

117

Используя тот же алгоритм и для вычисления ε (g(ε) = ε32 ), находим внутреннюю энергию и теплоемкость электронного газа

порядок 104 К, то все температуры вплоть до точки плавления, с точки зрения вырождения электронного газа, оказываются низкими.

2.11.4. Статистика фотонного газа. Поле излучения обладает как волновыми, так и корпускулярными свойствами. Для объяснения различных оптических явлений пользуются то волновым, то корпускулярным аспектом. В явлениях интерференции или дифракции проявляется волновая природа излучения, тогда как при фотоэффекте или рассеянии жестких рентгеновских лучей – корпускулярная. С корпускулярной точки зрения, излучение можно рассматривать как поток световых квантов или фотонов, движущихся в пространстве со скоростью света c . Фотоны возникают при излучении и исчезают при поглощении света атомами излучающего (поглощающего) тела. Их масса покоя равна нулю, а энергия разности энергетических уровней излучающей системы. Фотоны могут иметь разную энергию (частоту ν ) и импульс p , которые связаны между собой соотношениями

118

Их момент количества движения, выраженный в единицах =, является целочисленным, поэтому фотоны подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Поле излучения в замкнутой полости можно рассматривать как некоторый фотонный газ в сосуде. Его частицы беспорядочно движутся, направления их полета изменяются при столкновениях со стенками сосуда. Взаимодействие между фотонами отсутствует, поэтому фотонный газ по своим свойствам имеет определенное сходство с обычным молекулярным газом. Различие заключается в том, что в фотонном газе число частиц не фиксировано и они движутся с постоянной скоростью. Установление распределения частиц по скоростям (импульсам) в молекулярном газе связано с взаимодействием между ними. Это взаимодействие отсутствует в фотонном газе, здесь равновесное распределение устанавливается только в присутствии тела, могущего поглощать или излучать фотоны. Таким телом, в частности, могут служить стенки полости, в котором находится фотонный газ. В процессе поглощения и последующего излучения происходит превращение фотонов одних частот в фотоны других частот. При сохранении полной энергии число фотонов меняется. Последнее определяется состоянием газа. Поэтому в отличие от молекулярного газа внутренняя энергия фотонного газа зависит не только от объема V и температуры T , но также и от числа частиц в нем N . При равновесном состоянии в газе находится такое число фотонов, которое обеспечивает минимальное значение энергии. Иными словами, условие равновесного состояния определяется равенством

Оно показывает, что парциальный потенциал равновесного фотонного газа равен нулю. Среднее число частиц в нем с энергией ε, в силу (2.75), дается формулой

119

т.е. при заданной частоте фотона их среднее число зависит только от температуры. Если в интервале энергий фотона ε, ε +dε (или частот ν ,

ν +dν ) в единице объема имеется dΩ их квантовых состояний, то плотность средней энергии излучения в указанном диапазоне энергий (частот) оказывается равной

температурах) излучения преобладают корпускулярные свойства; при малых частотах (или высоких температурах) – волновые свойства.

120