Метода термодинамика(лекции)

характеризующих свойства газовых молекул. Например, среднее значение компоненты скорости:

Этот результат очевиден, если учесть равновероятность движения молекул в двух противоположных направлениях. Аналогичные вычисления дают vy = vz = 0 , а следовательно, vG = 0 . Среднее значение абсолютной скорости

найдем наиболее вероятную скорость молекул газа, при которой максвелловское распределение имеет максимум:

В соответствии с полученными формулами средняя и наиболее вероятная скорости молекул возрастают с ростом температуры и обратно пропорционально корню квадратному из массы молекулы.

Вычисления

определяют среднюю кинетическую энергию поступательного движения

газовой молекулы

72

Она не зависит от природы молекулы и пропорциональна температуре газа T . Средняя (внутренняя) энергия E газа, равна сумме энергий всех его молекул:

где N – полное число молекул в газе. Средняя энергия механического движения молекул газа отождествляется с макроскопической тепловой энергией. С кинетической точки зрения абсолютная температура есть величина, характеризующая среднюю энергию движения молекул.

В силу равноправия всех направлений в пространстве средняя энергия движения молекулы в каждом направлении должна быть одинаковой. Но поскольку каждая молекула имеет три степени свободы, и ее движение может быть разложена на движение в трех взаимно перпендикулярных направлениях, то из формулы (2.13) следует, что на каждую степень

свободы в среднем приходится энергия, равная kT2 . Это утверждение –

частный случай весьма общего закона о равномерном распределении энергии по степеням свободы в классических системах. Кроме поступательного движения этому закону подчиняется и вращательное движение. Особый случай представляет колебательное движение, где на каждую степень свободы приходится энергия – kT .

Установим связь между внутренней энергией газа E и его давлением

оказывается численно равным 23 кинетической энергии поступательного

движения молекул газа, находящихся в единице объема.

Вычисления среднего квадрата энергии (2.7) и её квадратичной

флуктуации (∆ε2 = ε2 −ε2 ) дают:

73

Большая относительная флуктуация обусловлена тем, что оно относится к отдельной молекуле. Если же рассматривать газ из N молекул, то его средняя энергия, дисперсия и относительная флуктуация оказываются равными

В этом случае отличие истинного значения энергии от его среднего ничтожно мало при всех реальных значениях N . Следовательно можно с большой степенью точности считать энергию идеального газа равной ее среднему значению.

2.5. Столкновение молекул между собой

Выделим две молекулы идеального газа с массами m1 и m2 и

скоростями vG1 и vG2 . Вопрос о столкновении этих молекул связан с характером их относительного движения. В механике показывается, что движение двух частиц можно всегда разложить на движение в пространстве общего центра тяжести и их относительное движение. Из определения скоростей относительного uG и абсолютного (центра тяжести двух молекул) vG движения, а именно:

Находим зависимость vGi (vG,uG) и кинетическую энергию

74

энергию движения центра тяжести, а второе – энергию относительного движения. Относительное движение происходит так, как если бы одна из молекул была неподвижна, а вторая имела массу, равную приведенной µ.

Вероятность того, что одна молекула имеет скорость v1 , а вторая – v2 ,

равна произведению вероятностей простых событий, т.е.

Перейдем в фазовом пространстве от переменных (v1,v2 ) к переменным

(u,v):

v12dv1v22dv2 = u2du v2dv ,

где учтено, что модуль якобиана преобразования равен D(v1,v2 ) D(u.v) =1.

Искомая вероятность dw(v1,v2 ) распадается на произведение dw(v) и

75

времени путь u , вырезая в пространстве цилиндр объемом σu (рис. 2.5). При этом она испытывает столкновения со всеми неподвижными молекулами, находящимися в этом цилиндре. Их количество и определяет число соударений:

uпутем интегрирования этого выражения по всем возможным значениям u :

Если сечение σ не зависит от относительной скорости, то с учетом (2.18) и (2.19) имеем

Это и есть число столкновений, испытываемое молекулой в 1 сек. Оно растет с увеличением температуры, плотности газа, размерами молекул и уменьшением их массы.

2.6. Длина свободного пробега

Средний путь, проходимый молекулой между двумя последовательными соударениями, называется средней длиной свободного пробега. За одну секунду молекула проходит в среднем расстояние, равное средней тепловой скорости v . За это время она испытывает ν столкновений (2.21); и средняя длина свободного пробега оказывается обратно пропорциональна плотности газа и эффективному сечению σ:

77

пройдет произвольный путь x , не испытав ни одного столкновения, или, иными словами, закон распределения вероятностей для пробега молекул. Обозначим искомую вероятность через w(x) . Тогда w(x +dx) – вероятность

безстолкновительного прохождения пути x +dx . Это событие сложное,

состоящее из двух независимых, поэтому, согласно теореме умножения вероятностей,

w(x +dx) = w(x) w(dx).

Очевидно, что вероятность wc (dx) , что на бесконечно малом отрезке пути dx

Событие – пролёт молекулой сколь угодно малого пути без столкновений

безстолкновительного прохождения расстояния x (= w(x)), т.е.

dP = w(x)wc(dx) = ae−axdx .

78

2.7. Идеальный газ во внешнем поле

2.7.1. Распределение Больцмана . При помещении газа во внешнее поле каждая молекула помимо кинетической приобретает еще и потенциальную энергию, которая в общем случае является функцией

координатU(qG):

ε(pG,qG) = ε(pG) +U(qG) .

Подстановка суммарной энергии в каноническое распределение Гиббса

(p) (q)

Здесь интегрирование ведется по всем возможным значениям переменных. Поскольку кинетическая энергия молекулы идеального газа зависит от

импульса, а потенциальная от координат, последнюю формулу можно представить двумя сомножителями

Первый из множителей – ранее полученное распределение Максвелла. Второй

– вероятность нахождения молекулы в элементе объема dV ≡ dqG, которая зависит от потенциальной энергии молекулы во внешнем поле. Когда внешнее поле отсутствует последний множитель сводится к отношению dV /V .

Распределение молекул в пространстве в поле внешних сил

называют распределением Больцмана.

80

На основе теореме умножения вероятностей указанное распределение можно рассматривать как произведение вероятности двух независимых событий. Это обстоятельство выражает не очевидное важное свойство молекул идеального газа: значение ее импульса совершенно не зависит от ее положения в пространстве. Распределение молекул по импульсам (или скоростям) не изменяется от того, находится ли газ в поле внешних сил или нет. Независимость распределения молекул по координатам и импульсам позволяет рассматривать каждое из них в отдельности.

2.7.2. Идеальный газ в гравитационном поле . Применим распределение Больцмана к газу, который находится в гравитационном поле (земного тяготения). Направим ось z вертикально вверх. Тогда потенциальная энергия газовой молекулы массы m будет равна U = mgz . Поскольку U(z) зависит только от высоты, в плоскости z = const

молекулы распределены равномерно. Интерес представляет лишь зависимость распределения вероятностей от координаты z

где интеграл берется по всем возможным значениям z . Вводя вместо распределения вероятностей среднее число частиц в единице объема (плотность) dn(z) наданнойвысотепоследнююформулуможнопереписатьввиде

где n0 – плотность частиц на условном уровне отсчета координаты,

например, в плоскости z = 0 . Формула показывает, что плотность газа в поле тяжести убывает по экспоненциальному закону. Она уменьшается в e

раз на характеристической длине распределения частиц в поле тяжести

81