матан

D

D

=∫∫(−y y − xy x + x)dxdy =−∫∫y2 dxdy +0 +0 =−∫∫y2 dxdy =→

D

D

D

Учитывая “круговую” форму области D , перейдем к полярным координатам.

Поскольку

x2 + y2 =a2 →r =a ,

то

D ={x2 + y2 ≤a2 } → Ω={r ≤a}={0 ≤ϕ ≤2π, 0 ≤r ≤a}.

Тогда

→=−∫∫r2 sin2 ϕ r drdϕ =−2∫π ( ∫a r3 sin2 ϕ dr

)dϕ =−2∫π sin2 ϕdϕ ∫a r3dr =

Ω

0

0

0

0

2π

1−cos 2ϕ

a4

a4

=−∫

2

dϕ 4

=−π

4 .

0

№ 40.2.

I =∫∫(ρ(r )v(r ),dS )=→

S−

−

{

{

}

S

= z =x2

+ y2 ,

(x, y) D =

x2 + y2 ≤a2

}

→=−∫∫(−P(x, y, z)zx′ −Q(x, y, z)z′y + R(x, y, z))dxdy =

D

=−∫∫x y z (−z zx′ − x z′y + y)

z=x2 +y2

dxdy =

D

D

D

Учитывая “круговую” форму области D , перейдем к полярным координатам.

Поскольку

x2 + y2 =a2 →r =a ,

то

D ={x2 + y2 ≤a2 } → Ω={r ≤a}={0 ≤ϕ ≤2π, 0 ≤r ≤a}.

Тогда

2∫π (

∫a r7 cos2 ϕ sin2 ϕ dr )dϕ =

2∫π cos2 ϕ sin2 ϕdϕ ∫a r7 dr =

→=∫∫r2 cos2 ϕ r2 sin2 ϕ r2 r drdϕ =

Ω

0

0

0

0

2π

1

2

a8

a8

2π

1−cos 4ϕ

a8

= ∫

4 sin

2ϕdϕ 8

= 32

∫

2

dϕ =

32 π.

0

0

D

=±∫∫(−x zx′ − y z′y + z)

z=a

x2 +y2

dxdy =

D

∫∫D

a x

a y

2

2

=±

−x

− y

+a x

+ y

x2 + y2

x2

+ y2

dxdy =

Несобственным интегралом по

Несобственным интегралом от

неограниченному промежутку называется:

неограниченной функции называется:

+∞

β

b

β

∫

f (x)dx =βlim→+∞ ∫ f (x)dx

∫ f (x)dx =βlim→b−0

∫ f (x)dx

a

a

a

a

ω∫ f (x)dx =

β

βlim→ω ∫ f (x)dx.

a

a

ω

β

β = lim

(F(β) −F(a))=F(ω) −F(a)

∫

f (x)dx = lim

f (x)dx = lim F(x)

β→ω ∫

β→ω

a

β→ω

a

a

1) если “больший” интеграл

ω∫g(x)dx <∞

“меньший” интеграл

ω∫ f (x)dx <∞

(сходится)

a

a

ω∫ f (x)dx =∞

ω∫g(x)dx =∞

если “меньший”

интеграл

“больший” интеграл

(расходится)

a

a

Теорема. (Признак сравнения в предельной форме).

Пусть:

1) f (x) g(x)

x→ω

1) интегралы ω∫ f (x)dx , ω∫g(x)dx сходятся или расходятся одновременно.

a

a

lim

ln x

=0,

lim

xε

=0 (ε >0) .

x→+∞

xε

x→+∞ ex

Отсюда, в частности, вытекает,

что при достаточно больших значениях x [a,∞) имеют

место оценки:

xε

ln x

≤const,

≤const

( ε >

0).

ex

xε

№ 41.5.

∞

a)

∫

ln xdx

f (x) = ln x

= ln x = ln x

xε

≤const

1

=g(x)

p = 4 −ε.

4

4

3

x4

3

x4

4

ε

x

3

x3

x

x3

3 −ε

2

Попробуем подобрать ε > 0 так, чтобы p = 4

−ε >1 (тогда интеграл от “большей” функции

3

g(x)

будет сходящимся). Имеем 0 <ε < 1 .

3

Следовательно, исходный интеграл сходится.

∞

ln x

ln x

ln2

b) ∫

g(x) =

≥

= f (x)

p =1.

x dx

x

x

2

Найдена “меньшая” функция f (x) , интеграл от которой расходится.

Следовательно, исходный интеграл расходится.

∞

ln x

ln x

ln2

1

c) ∫

3 x dx

g(x) =

1

≥

1

= f (x)

p = 3

<1.

2

x3

x3

∞

a)

∫2

1

dx

f (x) =

1

≤

1

= g(x) p = 4 >1.

3

4

3 x4 ln x

x4 ln x

3

x3 ln2

Найдена “большая” функция g(x) , интеграл от которой сходится.

Следовательно, исходный интеграл сходится.

∞

1

1

xε

1

1

1

1

c) ∫

dx

g(x) =

= f (x)

p =

+ε .

3 x ln x

3 x

ln x

=

ln x

3 x xε

≥ const

1+ε

3

2

x3

p = 1 +ε ≤1

Попробуем

подобрать ε > 0

так,

чтобы

(тогда

интеграл

от “меньшей”

3

функции f (x)

будет расходящимся). Имеем 0 <ε ≤ 2 .

3

1

b) ∫xln xdx

2

Имеем:

f (x) =

1

≤

1

= g(x)

p =1.

xln x

xln2

g(x) =

1

=

xε

1

≥

1

1

= f (x)

p =1+ε >1.

xln x

ln x x xε

const x1+ε

∞

∞

∞

1

dx =