Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский Национальный Университет им. В. Н. Каразина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

матан

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

1.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 142 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

№ 27.4.

=−γ M ((x2

= −γ

′

u′x

+ y2 +

γ My

u′

=...=

x2 +y2 +z2

γ Mz

=...=

2 3

u′z

+ y

grad u =grad (−γ

)

γ M

+ y

+ z

−1

′

−3

γ Mx

z2 )

2 )

=γ M 1

(x2

+ y2 +z2 )

2x=

2 3

=γ

r =γ

=γ

er ,

er =

↑↑r

Итак, вектор градиента функции	u =−γ	M	=−γ	M	направлен от начала

		r		x2 + y2 + z2

координат к данной точке и убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до начала координат.

Замечание. Гравитационное поле, создаваемое материальной точкой (массой M ), находящейся в начале координат, характеризуется напряженностью

g(r ) =−γ	M		er ,	er =	r	,

	r	2			r

равной силе, с которой это поле действует на материальную точку единичной массы, помещенной в точку пространства с радиус-вектором r .

С другой стороны, гравитационное поле характеризуется потенциалом u(r ) =−γ Mr ,

равным работе силового поля. Работе, которую необходимо затратить для возвращения материальной точки единичной массы из данной точки пространства в “начальную” (в качестве “начальной”, для гравитационного поля удобно выбрать бесконечно удаленную точку).

Итак,

g(r ) =−grad u(r ).

Замечание. Потенциал бесконечно растяжимой пружины с коэффициентом упругости k , закрепленной в начале координат, в точке пространства с радиус-вектором r . равен

u(r ) = k2 r 2

(работа силового поля, которую необходимо затратить для возвращения материальной точки единичной массы из данной точки пространства в “начальную” (в качестве “начальной” удобно выбрать начало координат)).

Возникающая при растяжении пружины сила упругости в этой точке пространства равна

FyΠ P =−kr =−grad u(r ) .

28. Дифференцирование сложной функции

Условия.

Найти частные производные

fu′,...

и дифференциал df

сложной функции f (x(u,...),...) .

№ 28.1.

y = y(x),

x =u v2

№ 28.1.

y = y(x),

x =u v2

№ 28.2.

z = z(x, y),

№ 28.2.

z = z(x, y),

x =u

y =

y =3 u

x =uv

№ 28.3.

z =z(x, y),

№ 28.3.

z =z(x, y),

y =u

y = 1 (u2 −v2 )

№ 28.4.

z = z(x, y),

№ 28.4.

z = z(x, y),

x =u v2 w3

x =u

y =u

y =u3 v2 w

x =u v

x =u +v

№ 28.5.

−v

№ 28.5.

f = f (x, y, z), y =u

z =u v

z =u +v

Предполагая, что произвольная функция f

достаточное число раз дифференцируема,

проверить следующие равенства.

№ 28.6.

x z′ + y z

′ =0,

z = f

№ 28.6.

x z′

− y z′

=0,

z = f (xy)

№ 28.7.

y zx′ + x z′y =0,

z = f (x2 − y2 )

№ 28.7.

y z′

− x z′

=0,

z = f (x2 + y2 )

Решить уравнение, сделав замену переменных.

u =xy

u = 1

(x2

+ y2 )

№ 28.8.

x zx′ − y z′y =0,

№ 28.8.

y zx′ + x z′y =0,

v =

(x2

− y2 )

v = 1

x =r cosϕ

№ 28.9.

x z′

− y z′

=0,

x =r cosϕ

№ 28.9.

x zx′ + y z′y =0,

y =r sinϕ

Теория.

Правило дифференцирования сложной функции нескольких переменных

x = x(u, v, w)
		→= f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) = f (u, v, w)
f = f (x, y, z) =→ y = y(u, v, w)

z = z(u, v, w)

является дальнейшим обобщением соответствующего правила для функции одной переменной:

fu′= fx′ xu′ + fy′ yu′ + fz′ zu′ , fv′=..., fw′ =...

Решения.

№ 28.1.

y = y(x) = y(x(u, v)) = y(u, v)

y′

= y′

x′

[x =uv2 ] →

= y′

(uv2 )′

= y′

→

y′

= y′

x′

= y′

(uv2 )′v

= y′

u 2v

dy = y′du + y′dv = y′

v2 du + y′

u 2vdv

Сравнить.

[x =uv2 ] →

(uv2 )= y′ (du

dy = y′dx =

→

= y′d

v2 +u 2vdv) = y′

v2 du + y′

u 2vdv

yu′ = yx′

y′ = y′

u 2v

№ 28.2.

z =z(x, y) =z(x(u), y(u)) =z(u)

z′

=z′

x′

+ z′ y′ = →

x =u2

→ = z′ (u2 )′

+ z′

(

u )′

=z′ 2u + z′

2 u

dz =z′du = z′

2u + z

′

Сравнить.

2 u

dz = z′dx + z′dy = →

x =u2

→ = z′d (u2 )+ z′d ( u )= z′

2u + z′

y 2 u

y =

[zu′ = zx′ 2u + z′y

№ 28.3.

2 u

z =z(x, y) =z(x(u,v), y(u,v)) =z(u,v)

(uv)′u +z′y

′

z′

=z′

x′

+z′

y′

x =uv

=z′x

(u )

=z′x

v +z′y

x u

y u

→

z′

=z′

x′

+z′

y′

y =u

′

(

)

=z′x

(uv) v +z′y

=z′x

u −z′y

dz =zu′du +zv′dv =(z′x v +z′y 1v )du +(z′x v −z′y vu2 )dv

Сравнить.		x =uv
		x =uv
dz =z′dx +z′dy = →				→
x	y	y =u
			v

(v )

(

)

=z′d (uv)

+ z′d

=z′

(du v +u dv)+ z′

du v −u dv

=(z′x v +z′y 1v )du +(z′x u −z′y

)dv

z′

=z′

v +z′

z′

=z′

u −z′

№ 28.4.

z=z(x, y)=z(x(u,v, w), y(u,v, w))=z(u,v, w)

z′

=z′

x′

+z′

y′

=z′

(u+v2 +w3 )′

+z′

(u3 +v2 +w)′

=z′

1+z′

3u2

=z′

x′

+z′

y′

= →

x=u+v

=z′

(u+v2 +w3 )′

+z′

(u3 +v2 +w)′

=z′

2v+z′ 2v

z′

→

x v

y v

y=u3

+v2 +w

(

3 )′

(

)′

z′

=z′

x′

+z′

y′

=z′x

u+v

+z′y 1

x w

y w

w +z′y

w =z′x 3w

dz=zu′du+zv′dv+z′wdw=(z′x 1+z′y 3u2 )du+(z′x 2v+z′y 2v)dv+(z′x 3w2 +z′y 1)dw

Сравнить.
dz = z′dx + z′dy = →		x =u +v2		+w3	→ = z′d (u +v2	+w3 )+ z′d (u3	+v2	+w)=
x	y				x	y
		y =u3	+v2 +w

=z′x (du+2vdv+3w2dw)+z′y (3u2du+2vdv+dw)=(z′x 1+z′y 3u2 )du+(z′x 2v+z′y 2v)dv+(z′x 3w2 +z′y 1)dw

zu′ =z′x 1+z′y 3u2

zv′ =z′x 2v +z′y 2v

z′w =z′x 3w2 +z′y 1

№ 28.5.

f = f (x, y, z) = f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = f (u, v)
fu′= fx′ xu′ + fy′ yu′ + fz′zu′ =	x =u +v		= f ′	(u +v)′	+ f ′	(u −v)′	+ f ′(uv)′		=
			x	u	y	u	z	u
	→ y =u −v	→	= fx′	′	+ fy′	′		′	=
fv′= fx′ xv′ + fy′ yv′ + fz′zv′ =			= fx′	(u +v) v	+ fy′	(u −v) v	+ fz′(uv) v		=
	z =u v

df = fu′du + fv′dv =( fx′ +fy′ +vfz′)du +( fx′−

fx′ +fy′ +vfz′ fx′− fy′ +ufz′

fy′ +ufz′)dv

Сравнить.			x =u +v
			x =u +v
df = f ′dx + f ′dy + f ′dz = →			y =u −v	→ = f ′d (u +v)+ f ′d (u −v)+ f ′d (u v)=
x	y	z		x	y	z

			z =u v

= fx′(du +dv)+ fy′(du −dv)+ fz′(du v +u dv)=( fx′ +fy′+vfz′)du +( fx′− fy′+ufz′)dv

fu′= x′ +fy′+vfz′

fv′= fx′− fy′+ufz′f

№ 28.6.

z′

= z′u′

= z′

u x

→z = z(u) = z(u(x, y)) = z(x, y)

z = f

→

u =u(x, y) =

z′

= z′u′

=−z′

u y

x z′

+ y z′

= x z′

− y z′

= z′ x

− y

= z′

0 =0

№ 28.7.

z = f (x	2		2		2		2	zx′	= zu′ux′	= zu′ 2x
	2	− y	2		2	− y	2	→ z = z(u) = z(u(x, y)) = z(x, y)
		− y		)→ u =u(x, y) = x		− y		→ z = z(u) = z(u(x, y)) = z(x, y)	= z′u′	=−z′	2 y
								z′	= z′u′	=−z′	2 y
								y	u y	u

y zx′ + x z′y = y zu′ 2x − x zu′ 2 y = zu′ (y 2x − x 2 y)= zu′ 0 =0

№ 28.8.

Необходимо найти функцию z = z(x, y) , являющуюся решением дифференциального уравнения:

x zx′ − y z′y =0.

Предлагается

сделать замену переменных,

перейдя от “старых” переменных (x, y) к

новым (u,v) .

Для этого надо найти выражение “старых” производных zx′, z′y через

“новые” zu′,

zv′ .

Поскольку по условию явно выражаются “новые” переменные через “старые”,

u =xy

x ,

v =

то рассмотрим сложную функцию от “старых” переменных

z(u(x, y),v(x, y)) = z(x, y) .

Имеем:

z′

= z′

u′

+ z′

v′

= z′

y + z′

z′

= z′

u′

+ z′

v′

= z′

x − z′

Подставим полученные выражения “старых” производных через “новые” в дифференциальное уравнение:

z′

y + z′

− y

z′

x − z′

2 z′

2 v z′ =0

z′ =0

z =const(u) = f (u) = f (xy)

№ 28.8.

Необходимо найти функцию z = z(x, y) , являющуюся решением дифференциального уравнения:

x z′y − y zx′ =0.

Предлагается сделать замену переменных, перейдя от “старых” переменных (x, y) к новым (r,ϕ) . Для этого надо найти выражение “старых” производных zx′, z′y через

“новые” zr′, zϕ′ .

Поскольку по условию явно выражаются “старые” переменные через “новые”,

x =r cosϕy =r sinϕ ,

то рассмотрим сложную функцию от “новых” переменных

z(x(r,ϕ), y(r,ϕ)) = z(r,ϕ) .

Имеем:

zr′ = zx′ cosϕ + z′y sinϕ

zϕ′ =−zx′r sinϕ + z′y r cosϕ

Получены явные выражения “новых” производных через “старые”. Одновременно эти соотношения можно рассматривать как систему двух уравнений относительно двух неизвестных zx′, z′y , решив которую, найдем выражение “старых” производных через

“новые”.

Однако в данном примере можно без этого обойтись, заметив, что производная

zϕ′ =−zx′r sinϕ + z′y r cosϕ =−zx′ y + z′y x = x z′y − y zx′

совпадает с левой частью уравнения:

x z′y − y zx′ =0 zϕ′ =0

z =const(r) = r = x2 + y2 = f (x2 + y2 )

29. Производные и дифференциалы высшего порядка. Формула Тейлора

Условия.

Проверить равенство смешанных производных.

№ 29.1	z =x3		y	№ 29.1	z =3 x y2
№ 29.2	f =	sin(x3 y2 )		№ 29.2	f =	arcsin( y3 z2 )
			cos z			arctg x

ВоспользовавшисьформулойТейлорадовторогопорядкамалости, найтиприближенно следующиезначения.

№ 26.9. 1,11,8	№ 26.9. 3 1,1 4 0,98

Найти производные

f ′′

,... и дифференциал

d 2 f

функции f (x,...) .

№ 29.3

z = x

sin y

№ 29.3

z = cos y

Найти производные

f ′′

,... и дифференциал

d 2 f

сложной функции

f (x(u,...),...)

x =uv

№ 29.4.

z =z(x, y),

x =u

№ 29.4.

z =z(x, y),

y =uv2

y =

Решить уравнение, сделав замену переменных.

					u =x + y			№ 29.5. z′′xx =z′′yy ,	u =x + y
№ 29.5.	z′′	−2z′′	+ z′′	=0,			− y2 )	№ 29.5. z′′xx =z′′yy ,
	xx	xy	yy		v = 1 (x2		− y2 )		v =x − y
№ 29.6.						2		№ 29.6.
								№ 29.6.	x =r cosϕ
					x =r cosϕ			−xy z′′xx +(x2 − y2 )z′′xy + xy z′′yy +
x2 z′′xx +2xyz′′xy + y2 z′′yy =0,					x =r cosϕ			−xy z′′xx +(x2 − y2 )z′′xy + xy z′′yy +
x2 z′′xx +2xyz′′xy + y2 z′′yy =0,								+yz′x + xz′y =0,
					y =r sinϕ			+yz′x + xz′y =0,	y =r sinϕ

Теория.

Частные производные высшего порядка:

			(u′		)′	x	=u′′
				x		x	xx

	u′x
	u′x				)′
			(u′		)′	y	=u′′
				x		y	xy
u
u
			(u′y )′
			(u′y )′				=u′′yx
	u′					x
		y

(u′y )′y =u′′yy

(u′′		)′		=u′′′		...
(u′′		)′	x	=u′′′		...
	xx		x		xxx	...
(u′′		)′		=u′′′		...
	xx		y		xxy	...
			y			...
(u′′xy )′				=u′′′xyx		...
(u′′xy )′				=u′′′xyx
			x			...
(u′′xy )′				=u′′′xyy		...
(u′′xy )′				=u′′′xyy
						...
			y			...

(u′′yx )′				=u′′′yxx		...
(u′′yx )′				=u′′′yxx
			x			...
(u′′yx )′y =u′′′yxy						...
(u′′yx )′y =u′′′yxy						...


						...
(u′′yy )′x				=u′′′yyx		...
(u′′yy )′x				=u′′′yyx		...
(u′′yy )′							...

				=u′′′yyy
				=u′′′yyy		...
			y

Теорема.

Если смешанные производные непрерывны, то частное дифференцирование функции нескольких переменных не зависит от порядка дифференцирования:

u′′

=u′′

;

u′′′

=u′′′

u′′′

=u′′′

; …

xxy

xyx

yxx

xyy

yxy

yyx

При выполнении этого условия дифференциалы высшего порядка равны:

u→du =ux′dx +u′y dy →

→d 2u =d(du) =uxx′′ dx2 +2uxy′′ dxdy +u′′yy dy2 →

→d3u =d(d 2u) =u′′′	dx3 +3u′′′	dx2 dy +3u′′′	dxdy2 +u′′′	dy3 →...
xxx	xxy	xyy	yyy

Формула Тейлора для функций нескольких переменных наиболее простой вид имеет в “дифференциальной” форме, инвариантной относительно числа переменных

∆u = du1! + d2!2u +...+ dnn!u +o(dxn )

Решения.

№ 29.1

′

= 3 x2 y

−1

zx′

=(x

)

x =3x

z′′

=(3x2 y2 )

z =x3

z′′

= z′′

y =x3 y2

′

3 x2 y−

z′

(x3 y2 )

= 1 x3 y−2

z′′

1 x3 y−2

)

№ 29.2

f =

sin(x3 y2 )

=sin(x3

y2 ) cos−1 z

cos z

f ′=

(sin(x3

y2 ) cos−1 z)′

=3x2 cos(x3

y2 ) cos−1 z

(sin(x3

y2 ) cos−1 z)′

=2 y cos(x3

y2 ) cos−1 z

f ′ =

y2 ) cos−1 z)′

f ′=

(sin(x3

=sin(x3

y2 ) cos−2 z sin z

′′

=(3x2 cos(x3

y2 ) cos−1 z)′

=−6x2 y sin(x3

y2 ) cos−1 z

′′

= f

′′

=(2 y cos(x3

y2 ) cos−1 z)′

=−6x2 y sin(x3

y2 ) cos−1 z

′′

fyz′′ =(2 y cos(x3

y2 ) cos−1 z)′z

=2 y cos(x3

y2 ) cos−2 z sin z

=(sin(x3

y2 ) cos−2 z sin z)′

fyz′′ = fzy′′

′′

=2 y cos(x3

y2 ) cos−2 z sin z

fzx′′ =(sin(x3

y2 ) cos−2 z sin z)′x

=3x2 cos(x3 y2 ) cos−2 z sin z

fzx′′ = fxz′′

=(3x2 cos(x3

y2 ) cos−1 z)′

′′

=3x2 cos(x3

y2 ) cos−2 z sin z

№ 29.3

						z′′		=(2x sin y)′	=2sin y
		z′	=(x2 sin y)′	=2x sin y			xx	x
z = x2 sin y		z′	=(x2 sin y)′	=2x sin y				=(2x sin y)′	=2x cos y
z = x2 sin y		x	x			z′′		=(2x sin y)′	=2x cos y
							xy	y
		z′y =(x2 sin y)′y		= x2 cos y				=(x2 cos y)′	=−x2 sin y
						z′′		=(x2 cos y)′	=−x2 sin y
							yy	y
d 2 z =z′′	dx2 +	2z′′ dxdy + z′′ dy2		=2sin ydx2	+4x cos ydxdy − x2 sin ydy2
xx		xy	yy

Сравнить.

z = x2 sin y dz =d (x2 sin y)=d (x2 )sin y + x2 d (sin y)=2xdxsin y + x2 cos ydy d 2 z =d(dz) =d (2x sin ydx + x2 cos ydy)=d (2x sin ydx)+d (x2 cos ydy)=

=d (2x sin y)dx +d (x2 cos y)dy =(2sin ydx +2x cos ydy)dx +(2x cos ydx − x2 sin ydy)dy =

=2sin ydx2 +4x cos ydxdy − x2 sin ydy2

zxx′′ =2sin y

zxy′′ =2x cos yz′′yy =−x2 sin y

№26.9.

1,11,8 =?

Рассмотрим	функцию		двух переменных		z = f (x, y) = xy . Требуется ее вычислить
приближенно, при:
x =1,1=1,0 +0,1= x0 +∆x,			x0 =1,	∆x =0,1
y =1,8 =1−0, 2 = y +∆y,			y =2, ∆y =−0, 2
	0		0
с точностью до ( ∆x2 +∆y2 )2 .
Воспользуемся формулой Тейлора:
		∆f (x0 , y0 ) =df (x0		, y0 ) + 1 d 2	f (x0 , y0 ) +o ( ∆x2 +∆y2 )2	,
				2

так что

f(x, y) ≈ f (x0 , y0 ) +

+fx′(x0 , y0 )(x − x0 ) + fy′(x0 , y0 )( y − y0 )

+ fxx′′ (x0 , y0 )(x − x0 )2 +2 fxy′′ (x0 , y0 )(x − x0 )( y − y0 ) + f yy′′ (x0 , y0 )( y − y0 )2

Имеем (см. № 26.5.)

y ln x

y−1

z=xy dz=dx

=de

d( y ln x)=x

(dy ln x+y x dx)= x

ydx+x

ln xdy

z=d (dz)=d (yx

ln xdy)=...=x

y−1

y−2

y( y−1)dx

+2x

y−1

(1+yln x)dxdy+x

xdy

dx+x

1,11,98 ≈1,02,0 +

+1,02,0−1 2,0 0,1+1,02,0 ln1,0 (−0,2)+

+1,02,0−2 2,0 (2,0−1) 0,12 +2 1,02,0−1(1+2,0 ln1,0) 0,1 (−0,2)+1,02,0 ln2 1,0 (−0,2)=1,18

Сравнить с “точным” значением

1,1871533798287798424543353896876 …

Замечание. Вычисление функции с точностью до второго знака после запятой, разумеется, не означает в общем случае, что в формуле Тейлора надо брать слагаемые до

второго порядка малости относительно ∆x2 +∆y2 (т.е. до второго дифференциала включительно). Однако в данном примере, для наглядности, приращения аргументов

имеют порядок ∆x,	∆y 0,1, так что df 0,1 , d 2 f 0,12 и т.д.
№ 29.5.
		2	v	= z(x(u, v), y(u, v)) = z(u, v)
z = z(x, y) = x = x(u, v) =u			v	= z(x(u, v), y(u, v)) = z(u, v)
y = y(u, v) =uv2

z′

= z′

x′

+ z

′

y′

= z′

(u2v)′

+ z′

(uv2 )′

= z′

2uv + z

′

x u

y u

(u2v)′

+ z′ (uv2 )′ = z′

z′

= z′

x′

+ z

′

y′

= z′

u2 + z

′

2uv

x v

y v

z′′

(z′ )′

(

z′

2uv + z′

′

=(z′ )′

2uv + z′

2v +

(

z′

′

y )u

z′′

′

z′

2uv + z′

′

2uv

+ z

′

2u +

′

+ z′

(z′ )

(

=(z′ )

(

y )v

z′′

(z′ )′

= z′ u2 + z′ 2uv

′

=(z′ )′ u2 + z′ ′

2uv + z′ 2u

( x

)

( y )

(

)

(

)

z′′

2uv + z′′ v2

2uv + z

′

2v +

z′′

2uv + z

′′

z′′

(

z′′

u2 + z

′′

2uv

)

2uv + z

′

2u +

(

′′

u2 + z′′

2uv

)

v2 + z

′

(

)

(

)

z′′

u2 + z

′′

2uv

′′

+ z

′′

2uv

2uv + z′

d 2 z = z

′′ du2 +2z′′

dudv + z′′

dv2

)

(

)

((

2v +

du2 +

z′′

2uv + z′′ v2

2uv + z′

z′′ 2uv + z

′′

((

z′′ u2 + z

′′

2uv

)

2uv + z′

2u +

(

z′′

u2 + z′′

2uv

)

v2 + z′

)

dudv +

((

)

2uv

u2 +

(

2uv

)

dv2

z′′

u2 + z

′′

z′′

u2 + z′′

2uv + z′

<<< < Предыдущая 12 / 142 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.02.201534.74 Кб11маркетинг (робота с Ирой).docx
#
12.11.2019365.57 Кб9маркетинг услугТ 1-4.doc
#
23.02.201539.71 Кб5Маркетинг.docx
#
01.05.2019275.97 Кб3Маркетингова географія Л.1.doc
#
23.02.2015173.28 Кб16мат.методы.docx
#
23.02.20151.44 Mб69матан.pdf
#
23.02.20152.78 Mб86Матем. анализ. Методичка(1 семестр).doc
#
13.03.20161.44 Mб37Матеріали до словника 2.doc
#
13.03.2016105.98 Кб4материаловедение Лекция 1.doc
#
25.08.201938.33 Кб4Материалы 3_1.docx
#
10.11.2019241.66 Кб1материалы для лекции 1.doc