Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский Национальный Университет им. В. Н. Каразина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

матан

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

1.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

Замечание. Положим x =π

)sin n

∞

(

sinα 2

=π sinαπ ∑(−1)

−

2 =

α −n

α +n

n=1

(

)(−1)

∞

2m+1

=π

2sinα 2 cosα 2

∑(−1)

−

α −(2m +1)

α +(2m +1)

m=0

∞

=π

∑(−1)

−

= ∑

(−1)

−

cos πα

πα −(mπ +π )

m=0

α +(2m +1)

α −(2m +1)

m=0

πα +(mπ +π )

Обозначая через z

=πα

, получим разложение функции

на простые дроби

cos z

∞

= ∑(−1)m

−

)

cos z

m=0

−

)

z +

π +mπ

zm =±

)

по корням знаменателя:

π +mπ

(m =0, 1,

2,...) .

Замечание. Полученное представление является аналогом разложения рациональной дроби в сумму простых дробей по корням знаменателя.

46. Ряды Фурье по Cos и по Sin

Условия.

Разложить функцию в ряд Фурье. Построить график суммы ряда Фурье. Полагая что: x = 0 , x =π2 , x =π , найти суммы получающихся числовых рядов.

№ 46.1.	f (x) = x2		№ 46.1.	f (x) = x3
	a) −π ≤ x ≤ +π, b) 0 ≤ x ≤ 2π			a) −π ≤ x ≤ +π, b) 0 ≤ x ≤ 2π
Разложить функцию в ряд Фурье. Построить			график ряда Фурье.
№ 46.2.	f (x) = x2		№ 46.2.	f (x) = x3
	a) −l ≤ x ≤ +l, b) 0 ≤ x ≤ 2l			a) −l ≤ x ≤ +l, b) 0 ≤ x ≤ 2l

Разложить функцию в ряд Фурье по		Cos и по		Sin .. Построить графики сумм
полученных рядов.
№ 46.3.	f (x) = x2		№ 46.3.	f (x) = x3
	a) 0 ≤ x ≤π, b) 0 ≤ x ≤ l			a) 0 ≤ x ≤π, b) 0 ≤ x ≤ l

Теория.

Пусть функция

y = f (x) кусочно-непрерывно дифференцируемая в интервале длиной 2l

(например,

[−l, +l] ,

[0,2l], [a,b]=[a, a +2l],

l =b −a ),

причем точки

разрыва

регулярны

f (x0 +0) + f (x0 −0)

f (x0 ) =

1 x ≤+1

Интервал

−l ≤ x ≤ +l

“сожмем”

в l раз

−1≤

и “растянем”

” в

раз

−π ≤π x ≤+π

π x = y x =

(т.е.

сделаем

замену

переменной

x)= f (x) = f (

y)). Разложив функцию

g( y) = g (πl

g( y) в ряд Фурье на “привычном”

интервале −π ≤ y ≤ +π , после замены переменной получим разложение f (x)

на заданном

интервале

−l ≤ x ≤ +l

∞

πl x +bn sin n πl x).

f (x) =

+∑(an cos n

n=1

Это разложение можно получить, вычисляя непосредственно коэффициенты по формулам:

1	+l	f (x) cos n	π	xdx,	n =0, 1, 2,...	1	+l	f (x)sin n	π	xdx,	n = 1, 2,...
an = l	∫	f (x) cos n	l	xdx,	n =0, 1, 2,...	bn = l	∫	f (x)sin n	l	xdx,	n = 1, 2,...
	−l						−l

Решения.

№ 46.1.

a) f (x) = x2 , −π ≤ x ≤+π .

Найдем коэффициенты ряда Фурье:

Функция f (x) = x2

– четная на интервале [−π, +π ]

= 0.

2 π

2 x3

a0 =

∫

f (x)dx =

∫x

0 =

3 π

an = 2

f (x) cos nxdx =

cos nxdx =

x2 d sin nx =

−

sin nxdx2

∫

2 x2 sin nx

∫

πn

=− 4

x sin nxdx =

xd cos nx =

x cos nx

−

π cos nxdx

πn ∫

πn2

∫

πn2

∫

(π cos nπ − n sin nx

0 )=

(−1)

πn2

Итак,

∞

x2 =π 2 +4∑

(−1)2

cos nx,

−π ≤ x ≤+π

n=1

Используя полученное разложение, с учетом вида (непрерывности) графика суммы ряда Фурье, найдем суммы некоторых числовых рядов:

x = 0

n+1

0 =π 2

∞

+4∑(−1)2 cos n0 =π 2 +4∑

(−1)2

∑

(−1)2

=π 2

;

n=1

x =π

m+1

∞

(−1)

∞

π 2 =π 2

+4∑

(−1)2

cos n π =π 2

+4∑

(−1)m

∑

(−1)2

=π 2

;

n=1

2 3

m=1

(2m)

m=1

x =π

∞

π 2 =π 2

+4∑

(−1)2

cos nπ =π 2

+4∑(−1)2

(−1)n

∑

=π 2 .

n=1

b) f (x) = x2 , 0 ≤ x ≤2π .

2π

1 x3

2π

a0 =

∫

f (x)dx =

∫

dx =

3π

2π

∫

f (x)cos nxdx

an =π

2π

∫

f (x)e

−inx

dx=

2π

an −ibn =π

f (x)(cos nx−isin nx)dx=π

∫

f (x)sin nxdx

=π

2π

x2e−inxdx=−

2π

x2de−inx =−

2π

e−inxdx2

2π −2

2π

∫

x2 e−inx

−

∫

=−

4π 2 e−in

∫

xe−inxdx =

πin

2π

=−

4π 2 +2

∫

xde−inx =−

4π

2 +2

x e−inx

−

∫

e−inxdx

πin

=−π1in (4π 2 +2

(2π e−in2π −0))=−π1in (4π 2 +4inπ )=−

(4π+

)=i 4nπ +

a −ib =

+i 4π

a =

, b =−

4π

Итак,

∞

x2 = 4π 2

1 sin nx,

+4∑

cos nx −4π∑

< x <2π .

n=1

Используя полученное разложение, с учетом вида графика суммы ряда Фурье, из которого видно к чему сходится ряд в точках разрыва, найдем суммы некоторых числовых рядов.

x = 0

∞

4π

1 sin n0

= 4π 2

=π 2

2π 2 =

4∑

cos n0 −4π∑

+4∑

∑

n=1

x =π

∞

π 2 =

4π

cos n π

1 sin n

= 4π 2

+4∑

−4π ∑

+4∑

(−1)m

−4π ∑

(−1)m

(2m)2

2m+1

n=1 n2

n=1 n

m=1

m=0

∞

(−1)2

∞

=−13π

∞

m+1

∞

=π

∑

−

4π ∑

(−1)

cp.

∑

(−1)2

∑

(−1)

x =π

m=1

m=0

2m+1

m=1

m=0

2m+1

∞

n+1

π 2 =

4π

+4∑

cos nπ

= 4π 2 +4∑

(−1)n

∑

(−1)2

=π 2 .

n=1

№ 46.2.

Положим l

x = y x =

g( y) = g (l x)= f (x) = f (

y)=(

)

a) f (x) = x2 ,

−l ≤ x ≤+l

g( y) =(

)2 y2 ,

−π ≤ y ≤+π

Используя найденное в № 46.1. a)

разложение

g( y) =(

)

y2 =(

)

∞

+4∑

(−1)

cos ny

−π ≤ y ≤+π

получаем:

n=1

f (x) =x2 =l32 +4(

)

∞

∑(−n1)2

cos n πl x,

−l ≤ x ≤+l

n=1

b) f (x) = x2 ,

0 ≤ x ≤2l

g( y) =(

)2 y2 ,

0 ≤ y ≤2π

Используя найденное в № 46.1. b)

разложение

g( y) =(

)

4π

∞

+4∑

cos ny −4π∑

1n sin ny ,

0 < y <2π

получаем:

n=1 n

n=1

+4(

)

(x) = x2 = 4l

∞

∑

cos n π

x −π ∑1n sin n π

x ,

0 < x <2l

№ 46.3.

n=1 n

n=1

a) f (x) = x2

0 ≤ x ≤π .

a.1) Разложение функции в ряд по

Cos – это ряд Фурье четного продолжения функции,

с интервала 0 ≤ x ≤ +π на интервал −π ≤ x ≤ 0 .

В данном случае, четное продолжение совпадает с естественным заданием функции, так что разложение в ряд по Cos - это разложение, полученное в № 46.1. a) .

x2 =π 2	∞	n
x2 =π 2	+4∑	(−1)2 cos nx,	0 ≤ x ≤+π
3	n=1	n

a.2) Разложение функции в ряд по Sin - это ряд Фурье нечетного продолжения функции с интервала 0 ≤ x ≤ +π на интервал −π ≤ x ≤ 0 .

Имеем:

= 0,

= 2

f (x)sin nxdx = 2

x2 sin nxdx =− 2

x2 d cos nx =−

cos nx

−

cos nxdx2

∫

πn ∫

∫

πn

(−1)n − 2

=−

π 2

cos nπ −2

∫

x cos nxdx =−

π 2

∫

xd sin nx =

πn

π 2

(−1)n − 2

=− 2

π 2 (−1)n

cos nx

)

=−

x sin nx

−

sin nxdx

−

πn

∫

πn (

=−π2n (π 2 (−1)n −

(

(−1)n −1))=− 2nπ (−1)n +

((−1)n −1)

πn

∞

((−1)n −1))sin nx,

x2 =∑(− 2nπ (−1)n +

0 ≤ x <+π

n=1

πn

a.3) Для разложения функции, заданной на интервале 0 ≤ x ≤ +π , в ряд Фурье “растянем”

интервал в 2 раза:

0≤x ≤π 0≤2x ≤2π 2x = y x =

(12 y)=(12 y)2 = 14 y2 .

g( y) = g (2x)= f (x) = f

Используя найденное в № 46.1. b) разложение

∞

1 y2 = 1

4π 2

+4∑

cos ny

−4π∑1 sin ny ,

0 < y <2π

n=1 n2

n=1 n

получим:

∞

x2 =

π 2 +∑

cos 2nx −π∑

1 sin 2nx,

0 < x <+π.

n=1

47. Интегралы Фурье. Cos– и Sin- преобразования Фурье

Условия.

Представить функцию интегралом Фурье.

№ 47.1.

<α

№ 47.1.

α −

<α

f (x) =

>α

f (x) =

>α

№ 47.2.

sign x,

<α

№ 47.2.

αsign x − x,

<α

f (x) =

>α

f (x) =

>α

sin x,

≤π

№ 47.3.

f (x) =

>π

№ 47.3.

cos x,

≤

f (x) =

>π

− ∞ < x < 0

f (x) = ex ,

№ 47.4.

f (x) =

−x

< +∞

№ 47.4.

− ∞ < x < 0

0 < x < +∞

Найти Cos - ( Sin -) преобразованиеФурьефункцииивосстановитьпонемуданнуюфункцию.

№ 47.5.

f (x) = e−x ,

0 < x < +∞

№ 47.5.

f (x) = e−x ,

0 < x < +∞

Найти преобразование Фурье функции и

восстановить по нему данную функцию.

№ 47.6.

− ∞ < x < 0

№ 47.6

− ∞ < x < 0

f (x) =

−x

0 < x < +∞

f (x) = e

< x < +∞

Теория.

Если функция y = f (x) кусочно-непрерывно дифференцируемая

на

любом конечном

интервале,

причем ее точки разрыва x0

регулярны

f (x0 ) =

f (x0 +0) + f (x0

−0)

и абсолютно интегрируема на всей оси, то ее можно представить интегралом Фурье:

	f (x) =∞∫(a( y) cos xy +b( y)sin xy)dy,					−∞< x <+∞
		0
1	+∞		1		+∞
a( y) =π	∫ f (x) cos yxdx,		b( y) =π		∫ f (x)sin yxdx.
	−∞				−∞
Если дополнительно функция f (x) четная или нечетная,						то ее интеграл Фурье имеет
соответственно только четную или нечетную составляющую:
четная							нечетная
f (x) =∞∫a( y) cos xydy,		−∞< x <+∞		f (x) =∞∫b( y)sin xydy,			−∞< x <+∞
0					0
a( y) =π2 ∞∫ f (x) cos yxdx,		b( y) =0.		b( y) =π2 ∞∫ f (x)sin yxdx,			a( y) =0.
0					0

Отсюда вытекает возможность представить функцию, заданную только на полуоси [0, +∞) , как Cos – или Sin - преобразование Фурье соответственно своего Cos - или Sin -

преобразования Фурье:
Cos -преобразование Фурье				Sin -преобразование Фурье
Fc ( y) =	π2 ∞∫ f (x) cos yxdx	0 ≤ x, y <+∞	Fs ( y) =	π2 ∞∫ f (x) sin yxdx	0 ≤ x, y <+∞
	0	0 ≤ x, y <+∞		0	0 ≤ x, y <+∞
f (x) =	π2 ∞∫Fc ( y) cos xydy		f (x) =	π2 ∞∫Fs ( y) sin xydy
	0			0

Интегральной формуле Фурье можно придать “симметричный” вид, переходя к комплексной форме:

	1	+∞		1	+∞
F( y) =		∫ f (x)e−iyxdx f (x) =			∫ F( y)e+ixy dy
	2π			2π
		−∞			−∞
Функция F( y) называется преобразованием			Фурье		функции f (x) , которая

восстанавливается по своему преобразованию Фурье как обратное преобразование Фурье.

Решения.

№ 47.1.

Доопределим

функцию

<α

в точках разрыва

значением

f (x) =

>α

±α

f (±α) =1+0

= 1

Учитывая, что данная функция четная, получим b( y) = 0.

∞

2 sin yx

2 sinα y

a( y) =

∫

f (x) cos yxdx =

∫1 cos yxdx =

∞

= 2 ∫sin yα

f (x) π y cos xydy .

Замечание. Полагая чтоx = 0 , получим интеграл Дирихле:

∞ sinα y

∫

dy = 2 sign

№ 47.2.

sign x,

<α

Доопределим

функцию

точках разрыва ±α значением

f (x) =

>α

f (±α) = ±1+0

=± 1

. :

Учитывая, что данная функция нечетная, получим a( y) = 0.

∞

2 cos yx

2 cos yα −1

2 1−cosα y

b( y) =

∫ f (x)sin yxdx =

∫1 sin yxdx =−

=−

∫∞

f (x) =

1−cosα y

sin xydy .

№ 47.3.

sin x,

Учитывая, что данная функция

≤π

нечетная, получим

a( y) = 0.

(x) =

>π

∞∫ f (x)sin yxdx =

π∫sin x sin yxdx =

π∫(cos(1− y)x −cos(1+ y)x)dx =

b( y) =

sin(1− y)x

sin(1+ y)x

x=π

sin(1− y)π

sin(1+ y)π

sinπ y

(1− y)

−

(1+ y)

− y)

−

(1+ y)

(1− y)

x=0

(1+ y)

sinπ y

− y2

f (x) =

∫∞

sinπ y

sin xydy .

1− y2

№ 47.4.

− ∞ < x < 0

Доопределим

функцию

f (x)

точке

разрыва

значением

−x

0 < x < +∞

f (0) = 02+1 = 12 .:

Функция f (x) ни четная, “одновременно”:

	+∞
a( y) =π1	∫	f (x) cos yxdx
	−∞
	+∞
	∫	f (x)sin yxdx
b( y) =π1	∫	f (x)sin yxdx
	−∞

ни нечетная. Функции-коэффициенты a( y), b( y) найдем

a( y) −ib( y) =π1	+∞	f (x) (cos yx −i sin yx)dx =π1	+∞
a( y) −ib( y) =π1	∫	f (x) (cos yx −i sin yx)dx =π1	∫ f (x)e−iyxdx =
	−∞		−∞

+∞

−x

−iyx

+∞

−(1+iy)x

1 e−(1+iy)x

+∞

1 e−(1+iy)∞ −e−(1+iy)0

1 1

∫ e

dx =

∫

dx =

−(1+iy)

1+iy

1−iy

a( y) −ib( y) =

a( y) =

b( y)

1+ y2

π 1+ y2

∞

f (x) =

cos xy +

sin xy dy.

1+ y

∫

=1 1−iy

π1+ y2

Замечание.

−x

∞

−x

x >0

cos xy +

sin xy

cos xydy =

1+ y

∫1+ y

∫ 1+ y

∞

0 < x <+∞

∞

−x <0

0 =

cos (−x) y +

sin (−x) y

sin xy dy =π e−x

∫1+ y

1+ y

π ∫

№ 47.5.

f (x) = e−x

Найдем Cos - преобразование Фурье функции

(0 < x < +∞) :

π2

+∞

π2

+∞

π2

+∞

Fc ( y) =

∫

f (x) cos yxdx =

∫ e−x cos yxdx = π2

Re ∫ e−xe−iyx dx =

∫

e−(1+iy)xdx =

e−(1+iy)x

+∞ =

e−(1+iy)∞ −e−(1+iy)0

= 2

1−iy

−(1+iy)

+iy

1+ y2

π 1+ y2

f (x)= π2

+∞∫Fc ( y)cos xydy

e−x = π2

+∞∫ π2

cos xydy=π2

+∞∫

cos xydy,

0<x<+∞

1+ y2

Замечание.

При

нахождении

Cos - преобразования

Фурье

функции

f (x) = e−x

(0 < x < +∞)

можно

было воспользоваться

соотношением,

полученным в

предыдущем примере № 47.4.

∞

−x

∫

cos xydy =

2 e

∫

cos xydy =

2 e

1+ y2

которое задает Cos - преобразование некоторой функции. Учитывая, что функция восстанавливается по своему Cos - преобразованию в свою очередь, как его Cos - преобразование, получим:

∞ π e−x cos yxdx =∞ e−x cos yxdx

F ( y) =

∞ e−x cos yxdx =

1+ y2

π ∫ 2

∫

π 1+ y2

№ 47.6.

Преобразование Фурье функции f (x)

определяется как интеграл

+∞

f (x)e−iyxdx =

+∞

(cos yx −i sin yx)dx =

(a( y) −ib( y)).

F( y) =

∫

∫ f (x)

2π

−∞

2π

−∞

Воспользуемся решением примера № 47.4., в котором функции-коэффициенты a( y), b( y)

были найдены “одновременно”. Теперь видно, что по существу было найдено преобразование Фурье:

F( y) =	π	(a( y) −ib( y))=	π 1	1−iy	=	1	1−iy	.

	2		2 π 1+ y2			2π 1+ y2

Учитывая, что функция восстанавливается по своему преобразованию Фурье в свою очередь как его обратное преобразование Фурье, получим:

+∞

1−iy

+ixy

+∞ 1−iy

+ixy

−∞<x <0

f (x) =

dy =

−x

2π

∫

2π

1+ y

2π ∫

1+ y

0 <x <+∞

−∞

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.02.201534.74 Кб11маркетинг (робота с Ирой).docx
#
12.11.2019365.57 Кб9маркетинг услугТ 1-4.doc
#
23.02.201539.71 Кб5Маркетинг.docx
#
01.05.2019275.97 Кб3Маркетингова географія Л.1.doc
#
23.02.2015173.28 Кб16мат.методы.docx
#
23.02.20151.44 Mб69матан.pdf
#
23.02.20152.78 Mб86Матем. анализ. Методичка(1 семестр).doc
#
13.03.20161.44 Mб37Матеріали до словника 2.doc
#
13.03.2016105.98 Кб4материаловедение Лекция 1.doc
#
25.08.201938.33 Кб4Материалы 3_1.docx
#
10.11.2019241.66 Кб1материалы для лекции 1.doc