матан
.pdfРешения.
№ 48.1. |
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∞ ln(1+αx2 ) |
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F (α) =∫ |
x2 |
dx |
(α >0). |
0 |
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Найдем функцию F(α) дифференцированием под знаком интеграла по параметруα :
d |
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d |
∞ ln(1+αx2 ) |
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∞ |
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∂ |
ln(1+αx2 ) |
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∞ |
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1 |
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2 |
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F (α) = |
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∫ |
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x2 |
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dx =∫ |
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x2 |
|
dx =∫ |
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x |
|
dx = |
|||||||||||||
dα |
dα |
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∂α |
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x2 (1+αx2 ) |
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||||||||||||||||||||||||||
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0 |
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0 |
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0 |
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|||
∞ |
1 |
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1 |
∞ |
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1 |
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1 |
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∞ |
1 π |
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||||
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||||||||||||
=∫ |
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dx = |
∫ |
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d |
α x = |
arctg |
α x |
= |
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2 |
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2 |
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2 |
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||||||||||||||||
0 |
(1+αx |
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) |
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α |
0 (1 |
+( |
α x) |
|
) |
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α |
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0 |
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α |
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|||||
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−12 |
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1 |
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d |
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π |
1 |
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π |
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π α 2 |
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||||||||
F (α) =∫ |
|
F (α)dα =∫ |
2 |
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dα |
= |
2 |
∫α |
|
dα = |
2 |
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+c =π α +c. |
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||||||||||||||||||
dα |
α |
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1 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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Замечая, что
F (0) =∫∞ ln(1+0x2 ) dx =0 , x2
0
найдем константу c
0 =π 0 +c c =0 .
Итак,
F (α) =π α .
Замечание. Полученный интеграл можно найти непосредственно:
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∞ ln(1+αx2 ) |
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∞ |
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2 |
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1 |
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||||||||||||||
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F (α) =∫ |
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x2 |
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dx =−∫ln(1+αx |
|
|
)d |
x |
= |
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||||||||||||||||||||
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0 |
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|
0 |
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|
|
||
|
|
|
|
|
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|
|
|
∞ |
|
|
∞ |
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||
|
|
|
|
|
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||||||||||
=− |
|
|
|
|
|
2 |
) |
1 |
|
|
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|
1 |
|
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|
|
|
|
|
2 |
|
|
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− |
1 |
2αx |
|
|
= |
|
|
|
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||||||||||||
ln(1+αx |
|
|
|
x |
0 |
−∫x d ln(1+αx |
|
|
|
) =− |
0 |
∫x 1+αx2 |
dx |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
0 |
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
∞ |
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=2α∫ |
|
1 |
|
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|
dx =2α |
1 |
|
∫ |
|
|
|
1 |
|
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d |
α x =2 α arctg |
|
α x |
|
|
∞ |
=2 α |
π |
=π α. |
|||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
α |
1+ |
( |
|
α x) |
2 |
|
|
|
0 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||
|
|
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|
0 1+αx |
|
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|
0 |
|
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№ 48.2. |
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||||||
|
F (α, β) =∫∞ |
e−αx −e−β x |
dx (α, β >0). |
|
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|
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дифференцированием под знаком интеграла по параметруα . |
||||||||||||||||||||||||||
Найдем функцию F(α, β) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ ∞ e−αx −e−β x |
|
|
|
∞ |
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|
∂ e−αx −e−β x |
|
∞ e−αx (−x) |
|
|
∞ |
−αx |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
F (α, β) = |
|
|
∫ |
|
|
|
x |
|
|
|
dx =∫ |
|
|
|
x |
|
|
dx = |
∫ |
|
x |
|
dx |
=−∫e |
|
dx = |
|||||||||||||||||||||
|
∂α |
|
∂α |
|
|
|
|
|
|
∂α |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
∫e |
−αx |
d (−αx) = |
1 |
e |
−αx |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
0 =− |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
α |
|
|
α |
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
F(α, β) =∫∂∂α F(α, β)dα =−∫α1 dα =−lnα +c.
Замечая, что
∞
F (α, β) α=β =F (β, β) =∫e−β x −x e−β x dx =0 ,
0
найдем константу c :
0 =−ln β +c c =ln β .
Итак,
F (α, β) =ln β −lnα =ln αβ .
Замечание. Учитывая, что
e−αx −e−β x |
= e−yx |
|
y=β |
|
β |
|
|
|
|
|
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|
|||||
|
|
=∫e−yx dy , |
||||||
x |
−x |
|
y=α |
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
рассмотрим интеграл: |
|
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|||||
G( y) =∞∫e−xy dx = e−xy |
|
x=∞ = 0 −1 |
= |
1 |
. |
|||
|
||||||||
|
|
|||||||
0 |
−y |
|
x=0 −y |
|
y |
|||
|
Проинтегрируем функцию G( y) |
под знаком интеграла по параметру y : |
|||||||||||||||||||||
β |
|
β |
|
∞ |
|
|
|
∞ β |
|
|
|
∞ |
|
−αx |
|
−β x |
||||||
∫ |
|
∫ |
∫ |
|
− |
∫ |
∫ |
|
− |
|
|
x |
||||||||||
G( y)dy = |
|
e |
|
|
e |
|
∫ |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
yxdx dy = |
|
|
|
yxdy dx = |
|
e |
|
−e |
dx =F(α, β) . |
||||||||
α |
|
α |
0 |
|
|
|
0 α |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||
С другой стороны |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|||||||
β |
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
∫G( y)dy =∫ |
1 |
dy =ln y |
|
αβ =ln β −lnα =ln |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
y |
α |
|
|
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|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
αα
№ 48.3. |
|
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|
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||||||
|
|
|
|
|
∞ arctg αx2 −arctg β x2 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
F (α, β) =∫ |
|
|
|
|
x |
|
|
|
dx |
|
|
(α, β >0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
дифференцированием под знаком интеграла по параметруα : |
|||||||||||||||||||||||||||||
Найдем функцию F(α, β) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂ |
∂ |
∞ arctg αx2 −arctg β x2 |
∞ |
∂ arctg α x2 −arctg β x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
F (α, β) = |
|
|
|
∫ |
x |
|
dx =∫ |
|
|
|
|
x |
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∂α |
∂α |
∂α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|||||||
=∫ |
|
x2 |
|
|
dx =∫ |
x |
1 |
∫ |
|
1 |
|
|
|
d (αx |
2 |
)= |
1 |
|
|
2 |
|
1 π π |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
α x |
|
|
= |
|
2 = |
|
. |
||||||||||||
(1+α2 x4 )x |
(1+α2 x4 ) |
2α |
( |
( |
|
|
2 )2 ) |
|
2α |
|
0 |
2α |
4α |
|||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 1 |
+ αx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
F(α, β) =∫ |
∂ |
F(α, β)dα =∫ |
π |
dα =π4 lnα +c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∂α |
4α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Замечая, что |
|
|
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∞ arctg β x2 −arctg β x2 |
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
F (α, β) |
|
α=β =F(β, β) =∫ |
|
|
|
|
x |
|
|
|
dx =0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
найдем константу c : |
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|||||||||||
0 =π ln β +c c =−π ln β |
|
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|
|
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|
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|
|
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||||||||||||||||
4 |
|
|
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|
|
4 |
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|
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Итак,
F (α, β) =π4 lnα −π4 ln β =π4 ln αβ .
№ 48.4.
F (α, β) =∫∞ (e−αx −x e−β x )2 dx (α, β >0).
0
Найдем функцию F(α, β) дифференцированием под знаком интеграла по параметруα :
∂∂α F (α, β) = ∂∂α ∫∞ (e−αx −x e−β x )2 dx =∫∞ ∂∂α (e−αx −x e−β x )2 dx =
0 0
=∫∞ 2 (e−αx −x e−β x )e−αxx(−x) dx =−2∫∞ (e−αx −x e−β x )e−αx dx =G(α, β).
0 0
Функцию G(α, β) найдем дифференцированием под знаком интеграла по параметруβ :
∂∂β G(α, β)=−2 ∂∂β ∫∞ (e−αx −xe−β x )e−αxdx=−2∫∞ ∂∂β (e−α x −xe−β x )e−α xdx=−2∫∞ −ex−β x (−x)e−αxdx=
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0 |
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0 |
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0 |
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∞ |
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−(α+β )x |
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∞ |
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=−2∫e |
− |
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α |
+β |
x |
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e |
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1 |
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( |
) |
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dx=−2 |
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=−2 |
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. |
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−(α+β) |
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0 |
(α |
+β) |
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||||||||||||||||||
0 |
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||
G(α, β) = |
|
∂ |
|
G(α, β)d β =−2 |
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1 |
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|
d β =−2 ln(α + β) +c . |
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|||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||
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∫∂β |
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∫(α + β) |
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1 |
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Замечая, что |
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|||||||||
G(α, β) |
|
|
|
β =α =G(α,α) =−2∫∞ ( |
e−αx −e−αx |
)e−αx dx =0 , |
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|||||||||||||||||||||||||||
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
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0 |
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найдем константу c1 : |
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0 =−2ln(α +α) +c1 |
c1 =2ln 2α . |
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||||||||||||||||||||||
Значит, |
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|
G(α, β) = −2ln(α + β) + 2ln 2α . |
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|||||||||||||||
Далее: |
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∂ |
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||||
F(α, β) =∫ |
F(α, β)dα =∫G(α, β)dα =∫(−2 ln(α +β) +2 ln 2α)dα = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂α |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
=(−2 ln(α + β) +2 ln 2α)α −∫αd (−2 ln(α + β) +2 ln 2α)= |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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−2 |
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2 |
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|
|
||||||
=(−2 ln(α |
+ β) +2 ln 2α)α −∫α |
|
|
|
+ |
|
2 |
dα = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
α + β |
2α |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
=(−2 ln(α |
+ β) +2 ln 2α)α −2∫ |
|
−α |
|
|
|
|
|
|
|
=(−2 ln(α + β) +2 ln 2α)α −2∫ |
β |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+1 dα |
|
|
dα = |
||||||||||||||||||||||||||||||
α + β |
|
α + β |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
=(−2 ln(α + β) +2 ln 2α)α −2β ln(α + β) +c2 =−2(α + β) ln(α + β) +2α ln 2α +c2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Замечая, что |
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|||||||||
F (α, β) |
|
α=β =F (β, β) =∫∞ ( |
e−β x −e−β x |
)2 dx =0 , |
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
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0 |
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|
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|
найдем константу c2 : |
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0 =−2(β + β) ln(β + β) +2β ln 2β +c2 |
|
|
|
c2 =2β ln 2β. |
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Итак, |
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(2α)2α (2β )2β |
||||
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|
F(α, β) =−2(α + β) ln(α + β) +2α ln 2α +2β ln 2β =ln |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(α + β)2(α+β ) |
№ 48.5.
∞
F (α, β) =∫e−αx −x e−β x sin γ xdx (α, β >0).
0
Найдем функцию F(α, β) дифференцированием под знаком интеграла по параметруα :
|
∂ |
|
|
|
∂ |
∞ e−αx −e−β x |
|
|
|
|
|
|
|
∞ ∂ e−αx −e−β x |
|
∞ e−αx (−x) |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
F (α, β) |
|
= |
|
|
|
|
∫ |
x |
|
|
sin γ xdx =∫ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
sin γ xdx =∫ |
x |
|
sin γ xdx = |
|||||||||||||||||
|
∂α |
|
∂α |
|
|
∂α |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
=−∫∞ e−αx sin γ xdx =−Im∫∞ |
e−αx (cosγ x +i sin γ x)dx =−Im∫∞ |
e−αx eiγ x dx =−Im∫∞ |
e(−α+iγ )x dx = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
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|
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|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
||
=−Im |
e(−α+iγ )x |
|
∞ |
=Im |
|
1 |
|
|
|
=Im |
|
−α −iγ |
= |
|
|
|
−γ |
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
(−α +iγ ) |
|
0 |
|
(−α +iγ ) |
α2 +γ 2 |
α2 +γ 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
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−γ |
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||||||||
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
F(α, β) =∫ |
|
|
∂ |
F(α, β)dα =∫ |
|
|
|
|
|
|
dα =−∫ |
|
|
|
1 |
|
|
d |
α |
=−arctg |
α |
+c. |
|
|
|||||||||||||||||
|
∂α |
|
α2 +γ |
2 |
α 2 |
|
|
γ |
γ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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+1 |
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|
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||||
Замечая, что |
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γ |
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|||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
F (α, β) |
|
α=β =F(β, β) =∫∞ |
e−β x −e−β x |
sin γ xdx =0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
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|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||
найдем константу c : |
0 |
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||||||||||||||||
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β |
|
+c |
|
c =arctg |
|
|
β |
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|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
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|||||||||
0 =−arctg |
|
|
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|
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|
|
. |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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||||||||||||||
γ |
|
|
|
|
γ |
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|
|
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|
|
|
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|
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Итак, |
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β |
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||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (α, β) =arctg |
|
−arctg |
α . |
|
|
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||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
γ |
|
|
|
|
γ |
|
|
|
|
50. Эйлеровы интегралы
Условия.
С помощью Эйлеровых интегралов найти следующие интегралы.
№ 50.1. |
∞∫e−x5 |
x13 dx |
№ 50.1. |
∞∫e−x3 |
x13 dx |
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
№ 50.2. |
∫1 |
x4 |
1− x2 7 dx |
№ 50.2. |
∫1 |
x13 3 1− x3 4 dx |
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
№ 50.3. |
∫1 |
6 x |
3 1− x 11dx |
№ 50.3. |
∫1 |
4 x5 |
1− x 3dx |
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
№ 50.4. |
∞∫ |
4 x7 |
dx |
№ 50.4. |
∞∫ |
6 x11 |
dx |
|||||
6 |
5 |
|||||||||||
|
0 |
(1+x) |
|
0 |
(1+x) |
|
|
|
||||
|
∞ |
x11 |
|
|
∞ |
x13 |
|
|||||
№ 50.5. |
∫0 |
dx |
№ 50.5. |
∫0 |
dx |
|||||||
|
||||||||||||
(1+x3 )6 |
||||||||||||
(1+x2 )6 |
||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
№ 50.6. |
∫2 |
sin8 x cos6 x dx |
№ 50.6. |
∫2 sin10 x cos4 x dx |
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
№ 50.7. |
∫2 |
sin11 x cos9 x dx |
№ 50.7. |
∫2 |
sin7 x cos13 x dx |
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Теория.
Гамма-функция
Γ(α) =∞∫e−x xα−1dx (α >0).
0
Основное свойство
Γ(α +1) =αΓ(α).
Учитывая, что
Γ(1) =∞∫e−xdx =1,
0
из основного свойства вытекает:
Γ(n +1) =n! (n =1, 2, 3,...).
Отметим:
∞ |
1 |
|
∞ |
1 |
|
∞ |
1 |
∞ |
|
|
=∫e−x x− |
|
|
=2∫e−y2 dy = π . |
|||
Γ(12 )=∫e−x x2 |
−1dx |
2 dx |
=2∫e−xdx2 |
|||||
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
Имеет место формула дополнения: |
π |
|
|
|
|
|||
|
Γ(α)Γ(1−α) = |
|
|
(0 <α <1). |
sinαπ
Бета-функция
B(α, β) =∫1 xα−1 (1− x)β −1 dx (α, β >0)
0
связана с гамма-функцией формулой
B(α, β) = Γ(α) Γ(β) .
Γ(α +β)
Решения.
№ 50.1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
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|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
∞ |
e−x5 x13 dx |
= |
|
5 |
= y x = y |
5 |
dx |
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
e−y y |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
x |
|
|
|
|
= 5 y |
|
|
|
dy |
= |
∫ |
e−y (y5 ) |
2 1 y |
− |
5 dy = 1 |
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∫ |
2 dy = |
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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x |
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y |
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5 |
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5 |
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||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
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|
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0 →∞ 0 |
→∞ |
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0 |
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0 |
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|
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||||||||||||||||||||||||||||
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∞ |
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3 −1 |
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(23 )= 15 Γ(12 +1)= 15 12 Γ(12 )= 15 12 |
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π |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 15 ∫e−y y 2 |
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dy = 15 Γ |
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π = |
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10 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
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|
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№ 50.2. |
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|
|
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||||
1 |
|
|
|
1− x2 7 dx = |
|
|
2 |
|
|
|
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|
|
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|
1 |
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|
1 |
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|
−1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1− y 7 1 y−12 dy = |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
x4 |
x |
|
= y x = y 2 |
dx = 2 y |
|
2 dy |
= |
∫ |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
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|
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|
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|
x |
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|
|
y |
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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0 →1 |
0 →1 |
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|
0 |
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|
|
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|
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|
1 Γ( |
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Γ( |
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
2 ) |
2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
= |
2 |
|
∫y2 (1− y)2 |
dy |
= |
|
2 ∫y |
2 |
|
|
|
|
|
(1− y) |
2 |
|
|
|
dy = |
2 B |
( 52 , 92 )= 2 |
|
|
|
|
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|
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|
|
|
= |
|
|
|
|
|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
Γ( |
5 9 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
1 Γ(52 )Γ(72 +1) |
= |
1 |
|
Γ(52 )72 Γ(72 ) |
= |
1 Γ(52 ) |
72 Γ(52 +1) |
= |
1 Γ(52 ) |
72 |
|
52 Γ(52 ) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
Γ |
( |
7 |
) |
|
|
|
|
2 |
|
|
Γ |
( |
6 |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
+1 |
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
= 12 72 52 |
1 |
|
(Γ(52 ))2 = 12 72 52 |
1 |
(Γ(23 +1))2 = 12 72 52 |
1 |
(23 Γ(23 ))2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6! |
6! |
6! |
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 12 72 52 |
1 |
(23 Γ(12 +1))2 = 12 72 52 |
1 |
(23 12 Γ(12 ))2 = 12 72 52 |
1 |
(23 12 π )2 = 2711π . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6! |
6! |
6! |
|
|
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|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№ 50.3. |
|
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|
|
|
|
|
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||||
1 |
6 x |
3 1− |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = y x = y2 dx =2 ydy |
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|
1 |
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
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11 |
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|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
x |
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
= |
∫ |
3 |
|
y 3 1− y |
|
|
|
2 ydy = |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
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|
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|
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0 →1 0 →1 |
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|
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||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
Γ(73 )Γ(143 ) |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
1 |
|
7 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
−1 |
|
|
|
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|
=2B( 73 , 143 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
=2∫y3 (1− y) |
3 |
dy |
=2∫y3 |
|
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(1− y)3 |
|
|
|
dy |
=2 |
|
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|
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|
= |
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
Γ( |
7 |
+ |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
3 |
3 ) |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
=2 |
Γ(34 +1)Γ(113 +1) |
|
=2 |
34 Γ(34 )113 Γ( |
113 ) |
|
=2 |
34 Γ(13 +1)113 Γ( |
83 +1) |
= |
2 |
34 13 Γ(13)113 |
83 Γ( |
83) |
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Γ(6 +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
6! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
53 +1) |
|
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|
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|
53 ) |
|
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|
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|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||
= |
2 |
34 13 Γ(13)113 83 Γ( |
|
= |
2 |
|
|
34 13 Γ(13)113 83 53 Γ( |
|
=2 |
|
34 13 Γ(13)113 83 53 Γ(32 +1) |
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
6! |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
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1 Γ(1 ) |
|
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Γ( |
2 ) |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
4 |
11 |
8 |
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Γ( |
|
)Γ( |
|
|
|
)= |
|
|
|
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7 |
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π |
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7 |
π |
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4 |
π |
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3 3 3 3 |
3 3 3 |
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3 |
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5 |
2 |
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1 |
2 |
55 |
2 |
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55 |
2 |
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=2 |
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=2 |
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4 11 8 |
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= |
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2 |
= |
11 2 |
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. |
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6! |
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6 |
6! |
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3 |
3 |
6 |
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6 |
6! |
3 |
8 |
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3 |
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3 |
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3 |
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6! sin 1 π |
3 |
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3 |
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3 |
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