Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский Национальный Университет им. В. Н. Каразина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

матан

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

1.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

42. Числовые ряды. Признаки сравнения

Условия.

Выяснить сходимость рядов.

∞

n+1

№ 42.1.

∑

n=1 n

+2n+1

∞

№ 42.2.

∑

n=2

−1

№ 42.3.

∞

∑arctg3

n=1

n2 +1

∞

arctg

№ 42.4.

∑

n2 +1

№ 42.5.

n=1

∞

a) ∑

ln n

, b) ∑lnnn , c)

∑

lnn

3 4

n=2

№ 42.6.

∞

a) ∑

, b) ∑

, c) ∑

n4 ln n

n ln n

n=2

n=2 nln n

n=2

∞

3 n2 +1

№ 42.7.

∑

n=2

∞

(

n +1 − n −1)

№ 42.8.

∑

n=2

∞

№ 42.9.

∑23nn−+11

n=2

∞

(

n2 −n )

№ 42.10. ∑

n2 +n −

n=2

∞

№ 42.11. ∑sin 1n

n=2 2

∞

№ 42.12. ∑4n arctg 1

n=2 3n

∞

2n+1

№ 42.1.

∑

+2n

n=1

∞

№ 42.2.

∑

n=2

−1

№ 42.3.

∞

∑arctg3

n=2

n4 +1

∞

arctg

№ 42.4.

∑

n=1

n+1

№ 42.5.

∞

2 n

∞

ln2 n

∞

2 n

a) ∑

, b) ∑

, c)

∑

n=2

№ 42.6.

∞

a) ∑

, b)

∑

, c) ∑

n7 ln2 n

n4 ln2 n

n=2

n=2 nln

n=2

∞

n5 +1

№ 42.7.

∑

n=1

∞

№ 42.8. ∑(3 n +1 −3 n −1)

n=2
∞	n+1
№ 42.9. ∑	n+1
№ 42.9. ∑	1000n−1
n=2
∞	( n3 +n2 − n3 −n2 )
№ 42.10. ∑	( n3 +n2 − n3 −n2 )
n=2
∞		1
№ 42.11. ∑arcsin		1
№ 42.11. ∑arcsin			n
n=2		4
n=2
∞			1
№ 42.12. ∑	5n tg		1
№ 42.12. ∑	5n tg		n
n=2		2
n=2

Теория.

Числовым рядом с общим членом	ak (k =0, 1,		2,...∞)	называется последовательность
частичных сумм			n
			n
Sn =a0 +a1 +a2 +...+ak +...+an =∑ak				(n =0, 1, 2,... ∞) ,
			k =0
∞
обозначаемая ∑ak .
k =0
Если предел последовательности частичных сумм
		n	∞
lim Sn = lim		∑ak	=∑ak	=S,
n→∞	n→∞	k =0	k =0
		k =0	k =0

∞

существует и конечен, ряд ∑ak называется сходящимся (соответственно, если предел

k =0

не существует или бесконечен, ряд называется расходящимся).

В случае неотрицательных слагаемых an ≥0 имеются простые признаки сходимости

рядов, позволяющие выяснить сходимость опосредовано (т.е. без нахождения точного значения суммы S ).

Теорема. (Признак сравнения в общей форме). Пусть:

1) 0 ≤an ≤bn

∞	∞
1) если “больший” ряд ∑bn <∞	“меньший” ряд ∑an <∞ (сходится);
n=1	n=1
∞	∞
если “меньший” ряд ∑an =∞ “больший” ряд ∑bn =∞ (расходится).
n=1	n=1

Теорема. (Признак сравнения в предельной форме). Пусть:

1) an n→∞ bn

∞∞

1)ряды ∑an , ∑bn сходятся или расходятся одновременно.

n=1 n=1

В качестве “эталонных” рядов, с которыми чаще всего приходится сравнивать другие ряды, отметим следующие:

Гармонический ряд

	∞	1	p ≤1,	pacx
	∑	1	=
	∑	p	=	cx
	n=1 n		p >1,	cx
Геометрическая прогрессия			q <1,	cx
	∞		q <1,	cx
	∑qn		=	pacx
	n=1		q ≥1,	pacx
Теорема. (Интегральный признак).
Пусть:
1) f (x)	0
	x→+∞

∞∞

1)ряд ∑ f (n) и интеграл ∫ f (x)dx сходятся или расходятся одновременно.

n=1

Решения.

№ 42.1.

∑∞ n+1

n=1 n3+2n+1

№ 42.2.

∑∞ 2n1

n=2 n −

№ 42.3.

∑∞ arctg n

n=1 3 n2 +1

an =

n+1

p =2 >1

сходится.

n3+2n+1 n→∞ n3

an =

p = 3

сходится.

−1 n→∞ n2

an =arctg3

p = 3

расходится.

n2 +1

n→∞ n2

№ 42.4.

∞

arctg 1

p = 5

∑

an =

сходится.

n=2

x→∞ n2

В следующих примерах демонстрируется применение признака сравнения в общей форме. Полезно вспомнить, что:

lim

ln n

=0,

lim nε

(ε >0) .

n→+∞ nε

n→+∞ en

Отсюда, в частности, вытекает,

что при достаточно больших значениях n имеют место

оценки:

nεn

ln n

≤const,

≤const

(ε >0)

№ 42.5.

∞

nε

p = 4

a) ∑3lnn

an = 3lnn = ln4n = lnεn

≤const

=bn

−ε.

n=2

n3 −ε

Попробуем подобрать ε > 0 так, чтобы p = 4 −ε >1				(тогда ряд из “больших” слагаемых b
			3	n
			3
будет сходящимся). Имеем 0 <ε <			1 .
			3
Следовательно, исходный ряд сходится.
∞ lnn	lnn	ln2	p =1.
b) ∑ n	bn = n ≥	n =an	p =1.

n=2

Найдены “меньшие” слагаемые an , ряд из которых расходится. Следовательно, исходный ряд расходится.

∞		bn = ln1n ≥ ln21		p =1
c) ∑ln3 n		bn = ln1n ≥ ln21	=an	p =1	<1.
n=2	n	n3 n3		3

Найдены “меньшие” слагаемые an , ряд из которых расходится. Следовательно, исходный ряд расходится.

№ 42.6.

∞

p = 4

a) ∑

an =

≤

=bn

n4 ln n

n=2

n3 ln2

Найдены “большие” слагаемые bn , ряд из которых сходится.

Следовательно, исходный ряд сходится.

∞

nε

c) ∑

bn =

=an

p =

+ε .

3 n ln n

ln n

3 n nε

≥ const

1+ε

n=2

Попробуем подобрать ε > 0 так, чтобы p =

+ε ≤1 (тогда ряд из “меньших” слагаемых an

2 .

будет расходящимся). Имеем 0 <ε ≤

Следовательно, исходный ряд расходится.


		∞
b)	∑			1
b)	∑			nln n
	n=2
Имеем:
a =			1		≤	1	=b p =1.
a =			nln n		≤	nln 2	=b p =1.
n			nln n			nln 2	n

Найдены “большие” слагаемые bn , ряд из которых расходится, что бесполезно. По другому:

b =

nε

≥

p =1+ε >1.

nlnn

ln n n nε

n1+ε

const

Теперь найдены “меньшие” слагаемые an ,

ряд

из

которых сходится,

что также

бесполезно.

Попробуем применить интегральный признак:

∞

∑

an =

f (x) =

nln n

xln x

x→+∞

n=2

∞

dx =

d ln x =ln ln x

= lim ln ln x −ln ln 2 =∞

расходится.

∫xln x

∫ln x

x→∞

№ 42.7.

∞

3 n2+1

3 n2

− 2

∑

an =

= nnε

nε3

≤const

p =ε

nε−

n=2

n→∞

e n

Попробуем подобрать ε > 0 так,

чтобы

p =ε −

>1 (тогда ряд из “больших” слагаемых

5 .

будет сходящимся). Имеем ε >

Следовательно, исходный ряд сходится.

№ 42.8.

∞

(

− n −1) an =(

n +1 − n −1)=

1 расходится.

∑

n +1

p =

n+1+

n−1

n=2

№ 42.9.

∞

2n+1

a = 2n+1 → 2

≠0

ряд

расходится,

т.к.

не

выполнено

необходимое

∑

3n−1

3n−1 n→∞ 3

n=2

условие.

№ 42.10.

∞

(

n2 +n − n2 −n )

∑

an =

n2 +n − n2 −n =

→ 1≠0 расходится.

n2 +n+

n=2

n2 −n n→∞

№ 42.11.

∞

∑sin

an =sin

n→∞

=(2 )

q =

сходится.

n=2

№ 42.12.

∞

∑

arctg

an =4

arctg

n→∞ 4

≤(

3 )

q = 3

расходится.

n=2

43. Числовые ряды. Признаки Даламбера, Коши, Лейбница

Условия.

Выяснить сходимость знакоположительных рядов.

∞

№ 43.1.

∑

№ 43.1.

∑

(

)

n=0

2n !

∞

№ 43.2.

∑

№ 43.2.

∑

(

)

(

)

n=0

2n !!

n=0

2n +1 !!

∞ (

)

∞ (

)

№ 43.3.

∑

+1 !!

№ 43.3.

∑

2n !!

n=0

3 n!

n=1

4 n!

∞

№ 43.4.

∑nn2

№ 43.4.

∑nn3

n=1

n=0

№ 43.5.

∞

(

)

№ 43.5.

∞

∑

∑n

n=0

(n!)

n=0

∞

№ 43.6

∑sinn 1

№ 43.6.

∑

n=1

n=2 ln

∞

№ 43.7.

∑

2n (

№ 43.7.

∑(nn+1)n

n+1

n=1

∞

(nn+−11)n

∞

(

n2 +1

№ 43.8.

∑

№ 43.8.

∑

n2 +2

n=2

Выяснить сходимость знакочередующихся рядов. Уточнить характер сходимости (абсолютно или условно)

№ 43.9.	∞		n+1	∞	(		n+1
№ 43.9.	∑	(−1)		№ 43.9. ∑	(		−1)
	n=1		n	n=1			2n+1
	∞		n	∞			n
№ 43.10. ∑		(−12)		№ 43.10. ∑	(		−1)
	n=1		n	n=1			n3
	∞		n	∞			n
№ 43.11.	∑		(−1)	№ 43.11. ∑			(−1)
			(−1)
			3
			3			5	n7 ln2 n
	n=2		n4 ln n	n=2			n7 ln2 n

Выяснить абсолютную сходимость знаконепостоянных рядов.

∞		n		∞
№ 43.12. ∑cosα2				№ 43.12. ∑sin3nα
n=1	n			n=1	n
Рассмотрев соответствующий ряд, доказать,				что
№ 43.13. lim an =0				№ 43.13. lim	(2n)!=0
n→∞ n!				n→∞	an!
№ 43.14. lim	(n!)n		=0	№ 43.14. lim	nn	=0
					2
n→∞ nn2				n→∞	(n!)

Теория.

Теорема.

Пусть		(признак Даламбера)	(признак Коши)
1)	a ≥0	и lim an+1 =q	lim n a	n	=q
	n	n→∞ an	n→∞	n
		n→∞ an	n→∞

<1, cx 1) q = =1, ?

>1, pacx

Замечание. Признак Даламбера удобно применять в случае, когда в составе an имеется

(...)! факториал, а признак Коши в случае, когда an имеет вид (...)n ой степени.

Теорема. (Признак Лейбница). Пусть:

	∞	(an ≥0)- знакочередующийся, причем an 0
1)	ряд ∑(−1)n an	(an ≥0)- знакочередующийся, причем an 0
	n=0

1)	ряд сходится.	∞	∞
		∞	∞
Если сходится не только ряд ∑an , но и сходится ряд из “модулей”			∑	an	, то
			∑	an	, то
		n=0	n=0

исходный ряд называется абсолютно сходящимся. Сумма абсолютно сходящегося ряда не зависит от порядка слагаемых.

∞	∞
Если ряд ∑an сходится,	но ряд из “модулей” ∑	an	расходится, то исходный ряд

n=0	n=0

называется условно сходящимся. Сумму условно сходящегося ряда путем перестановки слагаемых можно сделать равной любому числу.

Теорема. (Об абсолютной сходимости). Пусть:

	∞
1)	ряд ∑	an	- сходится

	n=0

	∞
1)	ряд ∑an		- сходится.

n=0

Решения.

№ 43.1.

∞

n∑=0 n1!

№ 43.2.

a =

(

)

(

)

n (

)

n+1

n +1 !

n! n +1

n +1

an+1

lim

an+1

= lim

=q <1

сходится.

n +1

(

→∞

→∞ (

)

∞

(n+1)!

n!(n+1)

(n+1)

∑

an =

an+1 =

=an

(2n)!!

(2(n +1))!!

(2n +2))!!

(2n)!!(2n +2)

(2n +2)

n=0

an+1

(n+1)

an+1

(n+1)

lim

= lim

сходится.

(2n +2)

n→∞

n→∞ (2n +2)

№ 43.3.

(2(n +1)+1)!!

∞

(2n +1)!!

(2n +3)!!

(2n +1)!! (2n +3)

(2n +3)

∑

an =

, an+1

n+1

=an

(n +1)!

n+1

(n +1)!

3(n +1)

n=0

3 n!

3 3 n! (n +1)

an+1

(

+3)

an+1

(2n

+3)

lim

= lim

2 =q <1

сходится.

3 n

n→∞

(

)

n→∞ (

)

№ 43.4.

∞

∑n2

n=1 2n

= n2 ,

= (n +1)2

n+1

2n+1

(n +1)2

lim

= lim

(n +1)2

= 1

=q <1 сходится.

n+1

n→∞

Сравнить:

n a

=n n2

lim n a

= lim n n2

= 1 =q <1 сходится.

n→∞

n→∞ 2n

Здесь воспользовались известным пределом:

ln n

lim

= lim n

= lim e

n ln n

=1.

lim

n→∞

№ 43.5.

(

))

∞ (

)

(

)

(

)

(

)(

)

∑

2n !

an =

2n !

, an+1 =

n +1 !

2 !

=an

2n +1 2n +

2 =

(n!)

((n +1)!)

(n+1)

n=0

(n!)

(n!(n +1))

an+1

(2n +1)(2n +2)

lim

an+1

= lim

(2n +1)(2n

+2)

=4 =q >1 расходится.

(n+1)

n→∞

№ 43.6

∞

∑sin

an =sin

n=1

n a

=n sinn 1 =sin 1

lim n a

= lim sin 1 =0 =q <1

сходится.

n→∞

№ 43.7.

)n n =(2(

)n )

∞

∑2n (

an =2n (

=2n (

n+1

n=1

n an =n (2(

)n )n =2(

n+1

lim n a

= lim 2

2 =q <1 сходится.

(n+1)

n→∞

1+1

№ 43.8.

an =(nn+−11)n n =((nn+−11)n )

∞

(nn+−11)n

∑

n=2

(

)

n a

n−1

lim n a

= lim

n−1

= lim en ln(nn+−11)

(n+1)

−1)

(n+1)

n→∞

(n+1)

n→∞

−1

(

−1

=lim n(

n−1

−1)=lim

−2n

−2

=q<1 сходится

= lim nln (

)=lim nln

n+1

=−2

n→∞

n→∞ n+1

№ 43.9.
∞	(−1)n+1	1	0 сходится.
∑	n	an = n	0 сходится.

n=1

Уточним характер сходимости (абсолютно или условно). Рассмотрим ряд из “модулей”

∞ 1

p =1

расходится.

∑n

an = n

n=1

Следовательно, данный ряд сходится условно.

Замечание. Сумма условно сходящегося ряда

∞

(−1)n+1

1 1 1

S =∑

−

+ 3

− 4

− 6

+ 7

− 8

+ 9

−

+...

n=1

зависит от порядка суммирования слагаемых. Например:

R =1− 12 − 14 + 13 − 16 −81 + 15 −101 −121 + 71 −141 −161 +...=

=(1− 12 )− 14 +(13 − 16 )−18 +(15 −101 )−121 +(17 −141 )−161 +...=

=12 − 14 + 16 −18 +101 −121 +141 −161 +...= 12 (1− 12 + 13 − 14 + 15 − 16 + 17 − 18 +...)= 12 S.

№43.10.

∞ (−1)n		a	=	1	0 сходится.
∞ (−1)n		a	=		0 сходится.
∑	n2	n		n2
n=1

Уточним характер сходимости (абсолютно или условно). Рассмотрим ряд из “модулей”

∞	1	1
∑		an =		p =2 сходится.
∑	n2	an =	n2	p =2 сходится.
n=1

Следовательно, данный ряд сходится абсолютно. Его сумма не зависит от порядка суммирования слагаемых.

Замечание. Из сходимости ряда из “модулей” вытекает сходимость исходного ряда, так что в данном случае непосредственно проверять сходимость исходного ряда, применяя признак Лейбница, было излишне.

№ 43.11.

∑∞ (−1)n

n=2 3 n4 ln n

Рассмотрим сразу ряд из “модулей”:

∞		1			1		1		p = 4
∑			an =			≤		=bn		>1	сходится.
	3	n4 lnn		3	n4 lnn		4
n=2									3
							n3 ln2

Ряд из “модулей” сходится (по признаку сравнения в общей форме). Следовательно, исходный ряд также сходится (причем, абсолютно).

№ 43.12.

∑∞ cosαn

n=1 n2

Рассмотрим ряд из “модулей”:

∞

cosαn

∑

an =

≤

=bn

p =2 >1 сходится.

n=1

№ 43.13.

Рассмотрим вспомогательный ряд:

∞ an

an+1

ana

∑ n!

un = n!

, un+1 =

=un

(

)

n!(n+1)

(n+1)

n +1 !

un+1

lim

un+1

= lim

=0 =q <1

сходится.

(n+1)

n→∞

n→∞ (n+1)

∞

Из сходимости ряда ∑un вытекает выполнение необходимого условия его сходимости:

lim u

lim an

=0 .

n→∞

n→∞ n!

№ 43.14.

Рассмотрим вспомогательный ряд:

∞

)

∑(n!2)

un =

(n!2)

(n!)

n n

n un =n

lim n un

= lim

(nn )

n→∞

n→∞ nn

Рассмотрим еще один вспомогательный ряд:

∞

∑nnn!

v =

, v

(n +1)!

(n +1)n+1

(n +1)n

n+1

)

vn+1

(

n! =(

n +1

lim vn+1 = lim

n = lim

сходится.

(n +1)

n→∞

n→∞ (1+ 1n )n

∞

Из сходимости ряда ∑vn вытекает выполнение необходимого условия его сходимости:

lim v =0	lim	n!	= lim n u	n	=0<1.

n→∞ n	n→∞ nn n→∞

∞

В свою очередь, это означает сходимость ряда ∑un , а значит, необходимое условие его

сходимости:

lim un =0	lim	(n!)n	=0.

n→∞	n→∞ nn2

44. Степенные ряды. Ряды Тейлора

Условия.

Найти область сходимости степенных рядов.

∞

№ 44.1.

∑

№ 44.1.

∑

n3+1

n=0 n

n=0

∞

№ 44.2.

∑

№ 44.2.

∑

3n n

n=1

∞

№ 44.3.

∑

№ 44.3.

∑

n=0

∞

№ 44.4.

∑

№ 44.4.

∑

(

)

( )

n=0

2n +1 !!

n=0

2n !!

∞

2n2 xn

№ 44.5.

∑lnn n xn

№ 44.5.

∑

n=0

Найти суммы степенных рядов

∞

№ 44.6.

∑

№ 44.6.

∑

n+1

n−1

n=0

n=2

∞

№ 44.7.

∑nxn

№ 44.7.

∑(n +2)xn

n=1

n=0

Найти сумму числового ряда.

∞

№ 44.8.

∑

№ 44.8.

∑

n=1 n2

n=1

Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки x0 = 0

№ 44.9.

f (x) =

№ 44.9.

f (x) =

+x−6

−3x−4

№ 44.10. f (x) =ch x

№ 44.10. f (x) =sh x

№ 44.11. f (x) =arctg x

№ 44.11. f (x) =arcsin x

Разложивподынтегральнуюфункциювстепеннойряд, найтиинтегралсточностью ε = 0,001

№ 44.12. ∫1	e−x2 dx	№ 44.12. ∫1	sin x	dx
			x
0		0

Теория.

Для каждого степенного ряда

∞

S(x) =∑an xn

n=0

существует некоторый интервал (−R, +R) , внутри которого ряд сходится (причем

абсолютно), а вне интервала ряд расходится (на концах интервала x = ±R поведение ряда может быть произвольным и требует отдельного исследования).

Для радиуса сходимости R имеют место формулы:

Теорема.
	Пусть	(формула Даламбера)			(формула Коши)
	1)	lim	an+1	=q	lim n	an	=q


		n→∞	an		n→∞

	1)			R = 1
				q

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.02.201534.74 Кб11маркетинг (робота с Ирой).docx
#
12.11.2019365.57 Кб9маркетинг услугТ 1-4.doc
#
23.02.201539.71 Кб5Маркетинг.docx
#
01.05.2019275.97 Кб3Маркетингова географія Л.1.doc
#
23.02.2015173.28 Кб16мат.методы.docx
#
23.02.20151.44 Mб69матан.pdf
#
23.02.20152.78 Mб86Матем. анализ. Методичка(1 семестр).doc
#
13.03.20161.44 Mб37Матеріали до словника 2.doc
#
13.03.2016105.98 Кб4материаловедение Лекция 1.doc
#
25.08.201938.33 Кб4Материалы 3_1.docx
#
10.11.2019241.66 Кб1материалы для лекции 1.doc