matan_belaev_1

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский Национальный Университет им. В. Н. Каразина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Мы уже установили, что последовательность

монотонно возрастает,

.1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

4.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 184 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Учитывая что, и правая и левая части неравенства стремятся к e , по принципу двустороннего ограничения получаем:

lim yn 1 1 2!1 - представление

	1			1		1		1		n	1
...		... e ;	e 1 1		...		...		lim
	n!			2!		n!		n!			k!
							n 0		n n 0

e в виде суммы числового ряда.

e yn

... =

Теперь:

n 1 !

2 !

n 1 !

n 2

n 3 ...

... = …

2 2

n 1 !

Заменяем множители, большие n 2

на n 2 (уменьшение знаменателей – увеличение

слагаемых и суммы)

… =

n 2

, поскольку:

n 1 !1

1 ! n 1

nn!

n 2

n n 2

1 n 1 2

n 1

n n

n 1

Значит 0 e y

e yn

Обозначая

e yn

, 0

1, получим

nn!

1/ nn!

e y

e 1 1

...

где 0

nn!

n n!

Пользуясь этой формулой легко вычислить

вручную (без калькулятора)

с любой

разумной точностью (достаточной для большинства «практических» задач). Прежде чем делать это, получим ещѐ одно представление числа e в виде. Для этого заметим, что:

1 1						1		...						1		=
1 1					2!			...					nn!			=
					2!								nn!
								1				1					1						1			1					1						1			1			1
=			3																														...											=
=			3																														...											=
					1 1!						2 2!						2!					2 2!					3 3!				3!				n 1 n 1 !					nn! n!
=			3			n 1				1							1									1					e .
=			3												k 1 k						1 !										e .
																																n
								kk !																	k 1 !
						k 1
Величина убывает к e , поскольку слагаемые в сумме положительны.
1				k 1			2							1					k					1				k k 1							1			k 1 2 k k k 1 =

	kk !								k 1 k 1 !														k 1 !									k k 1 k 1 !
								1																					1
=								1								e					3								1					.
=																e					3													.
		k k 1 k 1 !																						n 1		n n 1 n 1 !
																		n 1							1											1			1		1
Для разности													e			3														e 1					1		...					имеем
Для разности													e			3														e 1					1		...					имеем
																		k 1		k k 1 k 1 !																2!			n!		nn!

		1									1							1
		1									1							1				...		=

								n 1 n 1 !								n 1 n 2 n
k n			k k 1 k 1 ! n					n 1 n 1 !								n 1 n 2 n					2 !			1
		1													1									1
									n	n 1									n	n 1
=				1
=	n n 1 n 1 !			1			n 1 n 2 n 2										n 2 n 3 n 2 n 3
	n n 1 n 1 !						n 1 n 2 n 2										n 2 n 3 n 2 n 3
		1						1						1						1				1
<		1			1			1						1		...				1				1

		n n 2 n 1 !							n 2			n		2 2					n n 1 n		1 !			1
		n n 2 n 1 !							n 2			n		2 2					n n 1 n		1 !			1
																							1		n 2
=			n 2					1					,

		n n 1 2 n 1 !				n2 n 1 !

... <

n 2

1 n n 2

1 n 1

поскольку

n 1

e 1 1

...

, где 0 n

n 1 !

n! n n!

Пользуясь полученными формулами, можно вычислим число e с необходимым количеством верных знаков после запятой.

§ ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

lim 1 x 1/ x	e . ∆ Рассмотрим 0 < x < 1 и функцию	E(x) =		1	= n	целая часть


x 0
			x

от

. И тогда для каждого n, существует x , такое что : n

n 1 .

Построим последовательность x

, такую что: n

1 .

x k

Получим, что при

n → ∞ xn→ 0 и:

1 x

x k

1/ x

1 nk 1

1 x

Из этого неравенства получаем :

nk 1

1/ x

1 x

1 nk

У дроби в левой части числитель стремится к e, а знаменатель к 1 и дробь стремится к e. Произведение в правой части также стремится к e, ибо первый сомножитель стремится к e, а второй к 1. Тогда, по принципу двустороннего ограничения

lim 1 x	k	1/ xk	e	lim 1 x 1/ x	e . ▲
k	k			x 0
k				x 0

Полученный предел называется вторым замечательным пределом.

§ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ

A). Докажем, что

lim n n 1 .

∆ Представим n в виде

n (1 (n n 1))n . Затем раскроем скобки по биному Ньютона

n 1 n(n

n(n 1)

1)2

.... (n n 1)n .

Тогда

n(n 1)

n 1 n(n

(n n 1)2

(n n 1)2 n 1 n(n n 1)2 .

2 n 1 n n

И получаем:

1)2

n(n 1)

n 1

. Выберем

n 1

. Получаем, что:

т.е.

lim n n 1 0 .

▲

n 1

В). ∆ Теперь заметим, что при a 1 и n :

1 n

a n n 1.

Из принципа двустороннего ограничения заключаем, что:

lim a1/ n

lim a 1/ n

Следовательно:

a1/ n 1

1 a1/ n 1

n N

a 1/ n 1

1 a 1/ n 1

n N

Тогда:

N max N

, N

n N

1 a 1/ n

a1/ n 1 .

И , наконец:

1 a 1/ n a1/ n 1

a x 1

т.е.

lim a x 1 . Полученное соотношение означает, что функция

f (x) a x непрерывна в

x 0

нуле.

▲

lim ab a x

ab ab

lim a x

ab ab

lim ab a x b

1 =

С). ∆

lim a x

x b

= ab ab lim at

1 ab

т.е.

lim a x ab .

t 0

x b

Полученное равенство доказывает, что функция

f (x) a x

непрерывна xR. ▲

§ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

		1 n				1 n 1
ограничена сверху и	lim 1		e , а последовательность	yn	1		монотонно
		n				n

1 n 1

e .

убывает, ограничена снизу и

lim 1

Тогда:

1 n

n 1

1 n / n

1/ n

(n 1) / n

e 1

1/ n

1 (n 1) / n

n 1

Логарифмируем неравенство :

ln 1

. Получаем два

неравенства:

											1		1											1
						а) ln 1														б) ln 1
						а) ln 1														б) ln 1
											n		n											n
									1		ln				1		1
Следовательно:												1							.
Следовательно:								n 1				1							.
								n 1							n			n
Заменив в этом неравенстве n на –n получим:
						1								1		1
										ln 1									.
					n 1					ln 1						n			.
					n 1									n		n
Объединяем полученные выше два неравенства:
		1						1						1		1
		1						1						1		1
				ln 1						ln 1							.				Выбирая				x
			1	ln 1						ln 1							.				Выбирая				x
		n						n						n		n
		n						n						n		n
	1						1										1					1
			ln 1					ln(1 x) ln 1															.
	n 1		ln 1					ln(1 x) ln 1															.
	n 1						n											n				n

n1 .

1n , получаем:

Т.е.	lim ln(1 x) 0	или	lim ln z ln 1 0 .
	x 0		z 1
Следовательно, функция y ln z непрерывна в точке z 1.
Теперь рассмотрим lim(ln z ln b) lim ln				z	ln 1 0 .
Теперь рассмотрим lim(ln z ln b) lim ln					ln 1 0 .
	z b		z b	b
Отсюда заключаем, что:		lim ln z ln b .
		z b
Следовательно, функция y ln z непрерывна в точке z b						b R.

§ ПРЕДЕЛЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПОКАЗАТЕЛЬНЫМИ, ЛОГАРИФМИЧЕСКИМИ И СТЕПЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ

Из второго замечательного предела следует, что:
1 .	lim	ln 1 x	lim ln 1 x 1/ x	ln e 1.
		x
	x 0		x 0

Используя непрерывность логарифмической функции, меняем местами знак предела и знак функции.

2 .

lim

loga

1 x

lim

ln 1 x

. Здесь достаточно вспомнить связь между

ln a

x 0

x a

логарифмами с различными основаниями.

3 .

lim

ex 1

lim

1 . Для перехода от первого предела ко второму выполнена

ln 1 y

x 0

замена переменных в предельном переходе

ex 1 y ex 1 y x ln 1 y .

4 .

5 .

lim

ax 1

lim

ex ln a

ln a

ln a . Осуществлен переход к натуральному основанию.

x ln a

x 0

ln 1 x

1 ln 1 x

ln 1 x

lim

1 x

lim

ln 1 x

x 0

x 0 ln 1 x x 0

Использована теорема о пределе произведения двух функций, имеющих предел.

§ СТЕПЕННО-ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

Рассматривается степенно-показательное выражение f (x )g( x ) и при этом f (x ) 0 .

Т. Пусть пределы функций, стоящих в основании и показателе существуют и конечны и

предел основания больше нуля		lim f (x ) b R ,		lim g(x ) c R	и b 0 .
		x a		x a
Тогда	lim f (x )g( x )	lim g( x )	bc .
Тогда	lim f (x )g( x )	(lim f (x ))x a	bc .
	x a	x a

∆Утверждение теоремы следует из следующей цепочки преобразований:

	lim g( x ) ln f ( x )	lim g( x ) ln lim f ( x )
lim f (x )g( x ) lim eg( x ) ln( f ( x ) ex a		ex a	x a	ec ln b bc .
x a	x a

И, при этом, использовалась только непрерывность показательной и логарифмической

функций.	▲.
Еще действия над несобственными элементами:
a			a 1		;	a	0		a 1	;
a					;	a				;
	0		0 a 1				0		a 1
0	a 0	;				a 0		;	( 0) .
( 0)a		;		( )a				;	( 0) .
a 0						0	a 0

В связи с тем , что теорема налагает некоторые ограничения на основание и показатель степенно-показательного выражения появляется три новых неопределенности:

00 ,

0 ,

1 .

Рассмотрим степенно-показательное выражение

f (x )g( x ) :

g( x )

ln(1 ( f ( x ) 1))

( f ( x ) 1)

f (x )g( x )

eg( x ) ln f ( x ) eg( x ) ln(1 ( f ( x ) 1))

( f ( x ) 1)

lim g( x )( f ( x ) 1)

И получаем весьма полезное соотношение :

lim f (x )g( x ) ex a

. Это

x a

соотношение справедливо если f (x ) 1 при x a .

ln n

lim

ln n

Пример.

lim n n lim n1/ n ( 0 ) lim e n

ex a n

x a

§ СИМВОЛЫ АСИМПТОТИЧЕСКОГО СРАВНЕНИЯ.

Напоминаем: Если lim f (x ) 0 то функция f (x) называется бесконечно малой величиной
		x a
и обозначается f (x) o(1) .
Если C такое, что при			x a		f (x )	C , то функция f (x) называется ограниченной и
Если C такое, что при			x a		f (x )	C , то функция f (x) называется ограниченной и
обозначается f (x) O(1) .
Def.
1)	f (x) = o(g (x))		при x a h(x)				f (x)= h (x)g(x) и h(x)=o(1) .
	Читается f (x) есть величина бесконечно малая по сравнению с g(x).
2)	f (x) = O(g (x))		при x a h(x)				f (x)= h (x)g(x) и h(x)=O(1) .
	Читается f (x) есть величина ограниченная по сравнению с g(x).
3)	f (x) ~ g (x)	при x a		h(x)			f (x)= h(x)g(x) и h(x)=1+ o(1) .
			Читается величины f (x) и g(x) эквивалентны.
4)	f (x) g(x)	при x a		h(x)			f (x)= h(x)g(x) ;
	h(x)=O(1) и отделена от н уля .
	Читается величины f (x) и g(x) одного порядка.

Немного другие формы записи тех же определений.

Def.

1)o(f(x)) = f (x )o(1)

2)O(f (x)) = f (x )O(1)

lim f (x ) 0 ,

3)f (x) ~ g(x)

4)f (x) g(x)

lim

f (x )

g(x ) f (x )

g(x )

1 ,

Const 0 .

При этом

1˚ f (x) = o(g(x)) f (x) = O(g (x)) 2˚. f (x) ~ g(x) f (x) g(x)

3˚ f (x) ~ g(x) f (x) = O(g (x))

4˚ f (x) g (x) f (x) = O(g(x)) g (x) = O(f(x)) .

Все эти соотношения транзитивны

1˚ f (x) = o(g(x)) g (x) = o(h (x)) f (x) = o(h (x)) 2˚ f (x) = O(g(x)) g (x) = O(h (x)) f (x) = O(h (x))

3˚ f (x) ~ g (x) g (x) ~ h(x) f (x) ~ h (x) 4˚ f (x) g(x) g (x) h(x) f (x) h (x) .

Отношения эквивалентности, ограниченности и однопорядковости рефлексивны, т.е.

1˚ f (x) ~ f (x)

2˚ f (x) = O(f (x))

3˚ f (x) f (x) .

Отношение пренебрежимости не рефлексивно и не симметрично

1˚ f (x) ≠ o(f (x)) 2˚ f (x) = o(g (x)) g (x) ≠ o(f (x)).

Отношение эквивалентности и однопорядковости симметрично

1˚ f (x) ~ g (x) g (x) ~ f (x) 2˚ f (x) g(x) g (x) f (x) .

Отношение относительной ограниченности антисимметрично

f(x) = O(g (x)) g (x) = O(f (x)) f (x) g(x).

Впроизведениях и в суперпозициях о-символов получаем, как результат, наименьшее о, а в суммах наибольшее О.

o(O( f (x ))) o( f (x )) ;

o( f (x )) O( f (x )) O( f (x )) .

Все отношения (кроме эквивалентности) не чувствительны к знаку входящих функций.

Def. Если функция f (x) может быть представлена в виде суммы двух слагаемых, причем второе есть величина бесконечно малая по сравнению с первым f (x ) f0 (x ) o( f0 (x )) , то первое слагаемое f 0(x) называется главным членом функции f (x) .

Т˚. Две величины эквивалентны тогда и только тогда, когда разность между ними есть величина бесконечно малая по сравнению с любой из них.

f (x )

f (x) ~ g (x) lim

lim

o(1)

g(x )

f (x ) g(x ) g(x )o(1)

f (x ) g(x ) o(g(x )) .

Аналогично получаем, что

f (x ) g(x ) o( f (x )) . ▲

Т˚. Если эквивалентные величины имеют пределы, то эти пределы равны. ▲.

Т˚. Главный член произведения равен произведению главных членов.

Пусть f (x ) f0 (x ) o( f0 (x )) и	g(x ) g0 (x ) o(g0 (x )) т.е. f0 (x ) и g0 (x ) являются
главными членами функций f (x )	и g(x ) соответственно. Тогда

f(x )g(x ) f0 (x ) o( f0 (x ) g0 (x ) o(g0 (x ) =

=f0 (x )g0 (x ) f0 (x )o(g0 (x )) o( f0 (x ))g0 (x ) o( f0 (x ))o(g0 (x )) =

=f0 (x )g0 (x ) f0 (x )g0 (x )o(1) f0 (x )g0 (x )o(1) f0 (x )g0 (x )o(1)o(1) =

=f0 (x )g0 (x ) o( f0 (x )g0 (x )) .

Следовательно, f0 (x )g0 (x ) есть главный член для произведения f (x )g(x ) . ▲

Замечание Обращаем внимание на то, что главный член суммы (разности), вообще говоря, не равен сумме (разности) главных членов.

На (+∞) показательная функция с основанием больше 1 (меньше 1) растет (убывает) быстрее любой степени , а логарифмическая функция возрастает медленнее любой степени:

lim	x	0	lim	lg	a	x	.

				x
x ax			x

§ СТЕПЕННЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ

Пусть задана система функций :						n	(x) (x x	0	)n	;	n 0,1,2,3, x x					0	.
						n		0								0
													x x0
Асимптотическим степенным разложением функции f (x) при													x x0			по шкале i (x ) i 1
называется:
f (x ) c c (x x			) c (x x		)2		c (x x								)i
f (x ) c c (x x		0	) c (x x	0	)2		c (x x			0	)n c (x x			0	)i
0	1	0	2	0			n			0	i 0	i		0
											i 0
f (x ) c c (x x		0	) c (x x	0	)2		c (x x			0	)n o((x x	0	)n )
0	1	0	2	0			n			0		0

f (x ) c0 c1 (x x0 ) c2 (x x0 )2 cn (x x0 )n O((x x0 )n 1 ) .

§ ДЕЙСТВИЯ НАД АСИМПТОТИЧЕСКИМИ РАЗЛОЖЕНИЯМИ.

Введем действия над асимптотическими разложениями.

n	k	(x ) o( n	n	k	(x ) o( n (x ))
Пусть: f (x) ck	k	(x ) o( n	(x )) и g (x) dk	k	(x ) o( n (x ))	асимптотические
k 0			k 0

разложения функций f (x) и g (x)			по шкале i (x ) i 1 .

1˚. Умножение асимптотического разложения на число α R (α 0)

( f )(x ) ck k o( n (x ))

k 0

2˚. Сложение асимптотических разложений

( f g)(x ) (ck dk ) k o( n (x ))

k 0

3˚. Линейная комбинация асимптотических разложений

( f g)(x ) ( ck dk ) k o( n (x ))

k 0

4˚. Умножение асимптотических разложений

	n			k
( f g)(x )	lk	k	o( n (x ))	где lk cm dk m .
	k 0			m 0

				n
и a	k	находим из соотношений	f (x ) g(x )		k
	k			k	k
			k 0

l2 = c0d2+c1d1+c2d0 .

o( n (x ))

§ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ МАКЛОРЕНА ДЛЯ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Рассмотрим систему функций n (x ) x n n 1 . Если взять эту систему функций в качестве

шкалы асимптотического сравнения при x 0 , то справедливы следующие асимптотические разложения

1˚.	ex 1 x	x 2	x n

	2!		n!

o(x

)

ex 1 x

O(x n 1 )

2˚.

sin x

x 3

x 5

x 7

( 1)n

x 2n 1

(2n 1)!

2n 1

o(x

2n 2

)

( 1)n

sin x

(2n 1)!

O(x

2n 3

)

3˚.

cos x

x 2

x 4

x 6

( 1)n

x 2n

(2n)!

( 1)n

o(x 2n 1 )

cos x

(2n)!

O(x 2n 2 )

4˚.

ln(1 x ) x

x 2

x 3

x 4

( 1)n 1

x n

o(x

)

ln(1 x ) x

( 1)n 1

O(x n 1 )

5˚.

1 x ( 1) x 2

( 1)( 2) x 3

( 1) ( n 1) x n ....

o(x n )

1 x ( 1) x 2 ( 1)( 2) x 3 ( 1) ( n 1) x n ....

O(x n 1 )

§ ТЕОРЕМА О ВЛОЖЕННЫХ ПРОМЕЖУТКАХ (КОШИ-КАНТОРА)

Т˚. Во всякой последовательности вложенных друг в друга замкнутых промежутков,

длины которых стремятся к нулю, содержится единственная точка, принадлежащая

всем промежуткам одновременно:

a1 , b1

a2 , b2

an , bn

lim(an bn ) 0

ak , bk k N .

Последовательность: a1 , a2 , , an , - возрастающая и ограниченная сверху (любым bi ), следовательно по теореме Вейерштрасса имеет предел: lim ak c1 .

Последовательность b1 , b2 , , bn , - убывающая и ограниченная снизу (например, одним из ai ), т.е. lim bk c2 .

Тогда: c1 c2 lim an lim bn lim(an bn ) 0 , т.е. c1 c2 c ▲

§ ТЕОРЕМА (БОРЕЛЯ-ЛЕБЕГА) О КОНЕЧНОМ ПОКРЫТИИ.

Def. Система множеств M α , где α пробегает некоторое множество А называется

покрытием множества Х, если X M .

Def. Если все M α - открытые множества, то покрытие называется открытым, если

множество А – конечно, то покрытие называется конечным.

Def. Всякая подсистема множеств покрытия, которая тоже покрывает данное множество называется подпокрытием покрытия M α .

Т˚. Всякое покрытие замкнутого промежутка интервалами содержит конечное подпокрытие. (Из всякого покрытия замкнутого промежутка интервалами можно

выделить конечное).
Доказательство теоремы проведем от противного.
Пусть из некоторого покрытия [a,b] нельзя извлечь						[—————\|—————]
конечное. Разделим отрезок пополам точкой c						a			b	c
Тогда, по крайней мере, для одного из промежутков [a,c] или [c,b] нет конечного
подпокрытия. Обозначим этот промежуток a1 , b1 . Aналогично, (продолжая процедуру),
получим: a, b a , b a		, b a		, b	и lim(b	a		) lim	b a	0 . Т.е.
получим: a, b a , b a	2	, b a	n	, b	и lim(b	a	n	) lim		0 . Т.е.
1 1	2	2	n	n	n		n		2n
									2n

существует только одна общая точка всех интервалов. Для точки с существует интервал I из покрытия, такой что с и этот интервал покрывает ak , bk начиная с некоторого k.

Это противоречит тому, что ни один из этих промежутков не имеет конечного покрытия. Предположение о том, что из бесконечного открытого покрытия замкнутого промежутка нельзя выделить конечное подпокрытие привело к противоречию. Это доказывает теорему.▲

§ ТЕОРЕМА О ПРЕДЕЛЬНОЙ ТОЧКЕ

Т˚. (Больцано-Вейерштрасса). Всякая ограниченная бесконечная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.

На расширенной вещественной прямой:

Всякая бесконечная последовательность содержит подпоследовательность, имеющую предел, возможно несобственный. Δ▲.

Следствие˚. Всякое ограниченное бесконечное множество имеет хотя бы одну предельную точку. На расширенной числовой прямой всякое бесконечное множество имеет хотя бы одну предельную точку, возможно несобственную.

§ ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ

Def. Нижним пределом последовательности ( limxn ) называется наименьший из частичных пределов этой последовательности. Верхним пределом последовательности ( limxn ) называется наибольший из частичных пределов последовательности.

При этом: limxn ≤ limxn .

Всякий частичный предел последовательности лежит между ее нижним и верхним пределами.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 184 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.11.2019428.03 Кб2Maket_tablits.doc
#
23.02.2015249.34 Кб4marketing (Автосохраненный).doc
#
23.02.201563.45 Кб16MARKETING-2013.docx
#
17.09.201987.78 Кб6Market_issled_Iv_Roshe.docx
#
11.11.2019917.5 Кб18Masenko_Mova_i_suspilstvo_2004.doc
#
23.02.20154.45 Mб11matan_belaev_1.1.pdf
#
23.02.20151.04 Mб12matan_metod_1.1.pdf
#
23.02.20151.27 Mб39matan_metod_2012_1.2.doc
#
13.03.2016624.21 Кб4Matem_Lisitsya_2.pdf
#
23.02.20151.1 Mб13MechanS2.doc
#
23.02.20153.01 Mб31Mekhanika_metodichka.doc