Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

matan_belaev_1

.1.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
23.02.2015
Размер:
4.45 Mб
Скачать

 

M 2l x N2l

 

 

 

Ml l x Nl l

x2 p j x q j 2

x2 p j x q j l j .

 

j

j

 

 

j j

j j

Учитывая, что в правой части стоят только дроби I, II, III и IV типов, а интегрировать эти дроби мы научились, то задача интегрирования рациональной дроби решена. Неопределенный интеграл от рациональной функции существует на любом промежутке, где знаменатель интегрируемой дроби не обращается в ноль и выражается через рациональные функции, логарифмы и арктангенсы в конечном виде.

Примеры.

1˚. Вычислить интеграл

x 6 x 2

2x 1

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

x x 1 x

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рациональная подынтегральная дробь неправильная, поэтому выделим целую часть.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 6 x 2 2x 1

x 4 x 3 x 2 x

 

 

 

 

x x 1 x 2 1 x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т.к.

x3 x 2

x , то

 

 

 

 

 

x 2 x

и, значит

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 1

 

 

 

 

x6

x2 2x 1

 

 

 

 

x3

 

 

x2

 

 

 

 

2x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3

2

x

 

x 1

x

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

x x 1 x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чтобы взять оставшийся интеграл, разложим дробь в сумму простейших:

 

 

 

 

2x 1

 

 

 

A B

 

 

 

Mx N

 

 

x 1 x 2 1 A x x 2 1 B x x 1 Mx N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x 1 x 2 1

 

x

x 1

 

x 2 1

 

 

 

 

 

 

x x 1 x 2 1

 

 

(A, B, M, N – неопределенные коэффициенты).

*. Две дроби с равными знаменателями равны тогда и только тогда, когда равны их числители.

2x 1 = x 1 x2 1 A x x2 1 B x x 1 Mx N .

* Два многочлена равны тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях совпадают. Из этого критерия и последнего равенства получаем:

x3 : A B M 0

 

A 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

3 / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 1

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

3 dx

 

1 x 3

 

 

: A N M 0

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

x1 : A B N 2

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x 1 x2

1

x

 

x 1

 

x

2

1

 

M 1/ 2

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

x

0

: A 1

 

 

3 / 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

x2

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

ln x2

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получаем I

 

 

 

 

ln

 

 

x

 

 

 

 

ln

 

x

1

 

 

 

 

 

arctg x C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

2

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2˚. Вычислить интеграл

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 1 x 2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Разложим подынтегральную дробь в сумму простейших дробей:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

A

B

 

 

 

 

Cx D

 

 

Ex F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 1 x 2 2

x 2

 

 

x

1 x 2 2

 

 

x 2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и можно найти A, B, C, D, E, F как в предыдущей задаче, но…

1

 

1 x 2 x 2

1 x 2 x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 1 x 2 2

x 2 1 x 2 2

 

x 2 1 x 2

 

1 x 2 2

 

x 2

1 x 2

1 x 2 2

 

 

и, следовательно:

 

 

dx

 

 

 

 

dx

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

dx1

 

 

 

1

arctg x

dx

.

 

 

 

 

2

 

2

 

 

2

 

1

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

x 2 1 x 2

 

 

x

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

x

1 x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

Оставшийся интеграл это интеграл четвертого типа

1 x 2 2

 

и для его взятия можно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

использовать полученную выше формулу понижения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

1

 

x

 

 

 

 

1

 

 

dx

 

 

1

 

 

x

 

1

arctgx C .

 

 

 

 

 

1

x2

2

2 1 x

2

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1 x

 

 

2 1 x

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В данном случае интеграл четвертого типа оказался не очень сложным. В общем случае, именно интегралы четвертого типа вызывают самые большие, хотя и технические, трудности. Избежать этих трудностей позволяет исключительно остроумный метод Остроградского.

§. МЕТОД ОСТРОГРАДСКОГО ВЫДЕЛЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНОЙ ЧАСТИ ИНТЕГРАЛА.

Теорема. Если правильная дробь

Rn 1 (x)

имеет знаменатель, представленный в виде

Qn (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 p j x q j l j , то:

 

 

Qn (x) x a1 k1 x a2 k2

 

 

x as ks

x2 p1x q1 l1

 

 

 

Rn 1 (x)

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

L(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k1

1

 

 

k 1

 

ks 1

 

2

 

l1 1

 

2

l j 1

 

Q (x)

x a1

 

x a2

2

x as

x

p1x q1

x

p j x q j

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S(x)

 

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a1 x a2

 

x as x2 p1x q1

x2 p j x q j

 

 

 

 

Здесь L(x) и S(x) многочлены на степень ниже, чем многочлены, стоящие в соответствующих знаменателях. Интеграл, стоящий в правой части можно взять методом разложения дроби в сумму простейших дробей (и, что очень важно) интегралов IV типа среди них не будет.

Если разложение Qn (x) на множители неизвестно, то:

 

 

 

 

 

Rn 1 (x)

dx

 

L(x)

 

 

S(x)

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qn (x)

НОД Qn,Qn

 

Qn (x) / Qn (x)

 

Примеры.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 . Вычислить

 

 

4x 3

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 4 2x 3 3x 2 2x 1

 

 

 

 

 

 

можно найти с помощью алгоритма Евклида.

 

 

НОД Qn,Qn

 

 

Q 4x3 6x2 6x 2 ; От деления на 2 наибольший общий делитель двух полиномов не

n

изменится 2x3 3x 2 3x 1.

 

_ x4 2x3 3x2 2x 1

 

 

 

 

 

 

 

2x3 3x2 3x 1

 

 

 

 

 

_ 2x 3 3x 2 3x 1

x 2 x 1

 

 

 

 

 

 

x

4

 

 

3

 

x

3

 

 

3

 

x

2

 

 

1

x

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 3 2x 2 2x

 

 

2x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x3

3

x2

 

3

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

x2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

4

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

x2

3

x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наибольший общий делитель знаменателя и его производной x 2 x 1.

 

 

 

 

 

 

Тогда:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

Ax B

 

 

 

Cx D

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 4 2x 3 3x 2 2x 1

x 2 x 1

x 2 x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для нахождения A, B, C, D продифференцируем обе части:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A x2 x 1 Ax B 2x 1

 

 

 

 

Cx D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4 2x3 3x2 2x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 x 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A x2

 

x 1

Ax B 2x 1 Cx D x2 x 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

x 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и числители дробей должны совпадать.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x 3 A x 2 x 1 Ax B 2x 1 Cx D x 2 x 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3 : C 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

: A

2 A C

D 0

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

. Для исходного интеграла получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 : A A 2B C D 4

 

A 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

0

: A

b D 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

2x 1

2

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 1

 

 

2

 

 

d x 1/ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

4

2x

3

 

 

3x

2

2x 1

x

2

x 1

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x

1

x 1/ 2

2

3/ 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 1

 

4 /

 

 

 

arctg

x

1/ 2

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 x 1

 

 

 

 

 

 

 

3 / 2

 

 

 

 

 

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P4 (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P3 (x)

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

x 2 x2 x

2

2

 

x 1 x 2 x2 x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1 x 2 2 x2 x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax 4 bx 3 cx 2 dx e

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

g

 

dx

 

 

hx m

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 x 2 x

 

2

 

 

 

 

x

1

 

x 2

 

 

x

2

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

продифференцировав обе части равенства, получим систему для нахождения

 

 

 

неопределенных коэффициентов a,b, c, d, e,

f , g, h, m . Остроумие метода Остроградского

состоит в получении вне интегральной дроби без интегрирования, а с помощью решения системы линейных уравнений.

§. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ.

 

ax b

r1

ax b

rk

 

 

А. Дробно-линейные иррациональности R x,

, ,

,

r , r ,

r Q .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

k

cx d

 

cx d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Записав r

mi

( N-общий знаменатель дробей

r , r ,

r ), получим:

 

i

N

 

1 2

k

 

 

 

 

R

ax b r1

x,

 

 

,

 

cx d

 

ax b rk

 

 

 

dx

 

cx d

 

 

 

 

 

 

ax b

t N ; ax b

 

=

cx d

 

 

 

 

 

dt N b

 

 

x t

; dx

 

a ct N

 

 

 

 

t N cx d

R t ,tm1 ,

, tmk t dt .

t dt

 

 

 

 

 

Получен интеграл от рациональной функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 t3 ;

 

 

t3 2 t 3t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры: 1 .

1)

x 3 x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

dx 3t2dt;

 

 

 

 

t3 t 2

 

dt .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 .

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

x 7

5

 

 

 

dx

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 7

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 x 7 7 x 5 5

 

 

x 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12t

5

 

1

t

6

 

2

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 7

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

7

5t

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

3

 

=

t6 ; dx

 

12t

 

; x

 

; x 5

 

 

 

 

= t5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

C .

x 5

 

6

 

2

1 t

6

 

1 t

6

 

 

 

 

6

 

2

 

 

 

6

 

2

t

2

t

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t

 

 

 

 

2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возвращаясь к исходной переменной, получим:

 

 

dx

 

= 36

 

x 5

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

x 7

6 x 7 7 x 5 5

Б. Интегрирование дифференциального бинома (биномиального дифференциала): xm a bxn p dx .

Теорема Чебышева: Если m, n, p Q ,то интеграл от дифференциального бинома выражается через элементарные функции тогда и только тогда когда:

1 . p – целое;

2 .

m 1

целое;

3 .

m 1

p целое.

n

 

n

 

 

 

 

 

 

и при этом следующие подстановки (Чебышева) сводят интегралы к интегралам от рациональных функций.

10. x ts ,где s – общий знаменатель дробей m и n,

20.a bxn ts ,

s – знаменатель дроби p,

 

 

 

 

 

0

a bxn

t

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

, s – знаменатель дроби p.

 

 

 

 

 

 

xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

dx x1/ 2 1 x3/ 2 1/ 4 dx =

 

 

 

1 .

 

x 4

1

 

 

m 1/ 2; n 3/ 2; p 1/ 4;

;

=

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1 x 3/ 2 t4 ; x

1

t4

 

2 / 3 ; dx

2

1

t4

 

5/ 3 4t3dt

=

 

 

 

 

= 1 t4 1/ 3 t

2

1 t4 5/ 3 4t3dt

 

8

 

t4dt

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

3

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С помощью второй подстановки Чебышева интеграл от дифференциального бинома стал интегралом от рациональной функции.

2 .

 

 

dx

 

 

x 2

2 x3 5 / 4

dx =

 

p

;

m 1

;

m 1

p

 

. Ни одна из

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 4

 

 

 

 

 

 

2 x3 5

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

подстановок Чебышева не подходит – интеграл не может быть выражен через элементарные функции (не берѐтся).

 

 

dx

 

 

 

5 / 3

 

 

 

 

 

 

3 .

x2 3 2 x3 5

 

x 2

2 x3 dx

= …

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

m 1

 

В

данном случае

 

m 2; n 3;

p

;

p 2 и, следовательно, третья

 

3

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

подстановка Чебышева должна рационализовать подынтегральное выражение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x3

 

3

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2 2 / 3

 

 

2

 

 

 

2

 

В самом

 

 

деле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

;

 

 

 

 

 

 

1

t

; dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3t

 

dt , и получается

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

 

 

 

 

 

 

x

3

 

 

 

 

 

3

 

 

(t

3

1)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 t

 

1

 

 

 

 

 

 

 

интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

7 / 3

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

2 / 3

2( 3)t2dt

 

 

 

 

 

1

 

 

 

t3 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

… =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

dt , и интеграл рационализован.

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

t

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

3 t

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 .

x 1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

x ( 1)

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

= …

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь m ( 1);

 

n ;

 

 

p

1

;

 

m 1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

1 3t2dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и выполняя замену 1 x

t3 ; dx

 

 

 

t3 1

 

 

 

, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

1

1

 

 

1 1

t

 

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

… =

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3t dt

 

 

 

3

 

 

 

2 dt .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приведенный пример показывает что для не рациональных показателей степеней

подстановки Чебышева тоже могут быть полезны.

В. Подстановки Эйлера : R x,

 

dx;

b2 4ac 0 ;

ax2 bx c

Для интегрирования квадратичных иррациональностей

I. a 0; ax2 bx c ax t;

II. c 0; ax2 bx c xt c ;

III . ax2 bx c a x x

x x

;

 

t x x

.

ax2 bx c

1

2

 

1

 

Других случаев просто нет, ибо тогда D 0 . Знаки плюс–минус выбираются из соображений удобства. Остроумие подстановок Эйлера заключается в том, что для нахождения х получается линейное уравнение.

1 .

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

Учитывая что a 0 , выполним первую подстановку Эйлера.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x2

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 x 2 x t; x2 x 2 x2

2xt t 2

; x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

t2

2

 

1

 

t2 2

 

 

t2 2

1

 

 

1

 

t2 2

 

 

dt

2

 

dt

 

 

… =

 

 

 

 

d

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2t

1

2t

1 2t t

2

 

 

 

1 2t

 

 

t 1 2t

 

1 2t t

 

 

 

 

t 1

 

 

 

 

 

Полученные интегралы от рациональных функций трудностей не представляют.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 .

1

 

1 x x2

dx = … Учитывая что c 0 , выполним вторую подстановку Эйлера.

 

 

 

 

 

 

 

x

1 x x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

1 2t

 

1 2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2t

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

2

1

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

2

 

2

 

… =

 

 

 

 

 

 

t

 

 

1 x x

 

xt

1; 1 x x

 

1 2xt x

t

 

; x

 

 

. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

t2 1

 

1 2t

1

2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

2

1

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

Вновь получен интеграл от рациональной функции.

3 .

 

 

3 4x x2

 

 

 

dx = … Квадратный трехчлен под знаком корня имеет

 

 

 

 

 

 

x 2

3 4x x

2

 

 

 

 

 

вещественные корни x1 1; x2 3 поэтому можно применить третью подстановку Эйлера.

 

 

 

t x 1 ;

 

 

 

 

 

3 x t 2 x 1 ; x

3 t2

 

x 1 x 3

 

 

 

 

 

 

 

3 x t

x 1;

и получаем

 

 

t2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

3 t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

dt

, а это интеграл от рациональной функции.

3

t

2

 

 

 

 

 

3 t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

2

1

 

t

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г . Интегрирование иррациональностей вида : R x, ax2 bx c dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введем обозначение

ax2 bx c y .

 

 

Pn x

 

x y

 

dx

 

 

Г1 .

y

dx Qn 1

y

.

 

 

 

 

 

 

Для нахождения коэффициентов Qn 1 x и продифференцируем обе части равенства:

 

Pn x

 

x y

Qn 1 x 2ax b

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

y

 

 

Qn 1

2 y

 

 

 

 

y

в левой части перейдем к к общему знаменателю:

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

2P

x

 

2Q

 

x

 

ax2 bx c

 

Q

 

x

 

 

2ax b

 

2 . Многочлены стоящие в числителях

дробей справа и слева от знака равенства должны быть равны и, следовательно, должны быть равны коэффициенты при соответствующих степенях переменной. Отсюда получаем

систему линейных уравнений для нахождения коэффициентов Qn 1 x и .

Пример: 1 . x3 2x2 x 3 dx = x2 x 1

Г2 .

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a k y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замена

t

1

 

 

 

 

;

 

 

 

x a

1

;

 

 

 

dx

dt

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

2

bx c =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

ax

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

b a

 

 

 

 

 

c =

 

 

a

 

2a

 

 

 

 

 

a

 

 

 

ba

 

 

 

c

=

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

t

 

 

 

 

t

t

2

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c ba t

 

a t

 

2a

 

b t a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

at

2

 

bt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

После замены переменной, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

tk

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

t

k 2

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

k 1

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

… =

 

 

 

 

 

t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sgn t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– а такой интеграл рассмотрен в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

at2 bt

 

 

 

 

at2 bt

 

 

 

at2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

предыдущем пункте.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= … .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

2x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г3 .

 

dx

 

 

 

= …

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 px q k

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

Подстановка Абеля: x

 

px q

t ;

p

 

4q 0 ;

x

 

= t

x

 

px q (*).

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находя дифференциал от правой и левой части равенства (*), получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

dt

 

dx dt x2 px q t2dx ;

1 t2

dx dt

x2 px q ;

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

px q

 

 

1 t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а возводя правую и левую части равенства (*) в квадрат, будем иметь:

 

 

2

 

 

q

p2

 

 

 

p

q q t2 x2 px q ;

 

 

x2 px

 

x2 px q

4

.

 

 

 

4

 

 

1 t2

Т.е. после выполнения подстановки Абеля, исходный интеграл станет интегралом от рациональной функции:

 

… =

 

1

 

 

 

 

 

 

dx

1

 

 

1 t2

k 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt .

 

 

 

 

 

x2 px 1 k

 

 

 

 

 

q p2 / 4 k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 px q

 

 

 

 

 

 

Г4 .

Mx N

M

 

 

xdx

 

N

 

xdx

 

 

 

.

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 q2 k

 

 

x2 q2 k

 

 

 

x2 q2 k

 

 

 

ax2 b

ax2 b

ax2 b

В первом интеграле делаем замену: ax2 b t2 ,

 

а во втором

 

 

t и задача

 

 

ax2 b

интегрирования интеграла типа Г4 сведена к интегрированию рациональных функций.

Г5 .

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= … .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 px q k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax2 bx c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возможны варианты:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

b

 

 

c

 

 

 

b

p

 

 

 

c

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) x

 

px q a x

 

 

 

 

x

 

 

 

и

 

 

 

 

;

 

 

тогда получим интеграл, рассмотренный

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

a

 

 

 

a

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в пункте Г3 , и применим подстановку Абеля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

b

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

b

p

 

 

2

 

p 2

 

p2

б)

ax

 

bx c a x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

тогда

x

 

px q a x

 

 

q

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

p

 

c

 

p

 

 

 

t x

p

ax

 

bx c a

x

 

 

 

 

 

 

 

 

и после замены

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

4

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

останется первых степеней (интегралы типа Г4 ).

 

 

 

в)

В случае

b ap

сделаем дробно-линейную подстановку

у квадратных трехчленов не

x t v , ( v ). Тогда

1 t

x2 px q

t v 2

p

t v 1 t

 

q 1 t 2

 

=

t2 2 v p pv 2q t

и

1 t

2

 

1 t 2

 

1 t 2

 

1 t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

потребуем, чтобы коэффициент при первой степени t

равнялся нулю:

 

 

 

 

 

 

 

2 v p v 2q 0 .

 

 

Аналогично, для ax2 bx c :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a v b v 2c 0 .

 

 

Из двух полученных уравнений находим и v

 

 

 

 

pa b v = 2 c qa ; 2 pa b v 2 bq cp и,

 

 

следовательно:

v 2

qa c

; v

cp ba

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b pa

 

 

b pa

 

 

 

 

Таким образом и v

есть корни квадратного уравнения: z2 2

qa c

z+

cp ba

= 0 .

b pa

b pa

 

 

 

 

 

После замены x

t v

в квадратных трехчленах не остается первых степеней

 

 

1 t

 

 

 

 

 

(интегралы типа Г4).

§. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, РАЦИОНАЛЬНЫМ ОБРАЗОМ ВЫРАЖАЮЩИХСЯ ЧЕРЕЗ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ

И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

А . Универсальная тригонометрическая подстановка:R sin x, cos x dx =…

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2tg

x

 

 

 

 

t tg

x

x 2arctgt ,

 

x ,

;

 

 

dx

2dt

; sin x 2sin

x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

2

 

2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

=

 

 

 

 

 

;

2

 

 

 

1 t2

2

2

 

 

 

 

2 x

1 t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 tg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 tg

2 x

1 t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x

 

 

 

2 x

 

 

 

 

 

 

2 x

 

 

 

2 x

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x cos

 

 

sin

 

 

 

 

cos

 

 

 

1 tg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

tg

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

… =

 

dx

 

 

 

 

 

tg

x

t

 

 

 

2dt

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

2dt

 

 

 

 

2

 

 

dt

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 cos x

2

1 t2

2

1 t2

 

2 2t2 1 t2

3 t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Б . Универсальная гиперболическая подстановка:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R shx, chx dx =…

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t th

x

;

dx

 

2dt

 

;

chx

1 t

2

;

 

shx

 

2t

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1 t2

 

 

 

 

 

 

1 t

2

 

 

 

 

 

 

1

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t th

x

;

 

 

 

 

 

chx

1 t2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…=

 

 

2

 

 

 

 

 

1

t2

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 chx

dx

 

 

2dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В . Еще несколько рекомендаций для интегрирования

1. Если R sin x, cos x R sin x, cos x , то замена: 2 . Если R sin x, cos x R sin x, cos x , то замена: 3. Если R sin x, cos x R sin x, cos x , то замена:

R sin x, cos x dx . cosx = t.

sinx = t. tgx = t.

Эти замены рационализуют интегралы от функций, рациональным образом выражающихся через тригонометрические функции.

Аналогичные замены справедливы и для интегралов от функций, рациональным образом выражающихся через гиперболические функции.

Примеры.

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t

2

 

2

 

cos

5

x

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

sin x t; dt cos xdx;

cos2 x 1 sin2 x

 

 

 

dt .

sin4

x

t4

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t tgx; dt 1 t2

dx

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3cos2

x 2cos x sin x sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3cos2

x 3 2tgx tg2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2 2t 3

 

3. th5 xdx

sh

5

x

 

 

 

t thx

 

 

 

 

t

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

dt= 1-t2

 

dx

 

 

dt

= … .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch5 x

1 t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

sinr x coss x dx = …

 

r, s Q .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замена

 

sin2 x t ;

dt 2sin x cos xdx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

…=

1

 

sin

r

x cos

s

x dt

 

1

sinr 1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

t

r 1

1 t

s 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x coss 1 xdt

 

2

 

 

dt – (интеграл от

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

sin x cos x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дифференциального бинома).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В.

Очень полезными являются две следующие формулы:

 

 

 

 

 

 

1 .

 

 

 

 

a,b, c, d

! A, B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a sin x b cos x A c sin x d cos x B c sin x d cos x

 

 

 

следовательно, интегрируя получаем:

a sin x b cos x dx Ax B ln c sin x d cos x C . c sin x d cos x

Пример.

2sin x 3cos x

dx = … .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5sin x 7 cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 . a,b, c, d, e, f ! A, B,C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a sin x b cos x ñ A d sin x e cos x f +

 

 

 

 

 

 

 

B d sin x e cos x f C

 

 

и интегрируя, получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a sin x b cos x c

dx =

Ax B ln

 

d sin x e cos x f

 

C

 

dx

 

;

 

 

 

 

 

d sin x e cos x f

 

 

 

 

 

 

d sin x e cos x f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x .

при взятии последнего интеграла полезно знать, что:

d sin x e cos x =

d 2 e2

§ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ. ВВЕДЕНИЕ.

 

Рассматриваются интегралы вида:

R x,

 

dx ,

 

 

 

 

 

R x,

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

P3 x

и

P4 x

(*)

где

P

x и

P

x

многочлены

3й

и 4й степени соответственно, с вещественными

 

3

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

коэффициентами и не имеющие кратных корней. В случае кратных корней радикалы упрощаются и сводятся к ранее рассмотренным иррациональностям.

Эти интегралы, как правило, не интегрируются в элементарных функциях и называются эллиптическими.

Однако:

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]