matan_belaev_1

Подставляя полученные выражения в уравнение, получим:

сочетаниях. Они должны удовлетворять соотношению uv p / 3 . Оказывается, есть ровно три пары u и v , удовлетворяющих этому соотношению.

Отсюда xi b31 ui vi , i 1, 2,3. Найдены три корня кубического уравнения.

Это и есть формулы Кардано для нахождения корней кубического уравнения. Пример 1. Решить уравнение x3 9x2 36x 80 0 .

Полагая x y 3 , получим неполное кубическое уравнение y3 9y 26 0 . К этому

Одним из значений этого кубического корня будет число 3. Произведение этого значения на соответствующее ему значение другого кубического корня, входящего в формулу,

должно равняться числу 3p , т.е. в нашем случае равняться числу (–3). Искомым значением второго корня будет, следовательно, число (–1) и поэтому y1 2 . Разделив неполное уравнение на ( y 2 ) , получим квадратное уравнение с корнями y2,3 1 i 12 .

Решение этого уравнения показывает, что далеко не всегда корни кубического уравнения (даже если они вполне благополучные) удается найти так просто, как хотелось бы.

IV. Рассматриваем уравнение четвертой степени:

состоит в том, чтобы представить полученное уравнение в виде разности квадратов A2 B2 0 , с последующим разложением его в произведение (A B)(A B) 0 и

решением получившихся квадратных уравнений.

Для реализации этой идеи дискриминант квадратного уравнения должен быть равен нулю.

§. ТЕОРЕМА АБЕЛЯ.

Поиски формул для решения уравнений пятой и более высоких степеней безуспешно продолжались до начала девятнадцатого века когда была, наконец, доказана следующая замечательная теорема Т . Абеля: Общее алгебраическое уравнение с одним неизвестным степени выше

четвертой не разрешимо в радикалах т.е. не существует формул, выражающих его корни через коэффициенты с помощью радикалов.

Более того, для любой степени не меньшей пяти можно указать уравнение с целыми коэффициентами, корни которого никак не выражаются через радикалы, сколь угодно многоэтажные, если в подрадикальных выражениях используются лишь целые и

рациональные числа. Таково, например, уравнение x5 4x 2 0 . Можно доказать, что это уравнение имеет три вещественных и два комплексных корня, но уравнение неразрешимо в радикалах. Таким образом, запас чисел, вещественных или комплексных, которые служат корнями уравнений с целыми коэффициентами ( такие числа называются алгебраическими в противоположность числам трансцендентным, которые не являются корнями никаких уравнений с целыми коэффициентами), много шире запаса чисел, записываемых через радикалы.

Теория алгебраических чисел является важной ветвью алгебры. Доказательство невозможности разрешения в радикалах уравнений степени выше четвертой найдено Абелем (1802 – 1829). Существование не разрешимых в радикалах уравнений с целыми коэффициентами установил Галуа (1811 – 1832). Он также нашел условия, при которых уравнение может быть решено в радикалах. Все эти результаты потребовали создания новой глубокой теории, а именно теории групп. Понятие группы позволило исчерпать вопрос о разрешимости уравнений в радикалах, а позже оно нашло многочисленные применения в различных разделах математики и физики а также за их пределами и стало одним из важнейших объектов изучения в алгебре.

Отсутствие формул для решения уравнений степени выше четвертой не вызывает серьезных затруднений, если говорить о поиске корней таких уравнений. Оно полностью компенсируется многочисленными методами приближенного решения уравнений, которые даже для кубических уравнений ведут к цели гораздо быстрее, чем применение формул (там, где они вообще применимы) и последующее приближенное извлечение радикалов.

§. ЕЩЕ О ФУНКЦИЯХ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

Таким образом, линейная функция осуществляет поворот комплексной плоскости z с растяжением (сжатием) и последующим параллельным переносом. Линейная функция задает взаимно однозначное соответствие между комплексной плоскостью z и комплексной плоскостью w . При этом она преобразует прямые в прямые, сохраняя угол между ними и окружности в окружности, т.е. осуществляет конформное отображение комплексной плоскости z в комплексную плоскость w.

При этом окружности радиусом k отображаются в окружности радиуса k n , а лучи исходящие из начала координат и образующие угол с осью абсцисс переходят в лучи из начала координат и образующие угол n с осью абсцисс.

Из сказанного выше следует, что отображение не осуществляет взаимно однозначного отображения между плоскостью z и плоскостью w . Однако, если в качестве геометрического образа функции w рассматривать более сложное многообразие, чем обычную комплексную плоскость, можно сохранить взаимную однозначность отображения.

Будем считать, что мы имеем n экземпляров (листов) плоскости w , разрезанной по положительной части действительной оси, на каждом из которых arg z изменяется в

в верхний берег разреза k-го листа, а луч 2n k – в нижний берег разреза этого же k-го

листа. Построим из этих листов непрерывное геометрическое многообразие так, чтобы непрерывному движению точки на плоскости z

соответствовало непрерывное точки w на данном многообразии (смотри рисунок). Для этого заметим, что нижний берег разреза k-го листа и верхний берег

разреза k 1 -го листа имеют один и тот же аргумент k 2 k . Когда точка z в своем

непрерывном движении по плоскости z переходит из одного сектора в другой, соответствующая ей точка w переходит с одного листа плоскости w на следующий лист. Очевидно, чтобы сохранить

непрерывность отображения мы должны соединить соседние листы, склеивая нижний берег разреза k-го листа с верхним берегом разреза k 1 -го листа. При этом остаются

свободными верхний берег разреза 1-го листа и нижний берег разреза n -го листа. Пусть точка z совершит на плоскости z полный оборот вокруг точки z 0 , последовательно пройдя все n секторов этой плоскости, начиная с первого сектора, и вернется к своему первоначальному положению. Тогда соответствующая ей точка w пройдет n листов и, чтобы она вернулась на первый лист, надо склеить оставшиеся свободными берега разрезов на 1-ом и n -ом листах. Тем самым полной плоскости z функция w zn ставит в соответствие n листов плоскости w , склеенных указанным выше способом. Такое геометрическое многообразие представляет собой n -листную риманову поверхность, а

функция w zn является n -листной функцией. Функция w zn осуществляет взаимно однозначное соответствие между комплексной плоскостью z и

Функция является многозначной и осуществляет взаимно однозначное соответствие между n -листной римановой поверхностью и комплексной плоскостью z. При этом k-й

функции комплексного аргумента совпадают со значением вещественной показательной функции вещественного аргумента.

Взаимная однозначность отображения w ez достигается, если ограничиться, скажем, полосой 0 y 2 .

Горизонтальная прямая y c при отображении w ex ic exeic переходит в луч c , в частности, действительная прямая y=0 (как и всякая прямая y 2 k ) переходит в вещественную положительную полупрямую v 0,u 0 ,а прямая y – в вещественную отрицательную полупрямую. Значит, полоса 0 y 2 в плоскости z переходит во всю плоскость w. Полоса 2 y 4 в плоскости z также переходит во всю плоскость w.

Тем самым полной плоскости z функция w ez ставит в соответствие бесконечное число листов плоскости w , склеенных способом, аналогичным тому который применялся для степенной функции, за исключением того, что теперь этих листом бесконечно много как снизу, так и сверху.

Такое геометрическое многообразие представляет собой бесконечно листную риманову поверхность, а функция w ez является бесконечно листной функцией.

Функция w ez осуществляет взаимно однозначное соответствие между комплексной плоскостью z и бесконечно листной римановой поверхностью.

5 . Логарифмическая функция: w Ln z ;

Логарифмическая функция является функцией обратной показательной функцией и, поэтому, является функцией многозначной: w Lnz ln z i(arg z 2 k) ; k Z .

Она осуществляет взаимно однозначное соответствие между бесконечно листной римановой поверхностью и плоскостью w, при этом каждый лист римановой поверхности

переходит в горизонтальную полосу 2 k y 2 k 1 .

РАЗДЕЛ. Неопределенный интеграл

§ ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

Def. Уравнение которое, кроме неизвестной функции и аргумента, содержат и производные искомой функции конечных порядков, называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Причем высший порядок производной входящей в уравнение называется порядком уравнения.

(x, y, y , y , , y (n) ) 0 - неявное дифференциальное уравнение n-го порядка.

y (n) F(x, y, y , , y (n 1) ) - явное дифференциальное уравнение n-го порядка.

Def. Частным решением дифференциального уравнения на невырожденном промежутке Х, называется любая функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество на этом промежутке. Множество всех частных решений дифференциального уравнения называется общим решением дифференциального уравнения.

Рассмотрим явное дифференциальное уравнение первого порядка: y f (x)

Любое частное решение указанного уравнения называется первообразной функции f (x) и

Из примеров видно, что одна и та же f (x) может иметь не одну первообразную. Теорема (об общем виде первообразной). Если F(x) и (x) две первообразные одной функции f (x) , то (x) F(x) Const .

F˚. Первообразная функции на промежутке является первообразной этой же функции на любом невырожденном подпромежутке.

Def .Общее решение дифференциального уравнения y f (x) называется неопределенным интегралом от функции f (x) (обозначается f (x)dx )

При этом: f (x)dx F(x) Const

Связь неопределенного интегрирования и дифференцирования:

§. ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

Таблицу интегралов надо знать!

Все формулы данной таблицы проверяются непосредственным дифференцированием.