Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

matan_metod_1

.1.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
23.02.2015
Размер:
1.04 Mб
Скачать

ОРИЕНТИРОВОЧНЫЙ ПЛАН ЗАНЯТИЙ

 

Тема

Занятия

1.

Элементы элементарной математики

2

2.

Элементы мат. логики и теория множеств

1

3.

Теория пределов

6

4.

Непрерывность и дифференцируемость

4

5.

Применение дифференциального исчисления

5

6.Комплексные числа

3

7.

Неопределенные интегралы

6

Методические материалы содержат задачи для решения на практических занятиях и для домашних заданий.

Литература.

1.Д. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.

2.Волковысский, Лунц, Араманович. Сборник задач по теории функций комплексного переменного.

3.К. Кудрявцев. Задачи по математическому анализу. Ч.1

4.*. Задачи без определенного адреса.

Баллы для зачета набираются следующим образом:

1.

Посещение лекций

10 баллов

–2 балла).

2.

Посещение практических занятий

5

баллов (н –1 балл).

3.

Участие в практических занятиях

15 баллов.

4.

Контрольные работы

15 баллов.

 

 

5.

Домашние задания

15 баллов.

 

 

6. Коллоквиум 15 баллов

–10 ).

 

7.

Зачет 25 баллов.

 

 

 

 

 

 

 

Всего 100 баллов.

 

Оценки по зачету:

0–49 FX (не зачет),

 

50–59 E, 60–69 D,

70–79 C,

80–89 B, 90–100 A

После зачета количество набранных баллов умножается на 0,6 и получившееся количество баллов есть стартовым для сдачи экзамена. На экзамен выносится 40 баллов:

2

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

1.

План занятий А. Множества. Отношение включения и равенства. Операции над

множествами ( CA, A, A B, A B, A \ B, A B симм. разн.). Б. Некоторые свойства операций над множествами:

1) A B B A ; 2) A B C A B C ;

3)A B C A B A C ;

4)A B C B A A C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5) A B

A

B ;

6) A B

A

 

B

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи для решения 1*, 2*, 3*, 4*

1*. Доказать тождества:

 

 

 

 

 

2) A \ A \ B A B ;

1) A \ B C A \ B A \ C ;

 

 

3) A \ B \ C A \ B A C ;

 

 

4) A \ B \ C A \ B C ;

5) A B C A B A C ;

 

 

6) A B A B A B .

2*. Доказать, что:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) A B C A

B

C ;

2) A B C A

B

C ;

3) A \ B B A B A ;

4) A B C A B C C A ;

5) A B A C B C ;

6) A B A B A B .

3*. Для множеств X и Y определить тип включения

X Y, Y X , X Y :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) X A B \ C ,

Y A B \ A C ;

 

 

 

б) X A B \ C,

Y A \ C B \ C ;

 

 

 

в) X A \ B C ,

Y A \ B A \ C .

4*. Доказать, что:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) A B B A B ;

 

 

 

 

 

 

 

2) A B A A B ;

3) A \ B \ C A \ B C C A ;

 

 

4) A \ A \ B A B ;

5) A \ B B \ A A B \ A B ;

 

 

6) A \ B \ C A \ B C ;

7) A \ B C A C \ B C ;

 

 

8) A \ B C A B C ;

9) A B \ C A B \ C ;

 

 

 

 

10) A C \ B A \ B C .

3

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

1.

Задачи для решения. Демидович 389, 390, 391,401*, *, 407,412, 416, 418*, 419

389. Определить точную нижнюю и верхнюю грани функции f(x) = 1/(1 + x2) для х R.

Определить точную верхнюю и нижнюю грани функций:

390. f x

 

2x

, x 0, .

391. f x x

1

,

x 0, .

 

x2

x

1

 

 

 

 

401*. На языке « – » доказать, что lim x2 9 . Указать правило

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нахождения по заданному .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*. Что обозначают следующие записи:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

 

 

0

 

 

x a

 

 

 

 

 

f (x) b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

 

 

0

 

 

x a

 

 

 

 

 

f (x) b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

x a

 

f (x) b

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

 

 

0

 

x a

 

 

 

f (x) b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

x a

 

f (x) b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0

 

 

0

 

x a

 

f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

407. Сформулировать с помощью неравенств:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y b 0,

x a ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ж) y b 0,

 

x ;

 

 

в) y b 0,

x a 0 ;

 

 

 

 

 

 

з) y b 0,

 

x ;

 

 

д) y b 0,

x a 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

и) y b 0,

 

 

x ;

*) y ,

x a 0 ;

 

 

 

 

 

 

*) y ,

 

x .

 

 

Найти пределы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

412. lim

1 x 1 2x 1 3x 1

.

 

 

 

 

416. lim

2x 3 20 3x 20 30

.

x 0

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

2x 1 50

 

 

 

 

 

 

x2 5x 6

x 1, x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 3x 2

 

 

418*. lim

 

 

 

 

 

x 5, x 3 .

419.

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

x

2

8x

15

 

 

 

 

4

4x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1 x

 

 

 

 

4

2.

Задачи для решения. Демидович 420, 424.1, 436,437, 440, 446, 448, 458, 469, 474, 475, 476,495, 499, 503, 505,507

420.

lim

x4 3x 2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

424.1 lim

 

x100

2x 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1 x5 4x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1 x50

2x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

436.

lim

 

 

 

x 3 x 4 x

.

 

 

 

 

 

 

437. lim

 

 

1 2x 3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

2x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 4

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 3x x2 2

 

 

 

 

 

440.

lim

 

 

 

x 13 2 x 1

.

 

 

446.

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x 1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

448.

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

458.

 

lim

 

 

 

x

 

 

 

3x

 

 

 

 

 

x

 

2x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0 3

1 x 3 1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

469. Найти постоянные а и b из условия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

ax b

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти пределы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

474.

lim

1 cos x

.

 

 

 

 

 

 

 

475.

lim

tgx sin x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

sin 3 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

476.

lim

sin 5x sin 3x

.

 

 

 

 

 

 

495.

lim

 

sin x 3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

499. lim

 

1 tgx

1 sin x

.

 

 

 

 

x 0

 

x

3

 

 

 

505. lim sin x 1 sin x .

x

503. lim

1

 

 

cos

x

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

1

cos

x

 

 

 

 

x 2

 

x2

507. lim

 

 

 

 

.

 

 

 

 

x

2x 1

3.

Задачи для решения. Демидович 508, 523, 525,

532, 533,535, 544, 545.3, 561(а,б), 563, 571, 579

508. lim 1 x2 ctg2x .

523.

lim

sin x tgx .

x 0

 

x

 

 

 

2

 

ex 2 1

5

 

 

 

1

 

cos

1 x

 

 

525.

lim sin

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

533.

lim

ln x2

x 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ln x10 x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

544.

lim x e x

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 1

 

 

561 (a, б).

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

571. lim 1 x sin x 1 .

x 0

532.

lim

 

sin ln x 1 sin ln x .

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

535.

lim

 

ln 2 e3x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ln 3 e2x

 

 

 

 

 

 

545.3

lim

 

sin 2 2x

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1 ln cos 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

3

562.

lim

ln 1 2

 

ln 1

 

 

.

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x

579. lim

esin 2x esin x

.

 

 

 

 

 

 

 

thx

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Задачи для решения. Демидович 1325, 1326, 1331, 1332, 1333, 1349, 1354, 1363.3, 1398, 1399, 1402, 1404

Найти пределы:

 

 

 

 

 

1325.

lim

 

 

x ex

1 2 e x 1

.

 

 

 

 

 

x3

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

1331.

lim

 

 

ln sin ax

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0 ln sin bx

 

 

 

 

 

1333.

lim

cos sin x cos x

.

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

1354.

lim

 

 

 

 

.

 

 

e x

 

 

 

x 0 x

 

1

 

1326. lim 1 cos x2 .

x 0 x2 sin x2

ln cosax

1332. lim . x 0 ln cosbx

1349. lim ctgx sin x .

x 0

1

arctgx x2

1363.3. lim . x 0 x

 

 

cos x e

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x sin x x 1 x

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1398.

lim

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

1399.

lim

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1402.

lim

x

 

x

 

 

 

 

e x

 

x

 

1 .

1404.

lim x x

 

ln 1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

5.

Задачи для решения. Демидович

646, 650, 651,652, 653,655

О-символика. Главный член.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

646. Показать, что при х а:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

o o f x o f x

;

 

 

 

 

б)

O o f x o f x ;

 

 

 

 

в)

o O f x o f x ;

 

 

 

 

г) O O f x O f x ;

650. Пусть x 0. Доказать, что:

 

O x3 2 ;

 

 

 

 

 

 

а)

2x x2 O x ;

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xsin

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

O

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

x sin

 

 

 

x

 

 

 

г) ln x o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O 1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д)

 

x

 

 

x x

 

 

~ 8 x ;

е)

arctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

651. Показать, что при х + :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

2

1 O x

3

;

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

1

 

 

 

 

 

а)

2x

 

3x

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

O

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

O x

2

;

 

 

 

 

 

 

arctgx

1

 

 

 

 

 

 

в)

x x

 

sin x

 

 

 

 

 

г)

 

 

 

 

 

O

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

652. Доказать, что при достаточно больших х > 0 имеют место неравенства:

а) x2 10x 100 0,001x3 ;

б) ln1000

x

 

x

; в) x10ex e2x .

653. Найти главный член при х 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) 2x 3x3 x5 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

1 x 1 x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) 1 2x 3 1 3x ;

г)

tgx sin x .

655. Найти главный член при х 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) x3 3x 2 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) 3 1 x ;

в) ln x ;

г) ex e ;

 

 

д) x x 1.

6.

Задачи для решения. Демидович 656, 657,658, *, *, *. 656. Пусть x + . Найти главный член и определить порядок роста величин:

7

а) x2 100x 10000;

б)

 

 

2x5

 

;

 

 

 

x3

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) 3 x2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

;

г) 1 1 x .

657. Пусть x + . Найти главный член и определить порядок малости величин:

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

sin

1

.

а)

 

;

 

 

б)

x 1

 

x ;

в) x 2 2

 

x 1

 

x ;

г)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

658. Найти главный член при х 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

x

 

 

1

 

 

 

 

 

ln x

 

 

 

а)

 

 

 

;

б)

 

 

 

 

;

 

в)

 

 

 

 

;

г)

 

;

 

д)

 

.

 

x2 1

 

1 x

 

3

 

 

sin x

 

1 x 2

 

 

 

1 x3

 

*. Определить главные члены простейшего вида для величин:

а)

ln x2

e x arcsin tg

 

1

 

 

x ;

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

б) e x 1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

cos

 

 

x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

x 1 ln 2 x x 0 ;

 

e

 

 

 

cos

в)

x

 

 

 

 

 

 

x

3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

arctgx3 sin 2x2 1 cos x x2 1 x 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*. На языке « – » для х а

 

и для х записать утвержде-

ния в том, что функция у(х):

 

 

 

 

 

 

 

а) ограничена;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) неограничена;

в) имеет предел;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) бесконечно мала;

д) бесконечно большая;

 

 

 

 

е) отделена от нуля.

*. Записать определение множества:

 

а) ограниченного сверху;

 

 

 

б) ограниченного снизу;

в) ограниченного;

 

 

 

 

 

 

 

с) неограниченного сверху;

d) неограниченного снизу;

 

 

 

е) неограниченного.

*. Записать, что функция f(x) на множестве Х является:

а) ограниченной сверху:

 

 

 

 

б) ограниченной снизу;

в) ограниченной;

 

 

 

 

 

 

с) неограниченной сверху;

d) неограниченной снизу;

 

 

е) неограниченной.

8

*** Дополнение.

Формулы, связанные с замечательными пределами

(здесь везде x 0)

І. Замечательные пределы:

lim

sin x

1;

 

lim

tgx

1 ;

lim

arcsin x

1;

lim 1 x

1

 

e ;

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

ln 1 x

1;

 

lim

a x 1

ln a ;

lim

e x 1

 

1;

lim

1 x 1

 

.

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

II. Замечательные эквивалентности:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x ~ x ;

tgx ~ x ;

arcsin x ~ x ;

 

1 x 1 x

~ e ;

 

ln 1 x ~ x ;

 

a x 1 ~ x ln a ;

 

 

ex 1 ~ x ;

1 x ~ 1 x .

 

ІІІ. Замечательные равенства:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x x o x ;

 

 

tgx x o x ;

 

 

arcsin x x o x ;

 

1 x

1

e o 1 ;

 

ln 1 x x o x ;

ex 1 x o x ;

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

a x 1 x ln a o x ;

1 x 1 x o x .

 

 

 

IV. Пять замечательных разложений функций в ряд Маклорена.

 

 

 

e x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

x3

 

 

xn

 

 

 

 

 

 

 

xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

...

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

 

 

 

 

3!

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

n 0 n!

 

 

 

 

 

 

 

sin x x

x

3

 

 

x

5

 

 

x

7

 

 

... 1 n

x

2n 1

...

 

1 n

 

 

x

2n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

1 !

 

2n 1 !

 

3!

 

 

5!

 

 

 

 

 

7!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

cos x 1

x

2

 

 

 

x

4

 

 

x

6

 

... 1 n

x

2n

...

 

 

1 n

 

 

x

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n !

 

 

 

2!

 

 

 

 

 

4!

 

 

 

 

6!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n !

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

x

3

 

 

 

 

x

4

 

 

 

 

 

 

 

 

x

n

 

 

 

 

 

 

 

x

n

ln 1 x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

... 1 n 1

 

 

... 1 n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n 1

 

 

 

 

n

 

1 x 1 x 1 x 2

1 2 x3 ..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ... n 1

 

x

n

...

 

 

1 ... n 1

x

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ

1.

Задачи для решения. Демидович 687, 689, 690, 692,702, 723, 762, 1*, 2*, 3*, 4*, 846, 850, 854, 871, 895,5*, 6* ,7* ,8* ,9*, 10*.

687. Определить характер точек разрыва функции y

x

 

.

1 x 2

Определить точки этих точек:

 

y

 

 

x2 1

689.

 

 

 

 

.

x3 3x 2

 

 

 

 

 

 

 

692.

y

 

 

1 cos x

.

 

 

 

 

 

4 x2

разрыва функций и исследовать характер

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

690.

y

x

.

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

x

702.

у = х – [x].

723. y lim cos 2n x .

n

762. Показать, что уравнение ctgx = kx k R и x (0, ) имеет единственный непрерывный корень х = х(k).

Определить точки разрыва функций и исследовать характер этих точек:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1*.

y

1 x

.

2*.

y

 

x

. 3*. y

 

2

. 4*. y sgn x2 2x .

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2x

 

 

x2 1

 

 

 

 

 

cos x

 

 

 

 

 

Найти производные следующих функций:

 

846.

y

1

x x2

.

850.

y

x2 1 x 3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x x2

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y tg

x

ctg

x

.

 

854.

y x

1 x2 .

871.

 

 

 

 

 

y ln x

 

 

 

 

.

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

895.

 

x2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5*. y x x x .

7*. y ex x2 2x 2 .

9*. y sin sin sin x .

12*. y x2 x 1 x2 x 1 .

10

6*. y e x2 .

8*. y e x eex .

 

10*. y ln ln ln x .

11*. y sin x cosx .

13*. y sin cos 2 tg3 x .

 

2.

Задачи для решения. Демидович 979, 984,985,

986,999, 1004,1036, 1040, 1041, 1044, 1048, 1054.

979. Найти у и построить графики у(х) и у(х), если:

1 x

x 1

 

x 1 x 2 .

y 1 x 2

x 2

x 2

 

 

984. Производная от логарифма данной функции y = f(x) называ-

ется логарифмической производной этой функции:

 

y

 

d

ln

 

f x

 

 

f x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

y

dx

 

 

 

 

 

f x

 

 

 

 

Найти логарифмическую производную, если:

а)

y x

1 x

 

 

;

 

 

 

б)

y

x 2

 

 

3

1 x

 

 

 

1 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

y x a1

1

2

x an

n

;

г)

 

 

 

 

 

 

 

x a2

 

y x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x

 

 

;

 

 

 

3 x 2

 

 

n .

1 x 2

 

 

 

 

 

Найти у х если:

 

 

x

 

 

 

 

 

y arctg

.

985.

а)

y

2 x 2 x

;

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

x

986.

а)

y f x 2 ;

б)

y f sin2 x f cos 2 x ;

 

в)

y f e x e f x ;

г) y f f f x .

999. Исследовать на дифференцируемость:

 

а) y = (x – 1)(х – 2)2(х – 3)3 ;

б) y = cosx ;

 

в) y = 2 х2 sin2x;

 

г) y = arcsin(cosx).

11

 

 

 

 

 

 

1004. Для f(x) определить левую f (x) и правую

f +(x) произ-

 

 

x

 

 

 

водную, если

 

 

 

x 0

.

 

 

e1 x

 

f x 1

 

 

 

 

0

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

1036. Определить область существования обратных функций

х = х(у) и найти

х у

если:

в) y = x + ex;

 

а) y = x + lnx;

 

б) y = shx;

г) y = thx.

Найти формулу для вычисления х' уy .

Найти у х, если:

1040.

x sin 2

 

t

.

 

1041. x a cos t, y b sint .

 

 

 

 

 

y cos 2

t

 

 

 

1044.

x a t sin t

.

1048. х2 + 2ху у2 = 2х.

 

cos t

 

y a 1

 

 

1054. Найти у х, если:

а) = а (спираль Архимеда); б) = а(1 + cos) (кардиоида); в) = аеm (логарифмич. спираль); , – полярные координаты.

3.

Задачи для решения. Демидович 1087, 1088, 1090, 1092, 1093,1094, 1096, *, 1100, 1102, 1103, 1105.

Найти dy, если:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1087.

y

ln

 

.

1088.

y ln

x

x 2 a2

.

 

 

 

 

 

 

 

2a

x a

 

 

 

 

 

 

1090. Найти:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

а) d(xe );

 

 

 

б) d(sinx хcosx);

в)

d

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

г) d

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д)

d

a

 

x

 

;

е)

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x

2

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

Найти dy, если :

1092. y

u

.

 

1093.

 

 

 

v 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d tgx

1096. Найти: г)

 

 

;

d ctgx

*. Найти:

а)

 

d

x 3

 

dx 3

 

 

 

 

 

 

 

y

 

1

 

.

1094.

y arctg

u

.

 

 

 

 

 

 

 

u 2 v2

 

 

 

 

v

д)

 

d arcsinx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d arccos x

 

 

 

2x 6 x 9 ;

 

 

б) x ln x x ex .

Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно вычислить:

 

 

 

 

б) sin29.

 

 

1100. а) 0,98 ;

 

 

 

1102. arctg1,05.

1103 lg11.

 

 

1105. Доказать приближенную формулу:

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

n an x a

(а > 0),

 

 

 

 

 

 

 

nan 1

 

 

 

 

 

 

 

где х << a и с ее помощью вычислить:

а) 39 ; б) 480 ; в) 7100 ; г) 10 1000 .

4.

Задачи для решения. Демидович 1125,1128, 1132,1133, 1141,1142, 1144, 1156, 1158,1159, 1161,1165, 1166, 1169, 1173, 1189, 1207, *.

Найти y

:

1125.

y = f(x2);

1128. y = f(lnx).

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти d2y:

 

1132.

 

y

ln x

.

1133.

y = xx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

Найти y ,

y

, y :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x2

x3

 

 

 

x f t

 

 

 

 

x a t sin t

.

1144.

 

.

x a cos t

;

1142.

 

 

 

 

f t

1141.

y a 1 cost

 

 

 

y tf t

 

y a sin t

 

Найти производные указанного порядка:

 

 

 

1056. у = x(2x – 1)2(х + 3)3;

у(6),

у(7) – ?

 

 

 

 

13

 

y

 

 

 

(10)

 

 

 

 

 

x2

 

(8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1158.

x;

у

– ? 1159. y

 

 

;

y

 

– ?

1 x

1161.

y x2e2x ;

y(20) – ?

1165.

y x2 sin 2x ; y(50) – ?

1166.

y

 

cos3x

 

;

у – ?

1169.

y = excosx; yIV – ?

 

 

 

 

 

 

 

3 1 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1173. Найти d10y,

если y = xcos2x.

 

 

 

 

 

(n)

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

x

Найти y

:

 

 

1189.

y

 

.

1207.

y = e sinx.

 

 

x 1 x

*. Найти d2f,

если

f = f(1 + x2), где x = sint.

 

ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ИСЧИСЛЕНИЯ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи для решения. 1*, 2*, 3*,4*, 5*,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6*, 7*, 8*, 9*, 10*, 11*, 12*, 13.

Следующие функции разложить в ряд Тейлора

в окрестности точки х = х0:

 

 

 

 

 

 

 

 

1*. у = х2 + 3х – 3, х0 = 0;

 

 

2*. у = х2 + 3х – 3, х0 = 1;

3*. y e x2 x , x0 0 (до х5);

 

 

4*. y

 

, х0 = 1, (до (х – 1)3);

 

 

x

Следующие функции разложить в ряд Тейлора до указанных степеней:

5*.

y ln 1 sin x , х0 = 0, (до х5).

6*.

 

x

до х4;

 

 

 

 

 

 

ex 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7*. tgx до х5;

 

 

8*. sin(sinx) до х3;

 

9*. lncosx до х6;

 

 

10*. xx – 1 до (х – 1)3;

 

 

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11*.

 

1 x2 x до

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12*. Найти погрешность формулы: e x

1 x

x2

 

x3

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2!

3!

 

14

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

а) для

x

0,

 

 

;

б) для

x

0,

 

.

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

4

 

13*. Вычислить с указанной точностью:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) e до 10–5;

б) e до 10–8;

в) 4 e до 10–5;

 

 

 

 

 

 

 

г) 4 e до 10–8;

д) cos1 до 10–5.

 

 

 

2.

Задачи для решения. Демидович 1288, 1289, 1394, 1395, 1397, 1414, 1414, 1419, 1429, 1431, 1432, 1437,1438.

1288. Доказать теорему: Если

1)функции (x) и (x) nкратно дифференцируемы;

2)(k)(x0) = (k)(x0), k = 0, 1, 2, … n –1;

3)(n)(x) > (n)(x), x > x0,

то имеет место неравенство: (x) > (x), x > x0. 1289. Доказать неравенства:

 

x3

 

tgx x

x3

 

x

 

в) x

 

sin x x (x > 0);

г)

 

0

.

 

 

 

6

 

 

 

3

 

 

2

1394. Оценить погрешность формул:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

0,1 ;

 

г)

 

1

x

 

x2

(х[0, 1]).

в)

tgx x

 

x

1 x

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

8

 

1395.

Для каких х справедлива, с точностью до 0,0001, прибли-

женная формула: cos x 1

x2

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1397. Вычислить: в) cos9

( = 10–5);

 

г)

 

 

 

 

 

 

( = 10–5).

 

 

 

5

 

1410.

При каком

подборе

коэффициентов

 

a

 

и

b величина

x – (a + bcosx)sinx будет бесконечно малой 5

го

порядка относи-

 

 

тельно х.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исследовать на экстремум:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1414. у = 2 + х х2.

 

 

 

1419. у = (х + 1)10ех.

1429.

у = х3 – 6х2 + 9х – 4;

 

1431. у = х(х – 1)2(х – 2)3.

 

y x

1

 

 

у = хех.

1438. y

 

 

 

1432.

;

1437.

 

x ln x .

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

3.

Задачи для решения. Демидович 1445, 1446, 1447, 1452, 1453, 1454, 1462, 1473, 1476, 1477, 1479.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на множестве:

1445. у = 2х, х[–1, 5];

1446.

f(x) = x2 – 4x + 6, x[–3, 10];

1447. у = х2 – 3х + 2 , х [–10, 10].

 

 

 

 

 

1452.

Найти sup и inf функции y

1 x2

, x 0, .

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x4

 

 

 

1453. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

 

 

f x e x2 cos x 2 , x R.

 

 

 

1454.

Найти верхнюю и нижнюю грань функции f

1

на

3 2

 

 

 

 

 

 

 

интервале х +. Построить графики функций

 

 

 

M x sup

f ;

m x inf

f .

 

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1462. Определить число вещественных корней уравнения: х3 2 +9х – 10 = 0 и отделить эти корни.

Построить графики следующих функций:

 

 

2

 

y

 

x

 

 

1473. у = (х + 1)(х –2) .

1476.

 

 

 

;

 

1 x 1 x 2

 

y

x 4

 

y

 

x2 x 1

 

 

1477.

 

.

1479.

 

 

 

;

 

1 x 3

 

x 1 2

 

 

4.

Задачи для решения. Демидович 1491,1497, 1498, 1507, 1509.1, 1531, 1534, 1536, 1541, 1547.

Построить графики следующих функций:

1491. y

 

x

 

.

1497. y = sinx + cos2x.

 

 

 

 

 

 

3 x 2 1

 

1498. у = (7 + 2cosx)sinx.

1509. 1. у = е–2хsin2x.

 

 

 

 

t 2

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1534.

 

1

t

;

 

 

 

 

1

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

2

 

 

1

 

 

1541. x3 + y3 – 3axy = 0.

 

y 1 x 2 e x2 .

16

1507.

 

 

1531.

x

t 1 2

;

y

t 1 2

.

 

 

 

4

 

 

4

 

1536. x = acos2t;

y = acos3t, (a > 0).

1547. = аsin3 , (а > 0).

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1.

Задачи для решения. Волковысский 1*, 1, 2*, 2, 3*, 3, 7, 8, 4*.

1*. Выполнить действия над комплексными числами в алгебраической форме: z1 = 2 + 3i; z2 = 2 – 3i; z3 = –2 + 6i. Найти:

z1 + z2; z1 z2; 3z1 – 2z3;

z1 z3;

 

z1 z2;

 

z1

 

;

 

z1

; z 2

;

z3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

z3

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Выполнить действия:

3)

 

;

4)

1 i

 

3 .

 

 

1 3i

 

 

 

2*. Представить в тригонометрической форме следующие ком-

плексные числа:1 + i; 2 – 2i; –1 – i; 1 3 i ; 3 i ; i; 3i; 5; 8 ; 3 –

4i; 3 + 4i.

2. Найти модули и аргументы чисел: 5) 2 + 5i; 6) – 2 + 5i.

3*. Используя тригонометрическую форму выполнить действия над комплексными числами: z1 = 1 + i, z2 1 3 i .

Найти

z1 z2;

z1

;

z2

 

;

z 40

;

z 66 .

 

 

 

 

 

z2

 

z1

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Решить уравнение:

z* = zn – 1

 

(n 2,

n N).

 

17

7. Исходя из геометрических рассмотрений, доказать неравенства:

 

 

 

z1

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

z1

 

 

 

z2

 

 

1)

z1 z2

 

 

 

;

2)

z1 z2

 

 

 

 

.

Доказать эти же неравенства алгебраическим путем. Выяснить, когда имеет место знак равенства.

8. Исходя из геометрических рассмотрений, доказать:

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

2) z – 1

z – 1 + z arg z.

1)

 

 

 

 

 

1

 

arg z

;

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4*. Найти геометрические места точек удовлетворяющих следующим соотношениям:

1) Re(z + 2) > 1;

2) Re(z + 2) 1;

 

 

 

 

 

3)

Im(z – 2 + i) > 1;

4) z 3;

5) 2 z – 2 + i < 4;

 

 

 

 

6)

0 < argz /4;

7) 0 < arg(z i) /4;

 

 

 

 

 

8) Rez + Imz = 1;

 

 

 

 

 

9) Re{z(1 + i)} = 2;

10)

 

0 < arg{z(1 – i)} /4;

11) Re

1

= 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12) z – 3 =

 

z

– 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи для решения. Волковысский 26,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28, 30, 32,

34, 35, 5*, 6*, 7*, 59, 60, 61.

Найти геометрические места точек:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26. z z1 = z z2 .

28.

 

0 < Re(iz) < 1.

 

30. z = Rez + 1.

32. Im

z z1

 

0; Re

 

z z1

 

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z z2

 

 

 

z z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

34. 1). z < arg z, 0 arg z < 2 ; 2) z< argz, 0 < argz <2 .

35. 1) Re

1

c;

 

 

 

2) Im

1

c , (cR).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5*. Найти значения корней и построить их:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) 6 8 ; 5) 8 1 ; 6)

 

 

 

1 i ; 7)

3 4i ;

8) 3 2 2i .

6*. Вычислить значения корней из комплексных чисел:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

3

 

 

 

5

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 i ;

3

 

 

 

i ;

1 ;

 

1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

18

7*. Представить следующие комплексные числа в показательной форме: 1 + i; 1 3 i ; – 2 + 2i; 4i; 5; – 8.

59. Представить числа в показательной форме: 1; i; 1 i.

 

i

 

 

 

60. Найти: e 2 , ek i

(k = 0, 1, 2, …).

 

61. Найти модули и главные значения аргументов чисел:

e2+i;

e2–3i;

e3+4i;

e–3–4i;

aei (a > 0, | | );

ei

(| | );

ei ei (0 < 2 ).

 

 

 

3.

 

 

 

Задачи для решения. Волковысский

 

 

 

8*, 9*, 10*, 62, 64, 68, 71, 74.

8*. Найти геометрическое место точек, удовлетворяющих со-

отношению

 

arg z 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9*. Найти вещественную и мнимую часть чисел:

 

 

 

 

 

 

 

 

e2 3i ;

cos i;

 

 

sin i;

tg i.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 i 1 i

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

i

 

i

 

 

 

 

2

 

10*. Вычислить: 2

2

;

1

; 3

 

;

3 i

 

 

 

 

 

 

;

i ;

 

 

 

 

 

;

2

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

62. Найти суммы: 1) 1 + cosx + cos2x + … + cosnx; 2) sinx + sin2x + … sinnx.

2

2

z = 1;

 

 

64. Доказать, что 1) sin

z + cos

2) sinz = cos

 

z .

 

 

 

 

2

 

68. Найти действительные и мнимые части значений следую-

щих функций:

1) cos(2 + i);

 

 

 

 

2) sin2i;

3) tg(2 – i).

71. Вычислить: Ln4;

 

Ln(–1);

ln(–1);

 

Lni;

 

 

lni;

 

Ln

1 i

;

Ln(2 – 3i);

Ln(–2 + 3i).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

74. Вычислить:

1 2 ;

 

2

2 ;

2i;

 

1i;

ii;

 

 

 

1 i

1 i

 

 

 

 

 

 

 

1+i

 

 

1+i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

(3 – 4i)

;

(– 3 + 4i)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1.

Задачи для решения. Демидович. 1628, 1635, 1636, 1640,1643, 1646,1648, 1649, 1656, 1658, 1659, 1662, 1663, 1665,1677, 1681, 1682, 1685.

Вычислить неопределенные интегралы:

1628.

3 x2 3dx .

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1636.

1

 

x x dx .

 

 

 

 

x2

1643. x2 1 x2 1dx .

x4 1

1648. 1 sin 2x dx 0 x .

1656. 2x 3 10dx .

1659.

 

 

 

 

dx

 

.

 

 

 

 

 

 

 

5x

2 5 2

 

 

 

 

 

1663.

 

 

 

dx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x2

 

 

2

 

 

1635. 1 x 3 dx . x3 x

1640. x2 dx .

1 x2

1646.

 

 

e3x

1

dx .

 

 

e x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1649.

ctg2 xdx.

1658.

 

 

 

dx

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

5x

1662.

 

 

 

 

 

dx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3x2

 

 

 

 

 

 

1665.

e x e 2x dx . .

1677.

 

 

xdx

.

 

 

 

 

 

1

x2 2

 

 

 

 

1682.

 

 

 

 

dx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x2 1

 

 

 

 

 

1681. sin 1 dx . x x2

1685.

 

x2 dx

.

8x3

27 2 3

 

 

 

2.

Задачи для решения. Демидович. 1709, 1715*, 1723, 1727, 1729, 1733, 1737, 1747, 1749, 1768, 1774, 1777, 1792, 1799, 1808, 1811, 1819.

1709.

arctgx

dx .

1715*.

x

17 2dx

 

.

1723.

 

 

x2

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

1 x19

 

1

x

 

1727.

 

 

 

x2dx

.

 

 

1729.

 

 

 

dx

 

 

.

1

x 100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

x 1

1737.

 

 

 

 

xdx

 

 

.

1747. sin 3 x dx .

 

 

 

 

 

 

 

x

2 x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

dx

1733. x 1 x 3 .

1749. sin 4 x dx .

1768.

 

x2dx

 

.

 

1774.

ln xdx

 

.

1777.

arct

g

 

x

 

 

dx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x

 

 

x 1 ln x

 

 

x

 

 

 

 

1 x

1792.

xn ln xdx

n 1 .

1799. x2 sin 2x dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x

 

1811. x5e x2 dx .

 

 

 

1808.

x ln

dx .

1819.

x2 a dx .

 

x

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Задачи для решения. Демидович. 1837, 1843, 1851, 1853, 1857, 1859, 1864, 1866, 1867, 1869, *, 1872, 1878, 1882, 1892, 1893.

1837.

 

 

 

 

dx

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1851.

 

 

 

 

 

 

 

xdx

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 x x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1857.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

x2 x 1

 

 

1864.

 

 

 

1 x x2

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

1 x x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1867.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1 x 2 x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xdx

 

 

*.

x 1 x 2 2

x2 x 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

1878.

 

x2 4x 4 x2 4x 5 .

1892.

 

 

 

 

 

dx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1843.

 

 

 

 

 

x5dx

 

.

 

 

 

 

 

 

 

x6 x3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1853.

 

 

 

 

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 3x2

2x4

1859.

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1866.

 

 

 

 

 

 

2x 3

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2 x 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1869.

 

 

 

 

 

 

 

x3 1

 

 

 

 

dx .

 

x3

5x2

6x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1872.

 

 

 

 

 

 

x2 1

 

 

 

 

dx .

x 1 2 x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1882.

 

 

 

xdx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1893.

 

 

 

 

 

dx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2 1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]