matan_metod_1
.1.pdfОРИЕНТИРОВОЧНЫЙ ПЛАН ЗАНЯТИЙ
|
Тема |
Занятия |
1. |
Элементы элементарной математики |
2 |
2. |
Элементы мат. логики и теория множеств |
1 |
3. |
Теория пределов |
6 |
4. |
Непрерывность и дифференцируемость |
4 |
5. |
Применение дифференциального исчисления |
5 |
6.Комплексные числа |
3 |
|
7. |
Неопределенные интегралы |
6 |
Методические материалы содержат задачи для решения на практических занятиях и для домашних заданий.
Литература.
1.Д. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.
2.Волковысский, Лунц, Араманович. Сборник задач по теории функций комплексного переменного.
3.К. Кудрявцев. Задачи по математическому анализу. Ч.1
4.*. Задачи без определенного адреса.
Баллы для зачета набираются следующим образом:
1. |
Посещение лекций |
10 баллов |
(н |
–2 балла). |
||
2. |
Посещение практических занятий |
5 |
баллов (н –1 балл). |
|||
3. |
Участие в практических занятиях |
15 баллов. |
||||
4. |
Контрольные работы |
15 баллов. |
|
|
||
5. |
Домашние задания |
15 баллов. |
|
|
||
6. Коллоквиум 15 баллов |
(н |
–10 ). |
|
|||
7. |
Зачет 25 баллов. |
|
|
|
|
|
|
|
Всего 100 баллов. |
|
|||
Оценки по зачету: |
0–49 FX (не зачет), |
|||||
|
50–59 E, 60–69 D, |
70–79 C, |
80–89 B, 90–100 A |
После зачета количество набранных баллов умножается на 0,6 и получившееся количество баллов есть стартовым для сдачи экзамена. На экзамен выносится 40 баллов:
2
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
1.
План занятий А. Множества. Отношение включения и равенства. Операции над
множествами ( CA, A, A B, A B, A \ B, A B симм. разн.). Б. Некоторые свойства операций над множествами:
1) A B B A ; 2) A B C A B C ;
3)A B C A B A C ;
4)A B C B A A C ;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5) A B |
A |
B ; |
6) A B |
A |
|
B |
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для решения 1*, 2*, 3*, 4* |
|||||||
1*. Доказать тождества: |
|
|
|
|
|
2) A \ A \ B A B ; |
||||||||||||
1) A \ B C A \ B A \ C ; |
|
|
||||||||||||||||
3) A \ B \ C A \ B A C ; |
|
|
4) A \ B \ C A \ B C ; |
|||||||||||||||
5) A B C A B A C ; |
|
|
6) A B A B A B . |
|||||||||||||||
2*. Доказать, что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
1) A B C A |
B |
C ; |
2) A B C A |
B |
C ; |
|||||||||||||
3) A \ B B A B A ; |
4) A B C A B C C A ; |
|||||||||||||||||
5) A B A C B C ; |
6) A B A B A B . |
|||||||||||||||||
3*. Для множеств X и Y определить тип включения |
||||||||||||||||||
X Y, Y X , X Y : |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
а) X A B \ C , |
Y A B \ A C ; |
||||||||||||||
|
|
|
б) X A B \ C, |
Y A \ C B \ C ; |
||||||||||||||
|
|
|
в) X A \ B C , |
Y A \ B A \ C . |
||||||||||||||
4*. Доказать, что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1) A B B A B ; |
|
|
|
|
|
|
|
2) A B A A B ; |
||||||||||
3) A \ B \ C A \ B C C A ; |
|
|
4) A \ A \ B A B ; |
|||||||||||||||
5) A \ B B \ A A B \ A B ; |
|
|
6) A \ B \ C A \ B C ; |
|||||||||||||||
7) A \ B C A C \ B C ; |
|
|
8) A \ B C A B C ; |
|||||||||||||||
9) A B \ C A B \ C ; |
|
|
|
|
10) A C \ B A \ B C . |
3
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
1.
Задачи для решения. Демидович 389, 390, 391,401*, *, 407,412, 416, 418*, 419
389. Определить точную нижнюю и верхнюю грани функции f(x) = 1/(1 + x2) для х R.
Определить точную верхнюю и нижнюю грани функций:
390. f x |
|
2x |
, x 0, . |
391. f x x |
1 |
, |
x 0, . |
|
x2 |
x |
|||||
1 |
|
|
|
|
401*. На языке « – » доказать, что lim x2 9 . Указать правило |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нахождения по заданному . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
*. Что обозначают следующие записи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 0 |
|
|
0 |
|
|
x a |
|
|
|
|
|
f (x) b |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 0 |
|
|
0 |
|
|
x a |
|
|
|
|
|
f (x) b |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
x a |
|
f (x) b |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 0 |
|
|
0 |
|
x a |
|
|
|
f (x) b |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
x a |
|
f (x) b |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 0 |
|
|
0 |
|
x a |
|
f (x) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
407. Сформулировать с помощью неравенств: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) y b 0, |
x a ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) y b 0, |
|
x ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
в) y b 0, |
x a 0 ; |
|
|
|
|
|
|
з) y b 0, |
|
x ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
д) y b 0, |
x a 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
и) y b 0, |
|
|
x ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
*) y , |
x a 0 ; |
|
|
|
|
|
|
*) y , |
|
x . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Найти пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
412. lim |
1 x 1 2x 1 3x 1 |
. |
|
|
|
|
416. lim |
2x 3 20 3x 20 30 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2x 1 50 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x2 5x 6 |
x 1, x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 3x 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
418*. lim |
|
|
|
|
|
x 5, x 3 . |
419. |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||
x |
2 |
8x |
15 |
|
|
|
|
4 |
4x |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 x |
|
|
|
|
4
2.
Задачи для решения. Демидович 420, 424.1, 436,437, 440, 446, 448, 458, 469, 474, 475, 476,495, 499, 503, 505,507
420. |
lim |
x4 3x 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
424.1 lim |
|
x100 |
2x 1 |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x 1 x5 4x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 x50 |
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
436. |
lim |
|
|
|
x 3 x 4 x |
. |
|
|
|
|
|
|
437. lim |
|
|
1 2x 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 3x x2 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
440. |
lim |
|
|
|
x 13 2 x 1 |
. |
|
|
446. |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 2 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 x 1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
448. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
458. |
|
lim |
|
|
|
x |
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
x |
|
2x . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x 0 3 |
1 x 3 1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
469. Найти постоянные а и b из условия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
ax b |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
474. |
lim |
1 cos x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
475. |
lim |
tgx sin x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
sin 3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
476. |
lim |
sin 5x sin 3x |
. |
|
|
|
|
|
|
495. |
lim |
|
sin x 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
499. lim |
|
1 tgx |
1 sin x |
. |
|||
|
|
|
|
||||
x 0 |
|
x |
3 |
|
|
|
505. lim sin x 1 sin x .
x
503. lim |
1 |
|
|
cos |
x |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 0 |
1 |
cos |
x |
|||||||
|
|
|
|
x 2 |
|
x2 |
||||
507. lim |
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|||||||
x |
2x 1 |
3.
Задачи для решения. Демидович 508, 523, 525,
532, 533,535, 544, 545.3, 561(а,б), 563, 571, 579
508. lim 1 x2 ctg2x . |
523. |
lim |
sin x tgx . |
|
x 0 |
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
5
|
|
|
1 |
|
cos |
1 x |
|
|
|||||||||
525. |
lim sin |
|
|
|
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||
533. |
lim |
ln x2 |
x 1 |
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x ln x10 x 1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
544. |
lim x e x |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 1 |
|
|
|||||||
561 (a, б). |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
571. lim 1 x sin x 1 .
x 0
532. |
lim |
|
sin ln x 1 sin ln x . |
||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
535. |
lim |
|
ln 2 e3x |
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x ln 3 e2x |
|
|
|
|
|
|
||||||
545.3 |
lim |
|
sin 2 2x |
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 1 ln cos 2x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
3 |
||
562. |
lim |
ln 1 2 |
|
ln 1 |
|
|
. |
||||||
|
|
||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||
579. lim |
esin 2x esin x |
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
thx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.
Задачи для решения. Демидович 1325, 1326, 1331, 1332, 1333, 1349, 1354, 1363.3, 1398, 1399, 1402, 1404
Найти пределы: |
|
|
|
|
|
||||||||
1325. |
lim |
|
|
x ex |
1 2 e x 1 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
x3 |
|
|||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
1331. |
lim |
|
|
ln sin ax |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x 0 ln sin bx |
|
|
|
|
|
|||||||
1333. |
lim |
cos sin x cos x |
. |
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|||||
1354. |
lim |
|
|
|
|
. |
|
||||||
|
e x |
|
|
||||||||||
|
x 0 x |
|
1 |
|
1326. lim 1 cos x2 .
x 0 x2 sin x2
ln cosax
1332. lim . x 0 ln cosbx
1349. lim ctgx sin x .
x 0
1
arctgx x2
1363.3. lim . x 0 x
|
|
cos x e |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x sin x x 1 x |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1398. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
1399. |
lim |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1402. |
lim |
x |
|
x |
|
|
|
|
e x |
|
x |
|
1 . |
1404. |
lim x x |
|
ln 1 |
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
5.
Задачи для решения. Демидович
646, 650, 651,652, 653,655
О-символика. Главный член. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
646. Показать, что при х а: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
а) |
o o f x o f x |
; |
|
|
|
|
б) |
O o f x o f x ; |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
в) |
o O f x o f x ; |
|
|
|
|
г) O O f x O f x ; |
|||||||||||||||||||||||||
650. Пусть x 0. Доказать, что: |
|
O x3 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
а) |
2x x2 O x ; |
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
xsin |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
O |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 ; |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
в) |
x sin |
|
|
|
x |
|
|
|
г) ln x o |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O 1 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
д) |
|
x |
|
|
x x |
|
|
~ 8 x ; |
е) |
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
651. Показать, что при х + : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
1 O x |
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
а) |
2x |
|
3x |
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
O |
|
|
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
O x |
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
arctgx |
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
в) |
x x |
|
sin x |
|
|
|
|
|
г) |
|
|
|
|
|
O |
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
652. Доказать, что при достаточно больших х > 0 имеют место неравенства:
а) x2 10x 100 0,001x3 ; |
б) ln1000 |
x |
|
x |
; в) x10ex e2x . |
|||||||||||||
653. Найти главный член при х 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) 2x 3x3 x5 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
б) |
1 x 1 x ; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
в) 1 2x 3 1 3x ; |
г) |
tgx sin x . |
||||||||||||||||
655. Найти главный член при х 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) x3 3x 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) 3 1 x ; |
|||||||||
в) ln x ; |
г) ex e ; |
|
|
д) x x 1. |
6.
Задачи для решения. Демидович 656, 657,658, *, *, *. 656. Пусть x + . Найти главный член и определить порядок роста величин:
7
а) x2 100x 10000; |
б) |
|
|
2x5 |
|
; |
|
|
|
||||||
x3 |
3x |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) 3 x2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
; |
г) 1 1 x . |
657. Пусть x + . Найти главный член и определить порядок малости величин:
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
sin |
1 |
. |
||||
а) |
|
; |
|
|
б) |
x 1 |
|
x ; |
в) x 2 2 |
|
x 1 |
|
x ; |
г) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x4 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
||||||
658. Найти главный член при х 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
||||||||||||
а) |
|
|
|
; |
б) |
|
|
|
|
; |
|
в) |
|
|
|
|
; |
г) |
|
; |
|
д) |
|
. |
||||||||||||
|
x2 1 |
|
1 x |
|
3 |
|
|
sin x |
|
1 x 2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 x3 |
|
*. Определить главные члены простейшего вида для величин:
а) |
ln x2 |
e x arcsin tg |
|
1 |
|
|
x ; |
|
|||||||||||||||
x2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) e x 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
cos |
|
|
x ; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
x 1 ln 2 x x 0 ; |
||||||||||||||||
|
e |
|
|
|
cos |
||||||||||||||||||
в) |
x |
||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
г) |
arctgx3 sin 2x2 1 cos x x2 1 x 0 . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
*. На языке « – » для х а |
|
и для х записать утвержде- |
|||||||||||||||||||||
ния в том, что функция у(х): |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
а) ограничена; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) неограничена; |
|||||||||||
в) имеет предел; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) бесконечно мала; |
|||||||||||||
д) бесконечно большая; |
|
|
|
|
е) отделена от нуля. |
||||||||||||||||||
*. Записать определение множества: |
|
||||||||||||||||||||||
а) ограниченного сверху; |
|
|
|
б) ограниченного снизу; |
|||||||||||||||||||
в) ограниченного; |
|
|
|
|
|
|
|
с) неограниченного сверху; |
|||||||||||||||
d) неограниченного снизу; |
|
|
|
е) неограниченного. |
|||||||||||||||||||
*. Записать, что функция f(x) на множестве Х является: |
|||||||||||||||||||||||
а) ограниченной сверху: |
|
|
|
|
б) ограниченной снизу; |
||||||||||||||||||
в) ограниченной; |
|
|
|
|
|
|
с) неограниченной сверху; |
||||||||||||||||
d) неограниченной снизу; |
|
|
е) неограниченной. |
8
*** Дополнение.
Формулы, связанные с замечательными пределами
(здесь везде x 0)
І. Замечательные пределы:
lim |
sin x |
1; |
|
lim |
tgx |
1 ; |
lim |
arcsin x |
1; |
lim 1 x |
1 |
|
e ; |
|
||||||||||||
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
ln 1 x |
1; |
|
lim |
a x 1 |
ln a ; |
lim |
e x 1 |
|
1; |
lim |
1 x 1 |
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|||||
II. Замечательные эквивалентности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
sin x ~ x ; |
tgx ~ x ; |
arcsin x ~ x ; |
|
1 x 1 x |
~ e ; |
|
||||||||||||||||||||
ln 1 x ~ x ; |
|
a x 1 ~ x ln a ; |
|
|
ex 1 ~ x ; |
1 x ~ 1 x . |
|
|||||||||||||||||||
ІІІ. Замечательные равенства: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
sin x x o x ; |
|
|
tgx x o x ; |
|
|
arcsin x x o x ; |
|
|||||||||||||||||||
1 x |
1 |
e o 1 ; |
|
ln 1 x x o x ; |
ex 1 x o x ; |
|
|
|
||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a x 1 x ln a o x ; |
1 x 1 x o x . |
|
|
|
IV. Пять замечательных разложений функций в ряд Маклорена.
|
|
|
e x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
... |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
n 0 n! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
sin x x |
x |
3 |
|
|
x |
5 |
|
|
x |
7 |
|
|
... 1 n |
x |
2n 1 |
... |
|
1 n |
|
|
x |
2n 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
1 ! |
|
2n 1 ! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3! |
|
|
5! |
|
|
|
|
|
7! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
cos x 1 |
x |
2 |
|
|
|
x |
4 |
|
|
x |
6 |
|
... 1 n |
x |
2n |
... |
|
|
1 n |
|
|
x |
2n |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n ! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
6! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n ! |
|
|
n 0 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
x |
n |
|||||||||||
ln 1 x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... 1 n 1 |
|
|
... 1 n 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
n |
|||||||||||||||
|
1 x 1 x 1 x 2 |
1 2 x3 .. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 ... n 1 |
|
x |
n |
... |
|
|
1 ... n 1 |
x |
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
1.
Задачи для решения. Демидович 687, 689, 690, 692,702, 723, 762, 1*, 2*, 3*, 4*, 846, 850, 854, 871, 895,5*, 6* ,7* ,8* ,9*, 10*.
687. Определить характер точек разрыва функции y |
x |
|
|
. |
|
1 x 2 |
Определить точки этих точек:
|
y |
|
|
x2 1 |
|||
689. |
|
|
|
|
. |
||
x3 3x 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
692. |
y |
|
|
1 cos x |
. |
||
|
|||||||
|
|
|
|
4 x2 |
разрыва функций и исследовать характер
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
||||
690. |
y |
x |
. |
||||||
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
x |
|||||
702. |
у = х – [x]. |
723. y lim cos 2n x .
n
762. Показать, что уравнение ctgx = kx k R и x (0, ) имеет единственный непрерывный корень х = х(k).
Определить точки разрыва функций и исследовать характер этих точек:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1*. |
y |
1 x |
. |
2*. |
y |
|
x |
. 3*. y |
|
2 |
. 4*. y sgn x2 2x . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2x |
||||||||||||||||
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Найти производные следующих функций: |
|
|||||||||||||||||||||||
846. |
y |
1 |
x x2 |
. |
850. |
y |
x2 1 x 3 |
. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
x x2 |
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y tg |
x |
ctg |
x |
. |
|
||||||||||||
854. |
y x |
1 x2 . |
871. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
y ln x |
|
|
|
|
. |
|
2 |
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
895. |
|
x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5*. y x x x .
7*. y ex x2 2x 2 .
9*. y sin sin sin x .
12*. y x2 x 1 x2 x 1 .
10
6*. y e x2 .
8*. y e x eex . |
|
10*. y ln ln ln x . |
11*. y sin x cosx . |
13*. y sin cos 2 tg3 x .
|
2. |
Задачи для решения. Демидович 979, 984,985, |
|
986,999, 1004,1036, 1040, 1041, 1044, 1048, 1054. |
|
979. Найти у и построить графики у(х) и у(х), если: |
|
1 x |
x 1 |
|
x 1 x 2 . |
y 1 x 2 |
|
x 2 |
x 2 |
|
|
984. Производная от логарифма данной функции y = f(x) называ- |
||||||||||
ется логарифмической производной этой функции: |
||||||||||
|
y |
|
d |
ln |
|
f x |
|
|
f x |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||
|
y |
dx |
|
|
|
|
|
f x |
||
|
|
|
|
Найти логарифмическую производную, если:
а) |
y x |
1 x |
|
|
; |
|
|
|
б) |
y |
x 2 |
|
|
3 |
|
1 x |
|
|
|
1 x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
в) |
y x a1 |
1 |
2 |
x an |
n |
; |
г) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
x a2 |
|
y x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
|
|
; |
|
|
|||
|
3 x 2 |
|||
|
|
n . |
||
1 x 2 |
||||
|
|
|
|
|
Найти у х если: |
|
|
x |
|
|||||
|
|
|
|
y arctg |
. |
||||
985. |
а) |
y |
2 x 2 x |
; |
б) |
||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
986. |
а) |
y f x 2 ; |
б) |
y f sin2 x f cos 2 x ; |
|||||
|
в) |
y f e x e f x ; |
г) y f f f x . |
||||||
999. Исследовать на дифференцируемость: |
|||||||||
|
а) y = (x – 1)(х – 2)2(х – 3)3 ; |
б) y = cosx ; |
|||||||
|
в) y = 2 – х2 sin2x; |
|
г) y = arcsin(cosx). |
11 |
|
|
|
|
|
|
1004. Для f(x) определить левую f –(x) и правую |
f +(x) произ- |
|||||
|
|
x |
|
|
|
|
водную, если |
|
|
|
x 0 |
. |
|
|
e1 x |
|
||||
f x 1 |
|
|
||||
|
|
0 |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1036. Определить область существования обратных функций
х = х(у) и найти |
х у |
если: |
в) y = x + ex; |
|
а) y = x + lnx; |
|
б) y = shx; |
г) y = thx. |
Найти формулу для вычисления х' уy .
Найти у х, если:
1040. |
x sin 2 |
|
t |
. |
|
1041. x a cos t, y b sint . |
|
|
|
|
|||
|
y cos 2 |
t |
|
|
|
|
1044. |
x a t sin t |
. |
1048. х2 + 2ху – у2 = 2х. |
|||
|
cos t |
|||||
|
y a 1 |
|
|
1054. Найти у х, если:
а) = а (спираль Архимеда); б) = а(1 + cos) (кардиоида); в) = аеm (логарифмич. спираль); , – полярные координаты.
3.
Задачи для решения. Демидович 1087, 1088, 1090, 1092, 1093,1094, 1096, *, 1100, 1102, 1103, 1105.
Найти dy, если: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1087. |
y |
ln |
|
. |
1088. |
y ln |
x |
x 2 a2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2a |
x a |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1090. Найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) d(xe ); |
|
|
|
б) d(sinx – хcosx); |
в) |
d |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
г) d |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
д) |
d |
a |
|
x |
|
; |
е) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
Найти dy, если :
1092. y |
u |
. |
|
1093. |
|||
|
|
||||||
|
v 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d tgx |
|||
1096. Найти: г) |
|
|
; |
||||
d ctgx |
|||||||
*. Найти: |
а) |
|
d |
x 3 |
|||
|
dx 3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
1 |
|
. |
1094. |
y arctg |
u |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
u 2 v2 |
|
|
|
|
v |
||
д) |
|
d arcsinx |
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
d arccos x |
|
|
|
|||||
2x 6 x 9 ; |
|
|
б) x ln x x ex . |
Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно вычислить:
|
|
|
|
б) sin29. |
|
|
|
1100. а) 0,98 ; |
|
|
|
||||
1102. arctg1,05. |
1103 lg11. |
|
|
||||
1105. Доказать приближенную формулу: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
n an x a |
(а > 0), |
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
nan 1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
где х << a и с ее помощью вычислить:
а) 39 ; б) 480 ; в) 7100 ; г) 10 1000 .
4.
Задачи для решения. Демидович 1125,1128, 1132,1133, 1141,1142, 1144, 1156, 1158,1159, 1161,1165, 1166, 1169, 1173, 1189, 1207, *.
Найти y |
: |
1125. |
y = f(x2); |
1128. y = f(lnx). |
|
|||||||
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти d2y: |
|
1132. |
|
y |
ln x |
. |
1133. |
y = xx. |
|
|||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
Найти y , |
y |
, y : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x2 |
x3 |
|
|
|
x f t |
|
|
|
|
||
x a t sin t |
. |
1144. |
|
. |
x a cos t |
; |
||||||
1142. |
|
|
|
|
f t |
1141. |
||||||
y a 1 cost |
|
|
|
y tf t |
|
y a sin t |
|
|||||
Найти производные указанного порядка: |
|
|
|
|||||||||
1056. у = x(2x – 1)2(х + 3)3; |
у(6), |
у(7) – ? |
|
|
|
|
13
|
y |
|
|
|
(10) |
|
|
|
|
|
x2 |
|
(8) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1158. |
x; |
у |
– ? 1159. y |
|
|
; |
y |
|
– ? |
|||||||||
1 x |
||||||||||||||||||
1161. |
y x2e2x ; |
y(20) – ? |
1165. |
y x2 sin 2x ; y(50) – ? |
||||||||||||||
1166. |
y |
|
cos3x |
|
; |
у – ? |
1169. |
y = excosx; yIV – ? |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3 1 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1173. Найти d10y, |
если y = xcos2x. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
(n) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
Найти y |
: |
|
|
1189. |
y |
|
. |
1207. |
y = e sinx. |
|||||||||
|
|
x 1 x |
||||||||||||||||
*. Найти d2f, |
если |
f = f(1 + x2), где x = sint. |
||||||||||||||||
|
ПРИМЕНЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИСЧИСЛЕНИЯ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для решения. 1*, 2*, 3*,4*, 5*, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6*, 7*, 8*, 9*, 10*, 11*, 12*, 13. |
||||||
Следующие функции разложить в ряд Тейлора |
||||||||||||||||||
в окрестности точки х = х0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1*. у = х2 + 3х – 3, х0 = 0; |
|
|
2*. у = х2 + 3х – 3, х0 = 1; |
|||||||||||||||
3*. y e x2 x , x0 0 (до х5); |
|
|
4*. y |
|
, х0 = 1, (до (х – 1)3); |
|||||||||||||
|
|
x |
Следующие функции разложить в ряд Тейлора до указанных степеней:
5*. |
y ln 1 sin x , х0 = 0, (до х5). |
6*. |
|
x |
до х4; |
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
ex 1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7*. tgx до х5; |
|
|
8*. sin(sinx) до х3; |
|
||||||||||
9*. lncosx до х6; |
|
|
10*. xx – 1 до (х – 1)3; |
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11*. |
|
1 x2 x до |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12*. Найти погрешность формулы: e x |
1 x |
x2 |
|
x3 |
: |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
3! |
|
14
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
а) для |
x |
0, |
|
|
; |
б) для |
x |
0, |
|
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
13*. Вычислить с указанной точностью:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) e до 10–5; |
б) e до 10–8; |
в) 4 e до 10–5; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
г) 4 e до 10–8; |
д) cos1 до 10–5. |
|
|
|
2.
Задачи для решения. Демидович 1288, 1289, 1394, 1395, 1397, 1414, 1414, 1419, 1429, 1431, 1432, 1437,1438.
1288. Доказать теорему: Если
1)функции (x) и (x) n–кратно дифференцируемы;
2)(k)(x0) = (k)(x0), k = 0, 1, 2, … n –1;
3)(n)(x) > (n)(x), x > x0,
то имеет место неравенство: (x) > (x), x > x0. 1289. Доказать неравенства:
|
x3 |
|
tgx x |
x3 |
|
x |
|
|
в) x |
|
sin x x (x > 0); |
г) |
|
0 |
. |
||
|
|
|||||||
|
6 |
|
|
|
3 |
|
|
2 |
1394. Оценить погрешность формул: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x3 |
|
|
|
0,1 ; |
|
г) |
|
1 |
x |
|
x2 |
(х[0, 1]). |
|||||||||
в) |
tgx x |
|
x |
1 x |
||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
8 |
|
||||||||
1395. |
Для каких х справедлива, с точностью до 0,0001, прибли- |
|||||||||||||||||||||||
женная формула: cos x 1 |
x2 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1397. Вычислить: в) cos9 |
( = 10–5); |
|
г) |
|
|
|
|
|
|
( = 10–5). |
||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
||||||||||||||||||||
1410. |
При каком |
подборе |
коэффициентов |
|
a |
|
и |
b величина |
||||||||||||||||
x – (a + bcosx)sinx будет бесконечно малой 5 |
го |
порядка относи- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
тельно х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Исследовать на экстремум: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1414. у = 2 + х – х2. |
|
|
|
1419. у = (х + 1)10е–х. |
||||||||||||||||||||
1429. |
у = х3 – 6х2 + 9х – 4; |
|
1431. у = х(х – 1)2(х – 2)3. |
|||||||||||||||||||||
|
y x |
1 |
|
|
у = хе–х. |
1438. y |
|
|
|
|||||||||||||||
1432. |
; |
1437. |
|
x ln x . |
||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
3.
Задачи для решения. Демидович 1445, 1446, 1447, 1452, 1453, 1454, 1462, 1473, 1476, 1477, 1479.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на множестве:
1445. у = 2х, х[–1, 5]; |
1446. |
f(x) = x2 – 4x + 6, x[–3, 10]; |
||||||
1447. у = х2 – 3х + 2 , х [–10, 10]. |
|
|
|
|
|
|||
1452. |
Найти sup и inf функции y |
1 x2 |
, x 0, . |
|
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
1 x4 |
|
|
|
||
1453. Найти наибольшее и наименьшее значения функции: |
|
|||||||
|
f x e x2 cos x 2 , x R. |
|
|
|
||||
1454. |
Найти верхнюю и нижнюю грань функции f |
1 |
на |
|||||
3 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
интервале х +. Построить графики функций |
|
|
||||||
|
M x sup |
f ; |
m x inf |
f . |
|
|
||
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1462. Определить число вещественных корней уравнения: х3 – 6х2 +9х – 10 = 0 и отделить эти корни.
Построить графики следующих функций:
|
|
2 |
|
y |
|
x |
|
|
|||
1473. у = (х + 1)(х –2) . |
1476. |
|
|
|
; |
||||||
|
1 x 1 x 2 |
||||||||||
|
y |
x 4 |
|
y |
|
x2 x 1 |
|
|
|||
1477. |
|
. |
1479. |
|
|
|
; |
|
|||
1 x 3 |
|
x 1 2 |
|
|
4.
Задачи для решения. Демидович 1491,1497, 1498, 1507, 1509.1, 1531, 1534, 1536, 1541, 1547.
Построить графики следующих функций:
1491. y |
|
x |
|
. |
1497. y = sinx + cos2x. |
|
|
|
|||
|
|
||||
|
3 x 2 1 |
|
1498. у = (7 + 2cosx)sinx.
1509. 1. у = е–2хsin2x.
|
|
|
|
t 2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1534. |
|
1 |
t |
; |
||
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
1 |
|
|
1541. x3 + y3 – 3axy = 0.
|
y 1 x 2 e x2 . |
16 |
||||
1507. |
|
|
||||
1531. |
x |
t 1 2 |
; |
y |
t 1 2 |
. |
|
|
|||||
|
4 |
|
|
4 |
|
|
1536. x = acos2t; |
y = acos3t, (a > 0). |
1547. = аsin3 , (а > 0).
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
1.
Задачи для решения. Волковысский 1*, 1, 2*, 2, 3*, 3, 7, 8, 4*.
1*. Выполнить действия над комплексными числами в алгебраической форме: z1 = 2 + 3i; z2 = 2 – 3i; z3 = –2 + 6i. Найти:
z1 + z2; z1 – z2; 3z1 – 2z3; |
z1 z3; |
|
z1 z2; |
|
z1 |
|
; |
|
z1 |
; z 2 |
; |
z3 . |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
1 |
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
z3 |
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. Выполнить действия: |
3) |
|
; |
4) |
1 i |
|
3 . |
|
|
|||||
1 3i |
|
|
|
2*. Представить в тригонометрической форме следующие ком-
плексные числа:1 + i; 2 – 2i; –1 – i; 1 3 i ; 3 i ; i; 3i; 5; 8 ; 3 –
4i; 3 + 4i.
2. Найти модули и аргументы чисел: 5) 2 + 5i; 6) – 2 + 5i.
3*. Используя тригонометрическую форму выполнить действия над комплексными числами: z1 = 1 + i, z2 1 3 i .
Найти |
z1 z2; |
z1 |
; |
z2 |
|
; |
z 40 |
; |
z 66 . |
|
|
|
|||||||
|
|
z2 |
|
z1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. Решить уравнение: |
z* = zn – 1 |
|
(n 2, |
n N). |
|
17
7. Исходя из геометрических рассмотрений, доказать неравенства:
|
|
|
z1 |
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
|
z2 |
|
|
|
1) |
z1 z2 |
|
|
|
; |
2) |
z1 z2 |
|
|
|
|
. |
Доказать эти же неравенства алгебраическим путем. Выяснить, когда имеет место знак равенства.
8. Исходя из геометрических рассмотрений, доказать:
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
2) z – 1 |
z – 1 + z arg z. |
|
1) |
|
|
|
|
|
1 |
|
arg z |
; |
|||
|
|
z |
|
|
||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4*. Найти геометрические места точек удовлетворяющих следующим соотношениям:
1) Re(z + 2) > 1; |
2) Re(z + 2) 1; |
|
|
|
|
|
3) |
Im(z – 2 + i) > 1; |
||||||||||||||||||||||||||||
4) z 3; |
5) 2 z – 2 + i < 4; |
|
|
|
|
6) |
0 < argz /4; |
|||||||||||||||||||||||||||||
7) 0 < arg(z – i) /4; |
|
|
|
|
|
8) Rez + Imz = 1; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
9) Re{z(1 + i)} = 2; |
10) |
|
0 < arg{z(1 – i)} /4; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
11) Re |
1 |
= 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12) z – 3 = |
|
z |
– 1 . |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для решения. Волковысский 26, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28, 30, 32, |
34, 35, 5*, 6*, 7*, 59, 60, 61. |
|||||||||||||||||||||
Найти геометрические места точек: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
26. z – z1 = z – z2 . |
28. |
|
0 < Re(iz) < 1. |
|
30. z = Rez + 1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
32. Im |
z z1 |
|
0; Re |
|
z z1 |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
z z2 |
|
|
|
z z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
34. 1). z < arg z, 0 arg z < 2 ; 2) z< argz, 0 < argz <2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
35. 1) Re |
1 |
c; |
|
|
|
2) Im |
1 |
c , (cR). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5*. Найти значения корней и построить их: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4) 6 8 ; 5) 8 1 ; 6) |
|
|
|
1 i ; 7) |
3 4i ; |
8) 3 2 2i . |
||||||||||||||||||||||||||||||
6*. Вычислить значения корней из комплексных чисел: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 i ; |
3 |
|
|
|
i ; |
1 ; |
|
1 . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
18
7*. Представить следующие комплексные числа в показательной форме: 1 + i; 1 3 i ; – 2 + 2i; 4i; 5; – 8.
59. Представить числа в показательной форме: 1; i; 1 i.
|
i |
|
|
|
60. Найти: e 2 , ek i |
(k = 0, 1, 2, …). |
|
||
61. Найти модули и главные значения аргументов чисел: |
||||
e2+i; |
e2–3i; |
e3+4i; |
e–3–4i; |
–aei (a > 0, | | ); |
e–i |
(| | ); |
ei – ei (0 < 2 ). |
||
|
|
|
3. |
|
|
|
Задачи для решения. Волковысский |
||
|
|
|
8*, 9*, 10*, 62, 64, 68, 71, 74. |
8*. Найти геометрическое место точек, удовлетворяющих со-
отношению |
|
arg z 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9*. Найти вещественную и мнимую часть чисел: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
e2 3i ; |
cos i; |
|
|
sin i; |
tg i. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 i 1 i |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
i |
|
i |
|
|
|
|
2 |
|
||||||
10*. Вычислить: 2 |
2 |
; |
1 |
; 3 |
|
; |
3 i |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
; |
i ; |
|
|
|
|
|
; |
2 |
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
62. Найти суммы: 1) 1 + cosx + cos2x + … + cosnx; 2) sinx + sin2x + … sinnx.
2 |
2 |
z = 1; |
|
|
|
64. Доказать, что 1) sin |
z + cos |
2) sinz = cos |
|
z . |
|
|
|
|
|
2 |
|
68. Найти действительные и мнимые части значений следую-
щих функций: |
1) cos(2 + i); |
|
|
|
|
2) sin2i; |
3) tg(2 – i). |
|||||||||||||
71. Вычислить: Ln4; |
|
Ln(–1); |
ln(–1); |
|
Lni; |
|
||||||||||||||
|
lni; |
|
Ln |
1 i |
; |
Ln(2 – 3i); |
Ln(–2 + 3i). |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
74. Вычислить: |
1 2 ; |
|
2 |
2 ; |
2i; |
|
1–i; |
ii; |
|
|||||||||||
|
|
1 i |
1 i |
|
|
|
|
|
|
|
1+i |
|
|
1+i |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
(3 – 4i) |
; |
(– 3 + 4i) |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1.
Задачи для решения. Демидович. 1628, 1635, 1636, 1640,1643, 1646,1648, 1649, 1656, 1658, 1659, 1662, 1663, 1665,1677, 1681, 1682, 1685.
Вычислить неопределенные интегралы:
1628. |
3 x2 3dx . |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|||||||
1636. |
1 |
|
x x dx . |
|||||
|
||||||||
|
|
|
x2 |
1643. x2 1 x2 1dx .
x4 1
1648. 1 sin 2x dx 0 x .
1656. 2x 3 10dx .
1659. |
|
|
|
|
dx |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
5x |
2 5 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||
1663. |
|
|
|
dx |
. |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
3x2 |
||||||||
|
|
2 |
|
|
1635. 1 x 3 dx . x3 x
1640. x2 dx .
1 x2
1646. |
|
|
e3x |
1 |
dx . |
||||||
|
|
e x |
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1649. |
ctg2 xdx. |
||||||||||
1658. |
|
|
|
dx |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
5x |
|||||
1662. |
|
|
|
|
|
dx |
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
3x2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
1665. |
e x e 2x dx . . |
1677. |
|
|
xdx |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
1 |
x2 2 |
||||||||
|
|
|
|
||||||
1682. |
|
|
|
|
dx |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
x2 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
1681. sin 1 dx . x x2
1685. |
|
x2 dx |
. |
||
8x3 |
27 2 3 |
||||
|
|
|
2.
Задачи для решения. Демидович. 1709, 1715*, 1723, 1727, 1729, 1733, 1737, 1747, 1749, 1768, 1774, 1777, 1792, 1799, 1808, 1811, 1819.
1709. |
arctgx |
dx . |
1715*. |
x |
17 2dx |
|
. |
1723. |
|
|
x2 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 x2 |
|
1 x19 |
|
1 |
x |
|
1727. |
|
|
|
x2dx |
. |
|
|
1729. |
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
1 |
x 100 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
x 1 |
|||||||
1737. |
|
|
|
|
xdx |
|
|
. |
1747. sin 3 x dx . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
2 x 3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20
dx
1733. x 1 x 3 .
1749. sin 4 x dx .
1768. |
|
x2dx |
|
. |
|
1774. |
ln xdx |
|
. |
1777. |
arct |
g |
|
x |
|
|
dx |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 x |
|
|
x 1 ln x |
|
|
x |
|
|
|
|
1 x |
||||||||||
1792. |
xn ln xdx |
n 1 . |
1799. x2 sin 2x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
x |
|
1811. x5e x2 dx . |
|
|
|
||||||||||||||||
1808. |
x ln |
dx . |
1819. |
x2 a dx . |
||||||||||||||||||||
|
x |
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.
Задачи для решения. Демидович. 1837, 1843, 1851, 1853, 1857, 1859, 1864, 1866, 1867, 1869, *, 1872, 1878, 1882, 1892, 1893.
1837. |
|
|
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
2 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1851. |
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
5 x x2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1857. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
x2 x 1 |
|
|
||||||||||
1864. |
|
|
|
1 x x2 |
|
|
dx . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
1 x x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1867. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
1 x 2 x 3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|||||||||
*. |
x 1 x 2 2 |
x2 x 1 . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
||||||||
1878. |
|
x2 4x 4 x2 4x 5 . |
|||||||||||||||||||||
1892. |
|
|
|
|
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x3 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1843. |
|
|
|
|
|
x5dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x6 x3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1853. |
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 3x2 |
2x4 |
|||||||||||||
1859. |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||
1866. |
|
|
|
|
|
|
2x 3 |
|
|
|
dx . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
2 x 5 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1869. |
|
|
|
|
|
|
|
x3 1 |
|
|
|
|
dx . |
|||||||
|
x3 |
5x2 |
6x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1872. |
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
dx . |
||||||||
x 1 2 x 1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1882. |
|
|
|
xdx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1893. |
|
|
|
|
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
2 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|