matan_metod_1

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский Национальный Университет им. В. Н. Каразина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Следующие уравнения свести к однородным и решить:

4*. 2sinxcosx + 5cos2x = 4;

5*. 8sin2x – 3cos2x = 4;

6*. sin4x – cos4x =

7*. cos6x + sin6x – cos22x =

.1.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

1.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Задачи для решения. Демидович. 1896, 1904, 1914, 1920, 1928,1933*, 1938, 1948, 1952, 1954, 1968, 1971, 1977, 1981, 1987, 1995.

1896.

x 2 3x 2

dx .

1904.

xdx

x 1 x 2 x 1 2

x4 1

1914.

1920.

dx .

x x10 1 2

1928.

2 x

dx .

1933*.

xdx

3 2 x

4 x3 2 x

1938.

1952.

1968.

1977.

	dx	.

x 1
	x2 x 1
	x2 x 1
	xdx		.

x 1 2
	1 2x x2
	1 2x x2

xx2 2x 2 dx .

x2 1 dx

x2 1 x4 1 .

1948. x4 x2 1 .

1954.	x 2	x 1		dx .
1954.	x	1 2		dx .
	x	1 2
1971.		dx			.



	x2 1		x2 1

1981. x3 x4 dx .

1987.		dx		.	1995. sin 4 x cos5 x dx .


	x 6 1		x6
	x 6 1		x6

Задачи для решения. Демидович. 2012, 2072, 2076, 2080, 2084, 2098, 2022, 2035, 2167, 2168, 2171, 2172, 2173, 2176.

2012. Вывести формулы понижения для интегралов

sin n

n 2 и с их помощью вычислить интегралы:

cosn

;

sin 5 x

cos7

2072.

2084.

2022.

2168.

2173.

x7e x2 dx .					2076.	xex sin x dx .
		dx		.	2098.		lnn xdx .
	e2x e x		2

		dx	.		2035.			dx	.

	sin x sin a						sin 4 x cos4 x

x		x 2 dx			2171. max 1, x2			dx .

x sin x dx x 0 .

2080. cos2 xdx .

2167. x x dx .

2166.	x	dx .	2169.		1 x						1 x		dx .
2166.	x	dx .	2169.		1 x						1 x		dx .
				x			2	,		x	1
							2
	f x dx , где		1
2174.			f x								1	.
2174.			f x									.
			1			x		,		x


*** Дополнение 1.
Подстановки Эйлера:

									2
			R x, ax							bx c dx :

1)ax2 bx c ax t a 0 ;

2)ax2 bx c xt c c 0 ;

3)a x x1 x x2 t x x1 a 0 (D > 0) .

Подстановки Чебышева (Дифференциальный бином):
		xm a bxn p dx :
1) р Z; x = tN (N – общий знаменатель m и n);
2)	m 1	Z ; (a + bxn) = tN (N – знаменатель p);
	n

3)	m 1	p Z ; ax–n + b = tN (N – знаменатель p).
	n

Тригонометрические подстановки:

R sin x, cos x dx

1)R(–sinx, cosx) = –R(sinx, cosx): cosx = t;

2)R(sinx, –cosx) = –R(sinx, cosx): sinx = t;

3) R(–sinx, –cosx) = R(sinx, cosx):

tgx = t;

4) Универсальная тригонометрическая подстановка:

t; sin x

; cos x

1 t

;

2dt

t 2

1 t 2

Универсальная гиперболическая подстановка:

R shx, chx dx

t; shx

; chx

1 t 2

; dx

2dt

t 2

1 t

1 t 2

*** Дополнение 2.

Некоторые формулы полезные при интегрировании:

Pn x

dx Qn 1 x

ax2 bx c

;

ax2 bx c

a1 sin x b1 cos x

знам знам

dx ;

a sin x b cos x

a1 sin x b1 cos x c1

знам знам

;

asin x bcos x c

asin x bcos x с

a sin2 x 2b

sin x cos x c

cos 2 x

a sin x b cos x

cos x знам sin x знам dx ;

a sin x b cos x

a1 sin x b1 cos x

du1

du2

a sin

x 2b sin x cos x c cos

где 1, 2 – корни уравнения

0 ,

ui = (a – i)sinx +bcosx,

;

a i

sin x cos x

;

a sin x b cos x n

a sin x

b cos x

n 1

a sin x b cos x n 2

sin x

a b cos x n

a b cos x n 1

b cos x n 1

a b cos x n 2

( | a |

| b | ).

*** ДОПОЛНЕНИЕ 1.

ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ

Формулы сокращенного умножения. Метод интервалов решения дробно-рациональных (и не только!) неравенств.

Формулы сокращенного умножения для запоминания:

1. a b 2 a2 2ab b2 , 2. a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 , 3. a2 b2 a b a b , 4. a3 b3 a b a2 ab b2 ,

5.an 1 bn 1 a b an an 1b an 2b2 an 3b3 ....

.... a2bn 2 abn 1 bn ,

6.an 1 bn 1 a b an an 1b an 2b2 an 3b3 ....

.... a2bn 2 abn 1 bn , n – четное.

Задачи для решения :1*, 2*, …, 11*

Применяя метод интервалов решить следующие неравенства:

x 4 x 5

x 2 3 7 x

1*.

x 7 3 x 0 ,

2*.

x 1 9 2x

0 ,

x 4 2 x2 4x 3 x 3

2x 5

8 4x

3*.

4*.

x2 6x 7

x 3

4x x2

4 x

5*.

x 3

4x ,

6*.

x 2

3 x

x ,

8*. x2 x 10 2

7*.

x 1

7 x

2x 1

x 3

7x ,

x 1

9*.

4x 1

, 10*.

x 1

11*.

x 1

3x 1

Свойства функции y = ax2 + bx + c. Квадратные уравнения и задачи связанные с исследованием квадратичных функций .

Формулы для запоминания:

Для уравнения ax2 bx c 0 :

b b2

4ac

если

b2 4ac 0 .

1,2

Для уравнения x2 px q 0 :

p 2

x1,2

q ,

если

q 0 .

Задачи для решения :1*, 2*, …, 14* 1*. Найти все значения параметра а, при которых сумма корней

уравнения x2 2a x 1 1 0 равна сумме квадратов этих корней.

2*. Не решая уравнения x2 2a 1 x a2 2 0 , установить

значения параметра а, при которых один из корней уравнения в два раза больше другого.

3*. Решить следующие уравнения, используя то, что они имеют общий корень:

2x3 5x2 6x 2 0 и 6x3 3x2 2x 1 0 .

4*. Определить при каких значениях параметра а, один из корней уравнения

x3 a2 a 7 x 3a2 3a 6 0 равен (–1). Найти ос-

тальные корни этого уравнения при установленных значениях параметра а.

5*. Найти р и q если известно, что среди корней уравнения: x4 – 10x3 + 37x2 + px +q = 0 есть две пары равных между собой чисел.

6*. При каких m неравенство	x2	mx 2	1	выполнено для лю-
	x2	3x 4

бых х.

7*. При каких m корни уравнения: x2 + 2(m + 1)x + 9m – 5 = 0 отрицательны.

8*. При каких m корни уравнения: 4x2 – (3m + 1)x – m – 2 = 0 заключены в промежутке x[–1, 2].

9*. Найти коэффициенты уравнения x2 + px + q = 0 при условии, что разность его корней равна 5, а разность их кубов равна 35.

10*. При каком значении а оба корня уравнения х2 – (а + 1)х + а + 4 = 0 будут положительны.

11*. При каких значениях m неравенство x2 mx m2 выполня-

ется для любых значений х.

12*. При каких n корни уравнения: (n – 2)x2 – 2nx + n + 3 = 0 находятся на промежутке x[1, 4].

13*. При каких m неравенство	x2	mx 1	1 выполняется для
13*. При каких m неравенство	2x2 2x 3		1 выполняется для
	2x2 2x 3

любых значений х.

14*. При каких р система неравенств выполняется для любых х:

9 3x2 px 6 6 . x2 x 1

Системы двух и трех линейных уравнений. Совместимость, определенность, неопределенность. Метод Гаусса исключения неизвестных.

Задачи для решения :1*, 2*, …, 15*

Решить системы линейных уравнений методом Гаусса:

2x y z 7		3x 4 y 5z 18
	2*.		26 ;
1*. x 2 y z 8 ;	2*.	2x 4 y 3z	26 ;
x y 2z 9		x 6 y 8z	0

10x 9z 19		x 2 y z 7 0
	4*.
3*. 8x y 10 ;	4*.	2x y 3z 1 0 .
y 12z 10		3x y 2z 2 0

Исследовать на совместность и решить системы линейных уравнений с двумя неизвестными:

3x ay 5a2		x ay 1 0
5*. 3x ay a2 ;	6*. ax 3ay 2a 3 ;
ax y b		a 5	x	2a 3	y 3a 2
ax y b
7*. bx y a ;	8*.	3a 10 x 5a 6 y 2a 4				;

a a 1 x a

a 1 y a3

;

9*.

1 x a

1 y a

a2 b2 x a2 b2 y a2

10*.

b x a b y a

11*. Числа a и b таковы,

что система

a2 x ay 1 a

2b y 3

имеет единственное решение х = 1, у = 1.

Найти a и b.

12*. При каких a и b система

a2 x by a2 b

имеет бесконечно

bx b2 y

2 4b

много решений?

13*. При каких a система

a2 x 2 a y 4 a3

не имеет ре-

ax 2a 1 y a5 2

шений?

14*. Числа a,

b и с таковы,

что система

ax by 2a b

c 1 x cy 10 a 3b имеет бесконечно много решений,

причем х = 1, у = 3, одно из них. Найти a и b.

15*. Найти все такие значения а, чтобы при любом b, нашлось такие с при которых система имеет хотя бы одно решение:

а) bx y ac	2	x 2by a
		x 2by a		c .
		; б) bx 1 b	y c2	c .
b 6 x 2by c 1

Многочлены. Теорема Безу и ее следствия. Рациональные корни уравнений. Схема Горнера. Возвратные уравнения.

Задачи для решения :1*, 2*, …, 21*

Решить алгебраические уравнения:

1*.

x2 4x 6 ;

2*.

;

4 x2

3*.

;

4*.

x2 2x 1

x2 2x 2

;

x2 2x 3

x2 2x 2

x2 2x 3

29
5*.	20	x 2	2	5	x 2	48	x2 4			0	;

							x	2	1
		x 1			x 1

6*. Найти сумму коэффициентов многочлена:

Pn x 1 4x 6x2 147 2 5x 7x2 13x3 257 .

7*. Делится ли многочлен x100 3x 2 на x2 1

8*. Найти остаток от деления x5 x4 x3 x2 x 1 на x 1. 9*. Некоторый многочлен при делении на x 5 дает в остатке

5, а при делении на x 1 дает в остатке 3. Найти остаток от деления того же многочлена на x 1 x 5 .

10*. Остаток от деления ax3 2x2 3x 5 на x 2 равен 35, а от деления на x c остаток равен 320. Найти а и с.

С помощью схемы Горнера решить следующие уравнения:

11*. x4 10x3 35x2 50x 24 0 , 12*. 8x4 6x3 13x2 x 3 0 , 13*. 2x4 x3 9x2 13x 5 0 , 14*. x4 4x3 19x2 106x 120 0 .

Решить возвратные уравнения:

15*. x4 2x3 x2 2x 1 0 , 16*. x5 7x4 x3 x2 7x 1 0 , 17*. x4 10x3 9x2 10x 1 0 , 18*. 2x4 3x3 4x2 3x 2 0 .

19*. Решить следующие уравнения разложив левую часть в произведение двух квадратных трехчленов:

а) x4 4x 1 0 , б) x4 8x 63 0 .

20*. Найти а при которых уравнение x5 5x a 0 имеет два совпадающих корня.

21*. Число 1 2 является корнем уравнения x5 ax3 bx2 5x 2 0 .

Найти остальные корни, зная что а и b рациональные числа.

Степенная, показательная, логарифмическая функции. Основные свойства и графики. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

Задачи для решения :1*, 2*, …, 24*

Решить следующие показательные неравенства:

1*.

25–х + 5–х+1 50;

2*.

2 32 x2 4 3x2 2 ;

3x 4

x 4

5x 48

5x 49 ;

3*.

;

4*. 98 –

49x

5*. 5 4x 2 25x 7 10x ;

6*.

13x

2 13x 12

13x 5 ;

3 3

28 ;

23 x

251 log3 5 ;

7*. 9 x

8*.

1 x2 x2 2 x

x 1

10*. 0,008

51 3x

0,04 2

9*.

30,04 ;

x2 x

11*.

0,03

3x2 5x

12*.

x 5

13*.

x 1 x 2

3 ;

Решить следующие логарифмические неравенства:

log1 4

2x 1

cos

;

14*. log5 8

15*.

16*. log1 4 2x 3 log9 27 ;

17*. log4 3x

log1 4

3x 1

;

18*. 2log4 x

log2

3x 2 cos

;

2 x 2

19*. log2

3 x 1 0 ;

20*. log1 x

1 ;

x 1 x 5

;

22*. log0,3 log6

x2 x

;

21*. log x2 1

31
23*.		1		1		; 24*. logx log2	4x 6 1.

	log2	x 1	log2

					x 1

Тригонометрические функции углового и числового аргументов. Определение и свойства. Обратные тригонометрические функции. Формулы двойного и половинного аргумента. Формулы приведения.

Задачи для решения :1*, 2*, …, 18*

Доказать тождества:

1*.

1 sin 2 cos 2

ctg ;

2*.

2sin sin 2

tg2

;

1 sin 2 cos 2

2sin sin 2

3*.

ctg2 ;

tg3 tg

ctg3 ctg

4*.

sin6

cos6

sin2 4

cos .

Вычислить без помощи таблиц:

5*.

sin 24 cos 6 sin 6 sin 66

;

6*. sin270 sin250 sin210 ;

sin 21 cos39 cos51 sin 69

7*. sin15 ;

8*. sin18 ;

9*. sin

sin

Вычислить:

10*. sin(2arccos

);

11*. cos[arcsin(–

)];

12*. sin(arcsin

+ arcsin

13*. tg(2arcsin

);

14*. arcsin(sin2);

15*. sin(arctg2 + arctg3);

16*. sin(2arctg

) + cos(arctg 2

3 ).

Проверить равенства:
								.
17*. arctg	2 1	arctg	2		;	18*. arctg3 arcsin	5
17*. arctg		arctg			;	18*. arctg3 arcsin
	2 1		2	4			5	4

Решение простейших (и не только!) тригонометрических уравнений и неравенств.

Задачи для решения :1*, 2*, …, 20*

Решить следующие тригонометрические уравнения:

1*. 2sin2x + sinx – 1 = 0; 2*. 4sin4x + cos4x = 1+12cos4x; 3*. tg3x + 2tg2x 3tgx = 0.

Вводя дополнительный аргумент решить уравнения:

8*. sin8x – cos6x = 3 (sin6x + cos8x);


9*. sin11x +		3	sin7x +	1		cos7x = 0;
				2
	2

10*. sin10x + cos10x =					2 sin15x; 11*. 4sin3x + 3cos3x = 5,2.

Применяя универсальную тригонометрическую подстановку:

t tg

;

sin x

; cos x

1 t

;

tgx

, решить:

1 t2

1 t

12*. sinx + ctg

= 2;

13*. ctg(

– x) = 5tg2x + 7;

14*. 3sin4x = (cos2x – 1)tgx;

Применяя подстановку t = cosx + sinx,

решить:

15*. 5(sinx + cosx) + sin3x – cos3x = 2 2 (2 + sin2x);

16*. sinx + cosx + sinxcosx = 1;

17*. sinx + cosx – 2sinxcosx = 1.

Решить:

18*. sin26x + 8sin23x = 0;

19*. sin8x + cos8x =

; 20*. cos2x + 4sin4x = 8cos6x.

Построение графиков функций с помощью элементарных движений. Общая схема исследование функций с помощью производной.

Задачи для решения :1*, 2*, …, 31*

Построить графики функций:

x 1

1*. y = | x – 2 | (x + 2);

2*. y

x2 4

;

3*. y

sin 2x ;

x 1

4*. y

2 x

x 2 ;

5*. y log2

x2 4

;

x 1

x2 2

6*. y 0,5

2 x2

6 x x 3

7*. y log3

x2 9

;

x 4

8*. y

9*. y

log2

;

log2 cos x ;

10*. y

x 2

;

11*. y

x 1

;

12*. y = | 4x2 – 1| – 3x;

x 2

13*. y

log2 x2

;

14*. y

log2

1 2 .

Применяя общую теорию, исследовать функции и построить

графики:

15*. y

;

16*.

;

17*. y = x2e–x;

1 x2

18*. y x

ln x

;

19*. y = x + sinx;

20*. y

2x 1

;

x 1 2

21*. y

;

22*. y = xsinx;

23*. y e x

x ;

ex 1

24*. y

;

25*. y

;

x x 1

4x2

26*. y

;

27*. y

;

28*.

5x 1

;

x2 x

x2 4x 4

x 2

29*. y	x2	3x 2	; 30*.	y	x 1	.
		x 1			x2 3x 2

31*. Построить графики функций:

			5					12
а)	y					;	б)	y		;
		x4 4x2 5							x4 4x2 12
в)	y log			x 2	e ;		г)	y = ln\| x2 – x – 6 \|;

д) y = cos(3arcsinx);								е) y = sin(3arccosx);
ж) y = sin(3arcsinx);								з) y = tg(3arctgx).

Метод сечений при решении задач с параметром. Задачи, связанные с исследованием функций.

			Задачи для решения :1, 2, …, 14*
Применяя метод сечений решить уравнения и неравенства:
1*. (x + 1) \| x – 1 \| – a = 0;			2*. \| 1 – \| x \| \| < a – x;

3*.		a2 x2 x 1;

4*.	4 x2 a2 x2 ;		5*. \| x + a \| – \| 2x – a +2 \| = a.

6*. Найти а, при которых минимум функции

f(x) = 2| x – 1| + | x + 3| – 2|x – a2 – a| будет больше 1.

7*. Найти значения а, при которых минимум функции меньше 2 f(x) = 3| x – a | + | х2 + x – 2|.

8*. Найти а, при которых существует хотя бы одно решение системы:

а) x2 5a 2 x 4a2 2a 0 ;x2 a2 4

б) x2 2 3a x 2a2 2a 0 ; ax 1

в) x2 3a 1 x 2a2 2a 0 .x2 a2 0

9*. При каких а следующие системы имеют ровно 2 решения:

x y

2 1

б)

в)

3 .

а)

;

x y

xy a

10*. Найти количество корней уравнения в зависимости от па-

раметра а:

x 5

а) e 2 ax 3a ;

б) e 3 ax 2a .

11*. Задана парабола и прямая. При каком значении а,

наимень-

шее из расстояний между точками параболы и прямой равно ?

а) y = x2 – 2ax + a2 – a + 1, y = –2x, 5 ; б) y = x2 – 2ax + a2 + a – 2, y = –4x, 17 .

12*. Доказать, что на множестве x(0, 4] выполнено неравенство:

а) 6x – 4lnx x2; б) 8x – 6lnx x2.

13*. Определить количество корней уравнения, в зависимости от

параметра а:

а) xln10x = a; б) xln x = a; в) lnx = ax.

14*. Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) для

x[–2, 1]:
а) f(x) = (2ax2 – x4 – 3a2)–1;	б) f(x) = (x4 – 6ax2 + a2)–1.

*** ДОПОЛНЕНИЕ 2.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Определения.

Алфавит: 1 2 3 , где 1 A0 , A1, A2 ,... - переменные

высказывания или пропозициональные переменные, 2 = { , , , , } – логические связки; 3 , – дополнительные символы.

Формула :: = {пропозициональная переменная | U | (U V) | (U

V) | (U V) | (U V)}, где U и V – формулы.

а) Если набор параметров, при которых формула истинна, то

- формула выполнима.

б) Если набора параметров формула истинна – формула тож- дественно-истинна или тавтология.

в) Если набор параметров, при которых формула ложна, то – формула опровержима.

г) Если набора параметров формула ложна – формула тождественноложна или противоречие.

Элементарная	конъюнкция	это – произвольная	конъюнкция

	дизъюнкция		дизъюнкция

формул, каждая из которых есть пропозициональная переменная или отрицание пропозициональной переменной.

Дизъюнктивная нормальная форма (д. н. ф.) – произвольная дизъюнкция элементарных конъюнкций.

Конъюнктивная нормальная форма (к. н. ф.) – произвольная конъюнкция элементарных дизъюнкций.

Дизъюнктивная (конъюнктивная) нормальная форма называется совершенной с. д. н. ф. (с. к. н. ф.), если каждая переменная формулы входит в элементарную конъюнкцию (дизъюнкцию) ровно один раз с отрицанием или без него.

Формула называется формулой с тесными отрицаниями, если в ней нет символов и , и отрицания относятся только к пропозициональным переменным.

План занятий А. Высказывания (формулы). Примеры высказываний. Простые

и составные высказывания.

Б. Операции	над высказываниями:	– (отрицание);	–
(конъюнкция);	– (дизъюнкция);	– (импликация); – (эк-

виваленция). Таблицы истинности. Порядок выполнения опера-
ций. Рассмотреть высказывание:
	P Q P Q P .
В. Некоторые свойства операций над высказываниями:
а)	a b b a – коммутативный закон;
б)	a b c a b	c		– ассоциативные законы;
	a b c a b	c
в)	a b c a b a c			– дистрибутивные законы;
	a b c a b		a c
г)	a b a b		– законы де Моргана;
	a b a b
д) (a b) ( a b)		– д. н. ф. для импликации;
Г. Исчисление высказываний с				помощью моделирования вы-
сказывания электроцепью.

Д. Исчисление высказывания с помощью представляющих функций:

f(и) = 1; f(л) = 0; f ( a) = 1 – f (a); f (a b) = f (a) + f (b) – f (a) ∙ f (b);

f (a b) =f (a) ∙ f (b); f(a b) = 1 – f (a) + f (a) ∙ f (b).

Задачи для решения 1*, 2*, …, 7* 1*. Построить таблицы истинности:

1)( (Р (Q P)) (Р R));

2)((Р (Q P)) Р);

3)(((Р Q) Q ) (P Q));

4)((Р (Q Р )) (( Q P) Q)).

2*. Доказать выполнимость формул:

1)((Р Q) (Q P));

2)((Q (Р R )) ((Р R) Q)).

3*. Доказать тождественную истинность:

1)(P ( Q (P Q)));

2)(( Р Q) (Q P));

3)(((P Q) (Q R) (P R)));

4)((P Q) ((P (Q R)) (P R)));

4*. Доказать эквивалентности:

1)(A A) A;

2)(A (A C) (B C)) ((A B) (A C));

5*. На вопрос, кто из трех студентов изучил логику, был получен правильный ответ: «Если изучал 1й, то изучал и 3й; но, не верно, что, если изучал 2й, то изучал и 3й». Кто из студентов изучал логику?

6*. Кто из четырех студентов сдал экзамен, если: а) если 1й сдал, то и 2й сдал; б) если 2й сдал, то 3й сдал или 1й не сдал;

в) если 4й не сдал, то 1й сдал, а 3й не сдал; г) если 4й сдал, то и 1й сдал.

7*. Требуется, чтобы включение света в комнате осуществлялось с помощью трех различных переключателей таким образом, чтобы, каждый из них включал свет, если он не горит, и выключал его, когда свет горит.

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.02.2015249.34 Кб4marketing (Автосохраненный).doc
#
23.02.201563.45 Кб16MARKETING-2013.docx
#
17.09.201987.78 Кб5Market_issled_Iv_Roshe.docx
#
11.11.2019917.5 Кб18Masenko_Mova_i_suspilstvo_2004.doc
#
23.02.20154.45 Mб11matan_belaev_1.1.pdf
#
23.02.20151.04 Mб12matan_metod_1.1.pdf
#
23.02.20151.27 Mб39matan_metod_2012_1.2.doc
#
13.03.2016624.21 Кб4Matem_Lisitsya_2.pdf
#
23.02.20151.1 Mб13MechanS2.doc
#
23.02.20153.01 Mб30Mekhanika_metodichka.doc
#
23.02.20152.99 Mб47Mekhanika_metodichka.doc