matan_belaev_1

(для произведения и частного аналогично).▲

Следствия:

10.Любая натуральная степень непрерывна f (x) x непрерывна f n (x) xn . непрерывна.

T0.Суперпозиция непрерывных функций непрерывна.

∆ Справедливость следует из теоремы о пределе сложной функции▲

§ ЧАСТИЧНЫЕ ПРЕДЕЛЫ

Def. Сужением функции на множество M или ограничением функции f (x) на множество

T0. Если в точке x a существует предел функции, то в этой точке существует и равен ему всякий частичный предел, о котором имеет смысл говорить.

Примечание: Из существования частичного предела и, даже, бесконечного числа равных частичных пределов не следует существование предела функции.

Т (об односторонних пределах). Если существуют и равны между собой оба односторонних предела, то существует и равен их общему значению предел функции в данной точке.

§ ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД В РАВЕНСТВАХ И НЕРАВЕНСТВАХ

10. Если функции, имеющие предел в некоторой точке совпадают на множестве сгущающемся в этой точке, то их пределы равны.

20. Если последовательности, имеющие предел, содержат совпадающие подпоследовательности, то их пределы равны.

30. Если функции совпадают в проколотой окрестности предельной точки, то их пределы равны в случае существования .

40. Если две последовательности совпадают, начиная с некоторого номера, то их пределы существуют или не существуют одновременно, и в случае существования равны.

50. Если из двух функций одна не превышает другой в проколотой окрестности предельной точки, то предел первой не превосходит предела второй в случае их существования.

60. Если предел одной функции больше предела второй в некоторой точке, то существует проколотая окрестность этой точки, в которой первая функция больше второй.

Т0. (Принцип двустороннего ограничения, теорема о двух милиционерах).

Если две функции имеют общий предел и в окрестности предельной точки третья функция заключена между ними, то она имеет тот же предел.

∆ следует из 50 и 60.

и, т.к. k(x) g(x) и k(x) f (x) ,

непрерывна как суперпозиция двух функций непрерывных x R .

30. Функции tgx, ctgx непрерывны x R, кроме точек, в которых знаменатель обращается в ноль (как частное двух непрерывных функций),

т.е. функции y = tgx и y = ctgx непрерывны в своей области определения.

РАЗДЕЛ 5. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ

§ ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ

40. Функция f (x) называется не возрастающей на множестве X D(f ) если

Из приведенных определений ясно, что понятие возрастания и убывания функции является понятием глобальным, в отличие от, скажем, непрерывности являющейся понятием локальным.

Функции возрастающие на множестве X или убывающие на множестве X называются монотонными функциями.

Для последовательностей:

10. Последовательность {xn} называется возрастающей, если

Для монотонных функций

*.Если функция монотонна на множестве, то она монотонна на всяком его подмножестве. *.Если функция одноименно монотонна на промежутках с общей точкой, то она одноименно монотонна на их объединении.

*.Максимальным промежутком монотонности называется такой промежуток монотонности, который не содержится ни в каком большем промежутке монотонности. *.Максимальные промежутки одноименной монотонности либо совпадают, либо не имеют общих точек.

*.Максимальные промежутки монотонности (разноименной) могут быть смежными и иметь общий конец.

§ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД МОНОТОННЫМИ ФУНКЦИЯМИ.

*. Сумма одноименно монотонных функций одноименно монотонна со слагаемыми.

*. Произведение положительных одноименно монотонных функций одноименно монотонно с сомножителями.

*. Изменение знака монотонной функции (умножение на ―-1‖ ) меняет тип монотонности на противоположный.

*. Изменение знака аргумента меняет тип монотонности на противоположный.

*.Переход от положительной монотонной функции f (x) к арифметически обратной ей

*. Взаимно-обратные функции одноименно монотонны.

*. Суперпозиция одноименно монотонных функций не убывает.

*. Суперпозиция разноименно монотонных функций не возрастает.

(При этом суперпозиция не строгая, если не строго монотонна хотя бы одна из функций).

Т. (о существовании предела монотонной ограниченной последовательности): Монотонная ограниченная последовательность имеет конечный предел. Монотонная последовательность всегда имеет предел (возможно не собственный).

Т.к. величина является бесконечно малой тогда и только тогда, когда бесконечно малым является еѐ модуль.

§ ПЕРЕСТАНОВКИ, РАЗМЕЩЕНИЯ И СОЧЕТАНИЯ

Пусть имеется набор из n различных объектов.

Правило, по которому объектам A, B,C,... ставятся в соответствие элементы f (A), f (B),... из того же набора, причем каждый только один раз, называется

Чтобы установить справедливость этой формулы представим себе, что необходимо заполнить n пронумерованных ящичков n различными шарами по одному в каждый ящичек. Тогда, первый ящичек можно заполнить любым из имеющихся n шаров, второй ящичек любым из оставшихся n–1 шаров, следующий любым из оставшихся n–2 шаров и т.д. Перемножая эти числа, мы и получим уже приведенную выше формулу.

Пусть требуется произвести выборку k элементов из набора в n различных элементов и, при этом считаются различными выборки не отличающиеся составом выбранных элементов, а отличающиеся только порядком, в котором выбираются эти k элементов. Такие выборки называются размещениями из n элементов по k и, количество

Установить справедливость этой формулы легко, если применить рассуждения аналогичные рассуждениям, приведенным при выводе формулы для перестановок из n элементов.

Выборки k элементов из набора в n элементов, когда различными считаются только выборки, имеющие разный состав, называются сочетаниями из n элементов по k .

Замечание при вычислении количества сочетаний мы иногда сталкиваемся с необходимостью вычислить 0! . Чтобы не записывать для этих случаев отдельные формулы, условились считать, что 0! 1. Оказалось, что такая договоренность не приводит к неприятностям, а позволяет вычислять Cnk и в тех случаях, когда в знаменателе стоит 0!.

Примеры:

1.Каково количество различных вариантов расположения команд в итоговой турнирной таблице футбольного чемпионата , если в нем принимают участие 16 команд Ответ Таких способов: P16 16! .

2.Каково количество различных вариантов распределения призовых мест (золото, серебро, бронза) Ответ При распределении призовых мест важным является не только то кто из участников стал призером, но и каким именно.

Поэтому, получаем :

3. Каково количество различных вариантов определения двух неудачников сезона, занявших два последних места (покидают высшую лигу) Ответ При определении неудачников важным является только то кто из участников занял последние два места и абсолютно неважно какое именно , ибо все равно обе команды покидают элитный дивизион.

Поэтому, получаем :

§ БИНОМ НЬЮТОНА

Приведем и докажем очень важную формулу, предназначенную для возведения суммы двух слагаемых в натуральную степень. Эта формула называется формулой бинома Ньютона.