matan_belaev_1

Рисунки иллюстрируют тот факт, что числовая прямая R, расширенная и топологически эквивалентна полуокружности с включенными крайними точками дуги или отрезку, а числовая прямая R, расширенная топологически эквивалентна окружности.

Т○ На числовой прямой R, расширенной и всякое непустое числовое множество имеет точную верхнюю и точную нижнюю грань (может быть несобственную). ∆ ▲

Характеристическое свойство промежутка вместе с любыми двумя точками промежутка в нем содержится и всякий промежуток, лежащий между ними.

Основные типы промежутков

а) интервал (a, b) = {xR a x b}

б) полуинтервал a, b) = {xR a x b} или (a, b = {xR a x b} б) сегмент a, b = {xR a x b} .

Def. Открытой окрестностью точки a называется любой, содержащий ее, интервал. Открытая окрестность точки a обозначается Ua.. Интервал является открытой окрестностью любой своей точки.

Def. Открытой -окрестностью точки a называется множество О(а, )

О(а, ) (а, а+) = { xR x a }.

Def. Проколотой окрестностью точки a называется множество U a U a \ {a}. Def. Проколотой -окрестностью точки a называется множество

O (а, ) (а, а+) \ {a} = { xR 0 x a }.

Def. Односторонней окрестностью точки a называется пересечение окрестности a с одной из полупрямых, на которые она разбивает числовую прямую

Def. Для бесконечно удаленных точек окрестности определяются следующим образом:

§ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК ОТНОСИТЕЛЬНО МНОЖЕСТВА

Def. Точка а называется внутренней точкой множества М, если она входит в множество М вместе с некоторой своей окрестностью: Ua Ua М.

множество всех внутренних точек множества М называется внутренностью

множества ( M ).

множества совпадающие со своей внутренностью называются открытыми, т.е. множество является открытым если все его точки внутренние ( пример открытого множества интервал).

Def. Точка а называется точкой прикосновения множества М, если любая ее окрестность имеет точки общие с множеством М Ua Ua М .

совокупность точек прикосновения множества называется замыканием множества. ( M ).

множество совпадающее со своим замыканием называются замкнутым ( пример замкнутого множества сегмент).

Def. Точка а называется точкой сгущения множества М (предельной точкой), если любая

множество всех предельных точек множества М называется производным множеством ( M ).

Def. Точка а называется изолированной точкой множества М , если существует ее окрестность не имеющая с М общих точек, кроме точки а

Def. Точка а называется граничной точкой множества М , если любая ее окрестность имеет точки принадлежащие множеству М и точки не принадлежащие множеству М

Ua x Ua М y Ua y М .

совокупность граничных точек множества называется границей множества.

Def. Точка а называется внешней точкой множества М, существует ее окрестность, не имеющая с множеством общих точек Ua Ua М = .

Кроме того, числовая прямая обладает двумя важнейшими свойствами, принятыми в качестве аксиом

Операции над числовыми функциями числового аргумента вводятся поточечно, т.е.

Последнее равенство определяет суперпозицию двух функций f и g.

Теперь дадим определение предела числовой функции. Мы приведем несколько определений, которые эквивалентны, но сформулированы с применением несколько различных форм записи:

Def. Число b называется пределом функции f (x) при x стремящемся к a, где a точка сгущения области определения функции f (x) , если для любой окрестности Ub точки b

найдется проколотая окрестность V a точки a, образ которой содержится в заданной

Примечание Предел функции определяется поведением функции в произвольно малой проколотой окрестности предельной точки и не зависит ни от частного значения функции в предельной точке ни от поведения функции вне произвольно малой окрестности предельной точки.

Примечание Два слова о существовании и не существовании предела функции

Запишем еще раз определение предела функции на языке

Внимательно рассмотрев определение предела нетрудно установить, что а) подчеркнутое звездочками указывает на то, какой предельный процесс описывается

Def. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x0, если предел функции равен

Def. Функция, по определению, считается непрерывной в каждой изолированной точке своей области определения.

Def. Функция f (x) непрерывна на множестве X, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Def. Точки замыкания области определения функции в которых функция не является непрерывной называются точками разрыва функции.

Примечание Непрерывность функции означает, что знак функции и знак предела

§НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Базисные (основные) элементарные функции это константы, степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические функции и функции обратные к ним.

Элементарные функции это функции, полученные из базисных элементарных функций с помощью конечного числа операций (арифметических действий) и суперпозиций.

Элементарные функции непрерывны в области определения.

Чрезвычайно важный факт, который будет доказан по мере расширения наших знаний по теории непрерывных функций. А пока несколько примеров.

Примеры элементарных функций

и

Примеры неэлементарных функций

1 . f (x) = [x] Целая часть x наибольшее целое число не превосходящее x. Функция имеет точки разрыва при целочисленных значениях x.

2 . f (x) = {x} = x x Дробная часть x. Также разрывна в целочисленных точках.

*. Если функция имеет предел равный + или - , то она является бесконечно большой, но бесконечно большая величина не обязательно стремиться к бесконечности

Величина не ограниченна, хотя бесконечно большой не является.

Def. Числовая функция называется ограниченной сверху, снизу, ограниченной если таковым является еѐ множество значений.

M x D( f ) f (x) M m x D( f ) f (x) m .

Def. Числовая функция называется ограниченной …. на множестве X , если таковым является еѐ сужение на множество X .

Def. Функция f (x) называется (финально) ограниченной … в точке a сгущения еѐ

В данном определении вместо многоточия указывается характер ограниченности (сверху, снизу, … ).

Ограниченность функции обозначается f (x) = O (1), (читается : f (x) есть О-большое от единицы или f (x) есть ограниченная величина).

Примеры :

10. f (x) sin 1x .

ограничена сверху, снизу, ограничена сама по себе, в любой точке на любом множестве.

20. f (x) 1x .

На (0,1) ограничена снизу, неограниченна сверху.

На [1,100) ограничена сверху, ограничена снизу, ограничена.

На [-1,1] неограничена сверху, неограничена снизу, неограничена.

функция отделена от нуля в этой проколотой окрестности.

*. Функция отделена от нуля отделена от нуля на любом подмножестве и в любой точке. Но…отделена от нуля в каждой точке не обязательно отделена от нуля.

*. Ненулевая бесконечно малая не отделена от нуля.

*. Функция, имеющая в точке ненулевой предел финально отделена от нуля в этой точке.

Примеры :

10. f (x) 1 x 2 (место для рисунка) отделена от нуля.

20. f (x) = x2 Для x 0 функция финально отделена от нуля.

§ ЛЕММЫ О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ

10.Сумма конечного числа бесконечно малых есть величина бесконечно малая. 20.Произведение бесконечно малой на ограниченную есть величина бесконечно малая. 30.Величина арифметически обратная к бесконечно большой есть бесконечно малая, а арифметически обратная к бесконечно малой есть бесконечно большая.

Получим

Def. Действия с несобственными элементами :

∆.Докажем например что ( )

аналогично доказываются остальные соотношения.▲

Введя операции над несобственными элементами, обратим внимание на то, что не всяким действиям с несобственными элементами даны определения. В таких случаях говорят, что мы имеем дело с неопределенностями. Неопределенностями они называются потому, что результат этих действий может быть различным в зависимости от величин учавствующих в операции.

Рассматривается (пока) четыре типа неопределѐнностей:

Первые две неопределѐнности сводятся, путем арифметических преобразований, к последним двум, а для раскрытия последних двух предназначено правило Лопиталя:

Правило Если функции и обе стремятся к нулю или бесконечности, то предел отношения функций равен пределу отношения производных этих функций, если предел

Конечно, такая формулировка правила Лопиталя, мягко говоря, оставляет желать лучшего. Аккуратная формулировка и доказательство этого, очень важного и удобного в применении правила будет приведено несколько позже, по мере нашей готовности к этому. Формулировка же приводится для того, чтобы позволить применять это правило, пусть и в весьма приблизительном виде, для вычисления пределов.

РАЗДЕЛ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ

§ Арифметические действия над непрерывными функциями. суперпозиция непрерывных функций

T0. Сумма, произведение и частное непрерывных функций непрерывны (частное при условии, что знаменатель отличен от нуля).