matan_belaev_1

Def: Говорят, что на множестве М задана внутренняя операция, если в операции участвуют элементы из множества М. При этом, если результат операции также принадлежит множеству М, то операция называется заданной корректно.

Полем называется множество Р , в котором корректным способом определены две бинарные (двухместные) внутренние операции называемые сложением и умножением элементов такие, что:

Отметим, что:

а) аксиомы 1–3 определяют поле как группу по сложению, а аксиома 4 делает эту группу абелевой (коммутативной).

б) аксиомы 5–8 говорят о том, что по умножению коммутативной группой является множество не нулевых элементов поля.

в) аксиома 9 связывает эти операции друг с другом дистрибутивным законом.

г) ассоциативность (1 и 5) позволяет сумму и произведение более чем 2-х элементов поля писать без скобок: z1 z2 z3 и z1 z2 z3 поскольку всякая расстановка скобок,

призванная указать порядок выполнения операций, приводит к одному и тому же результату.

§. СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ ПОЛЯ.

*. В любом поле не меньше двух элементов и существует поле, состоящее равно из двух элементов 0,1 .

*. Нуль и единица поля единственны: в поле нет таких же элементов с такими же свойствами.

*. Противоположный и обратный элемент для заданного элемента поля определяются однозначно; нуль не имеет обратного, поскольку, вследствие дистрибутивности, нуль, умножаясь на любой элемент поля, даѐт нуль.

*. Элемент обратный противоположному, противоположен обратному: (z) 1 (z 1 ) . *. Минус единица (элемент противоположный единице) умножаясь на произвольный элемент, даѐт противоположный ему элемент: ( 1) z z .

*. Переходы к противоположному и обратному элементу инволютивны, т.е. противоположный к противоположному и обратный к обратному совпадают с исходным:

(z) z; (z 1 ) 1 z .

*. Нуль – единственный элемент поля совпадающий, со своим противоположным; *. Единица – единственный элемент поля совпадающий, со своим обратным.

*. Вследствие коммутативности сумма и произведение не зависит от порядка, в котором берутся, соответственно, слагаемые или сомножители.

*. В поле всегда и однозначно разрешимо всякое уравнение вида z a b z b (a) b a ,

другими словами в поле определена операция вычитания обратная сложению, дающая элемент b a (разность уменьшаемого b и вычитаемого a), который нужно прибавить к вычитаемому чтобы получить уменьшаемое: a (b a) b .

*. Вычитание из самого себя даѐт нуль: z z 0 .

*. Вычитание нуля не изменяет уменьшаемого: z 0 z .

*. Вычитание из нуля даѐт противоположный: 0 z z .

*. Для алгебраической суммы, куда по определению, каждое слагаемое входит со своим знаком: плюс как прибавленное или минус как вычитаемое и где первый знак, если он плюс не пишется, справедливы ассоциативность и коммутативность, а также дистрибутивность умножения с учѐтом правила знаков.

*. В поле всегда и однозначно разрешено всякое уравнение вида:

другими словами в поле определена операция деления на ненулевые элементы поля, дающая элемент b : a (частное данного b и делителя а) на который надо умножить

*. Деление единицы на ненулевой элемент даѐт обратный ему элемент:1: z z 1 , z 0 .

Содержательно эти правила очевидны. Более формально, доказывать нечего, когда одно слагаемое (сомножитель) есть нуль. Для натуральных n и целых m можно воспользоваться индукцией, пользуясь индуктивными определениями:

me (n 1)e (me ne) e , me (n 1)e me ne me 1e .

*. Отображение n ne задаѐт гомоморфизм кольца целых чисел на кольцо целых кратных единичного элемента. Так как это кольцо не содержит делителей нуля то число определяющее вычеты должно быть простым. Это число не может быть единицей, так как это означало бы что 1 e 0 . Простое число р - характеристика поля. Когда все кратные единицы попарно различны, поле содержит подполе изоморфное полю рациональных чисел . О таком поле говорят как о поле, имеющем характеристику нуль.

§ ВВЕДЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.

Множеством комплексных чисел называется множество объектов вида z = x + iy, где

x, y R а величина i определяется соотношением i2 = –1:

{ z | z = x + iy; x, y R, i2 = –1}

и введены операции над ними.

Запись z = x + iy называется алгебраической формой комплексного числа, при этом x = Re z , y = Im z ( вещественная и мнимая часть числа z).

Определим операции в множестве . Пусть z1 = x1 + iy1; z2 = x2 + iy2; 1. z1 = z2 тогда и только тогда, когда x1 = x2 и y1 = y2.

2.z1 z2 (x1 x2) + i(y1 + y2).

3.z1z2 (x1x2 – y1y2) + i(x1y2 + x2y1).

Алгебраическая форма комплексного числа позволяет дать прозрачную геометрическую интерпретацию, если рассматривать комплексное число как точку на плоскости, у

которой абсцисса совпадает с Re z , а ордината – с Im z . При этом правила сложения и вычитания комплексных чисел совпадают с правилами сложения и вычитания векторов с

координатами (x1,y1) и (x2,y2).

*. Если Im z = 0, то число z – вещественное число; *. Если Re z = 0, то число z – чисто мнимое число.

Величина | z | x2 y2 называется модулем комплексного числа z .

Числа z1 x iy , z2 x iy образуют пару комплексно сопряженных чисел.

§ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.

Рассмотрим комплексное число z x iy ,

заданное в алгебраической форме. Перейдем от декартовой системы координат к полярной:

x cos , y sin . Тогда получим: z (cos i sin ) .

Полученная запись называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

При этом величина x2 y2 называется

модулем комплексного числа и задает расстояние от точки z до начала координат. Величина задает

угол между положительным направлением оси абсцисс и радиусом - вектором направленным в точку z. Эта величина называется аргументом комплексного числа, обозначается Argz и находится неоднозначно а с точностью до величины кратной 2 .

Argz arg z 2k , k Z . Здесь 0 arg z 2 и называется главным значением аргумента

комплексного числа (иногда главным значением аргумента комплексного числа называется угол, удовлетворяющий условию arg z ). Какое из этих значений

считается главным должно быть ясно из контекста.

F0. Два комплексных числа, заданные в тригонометрической форме равны тогда и только тогда когда их модули совпадают, а аргументы либо совпадают, либо отличаются на величину кратную 2 .

Для комплексного числа z = 0 аргумент не определен (его можно считать равным чему угодно).

Пусть z1 1 (cos 1 i sin 1 ) , z2 2 (cos 2 i sin 2 ) два комплексных числа,

заданных в тригонометрической форме. Тогда непосредственным умножением легко проверить, что:

при умножении комплексных чисел модули чисел умножаются, а аргументы складываются, а при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Тогда формула zn z z z ... z | z |n (cos n i sin n ) задает правило возведения

комплексного числа в натуральную степень.

Кроме того, получена весьма важная формула, которая называется формулой Муавра:

(cos i sin )n cos n i sin n .

§ ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ НАТУРАЛЬНЫХ СТЕПЕНЕЙ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.

Def: Корнем натуральной степени n из комплексного числа называется другое комплексное число такое что, при возведении его в степень n получим вновь исходное число z . (nz )n z .

Пусть nz (cos i sin ) . Тогда z r(cos i sin ) n (cos n i sin n ) .

Из условия равенства двух комплексных чисел получаем:

При других значениях k повторяются уже полученные корни. Отметим что, корень n из комплексного числа имеет ровно n различных значений.

Пример:

Все шесть корней шестой степени их единицы расположены на окружности единичного радиуса в вершинах правильного шестиугольника.

§ СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ. СФЕРА РИМАНА.

Аналогично тому, как мы строили расширенную точкой числовую прямую, можно и

Такая проекция сферы на плоскость называется стереографической проекцией, а проектируемая сфера называется сферой Римана.

Кроме того непосредственными вычислениями удается установить, что:

(z n ) nz (e z ) e z ; (sin z) cos z ; ……

§ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ЗАМКНУТОСТЬ ПОЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ.

На рисунках слева проиллюстрировано что, полином четной степени может и не иметь вещественных корней, а полином нечетной степени обязательно имеет, по меньшей мере, один вещественный корень. Вопрос: сколько корней, в том числе вещественных, имеет полином произвольной степени?

Т . ( Основная теорема алгебры ). Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, т. е. всякий многочлен ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень ( в частности это относиться и к многочлену с вещественными коэффициентами ).

Теорема была доказана Даламбером (1717 – 1783) и Гауссом (1777 – 1855) еще в XVIII веке, хотя лишь в XIX веке эти доказательства были доведены до полной строгости. В настоящее время существует несколько десятков различных ее доказательств.

∆ Сначала cформулируем очень важный для доказательства

Принцип Руше: Приращение Arg f(z) при движении по замкнутому контуру С в

Выберем замкнутый контур C так:

C – окружность, с центром в начале координат пробегаемая против часовой стрелки.

Это всегда можно сделать с помощью выбора достаточно большого R ибо

Тогда: cArgf (z) cArgcn cArgzn cArg{...}.

При этом c Argcn 0 т.к. константа и ее аргумент не изменяются при обходе контура, c Arg{...} 0 т.к. выражение {...} при обходе контура С, описывает контур не содержащий начало координат и, следовательно:

c Argzn 2 n т.е. c Argf (z) 2 n .

и, согласно принципу Руше, функция f (z) имеет внутри контура (т.е. на комплексной плоскости) n корней, возможно совпадающих.

§ ТЕОРЕМА БЕЗУ.

Разделить многочлен P(x) на многочлен S(x) значит найти многочлены: Q(x) -неполное

Делимое делится на делитель нацело, если остаток тождественно равен 0; деление невозможно, если делитель тождественно равен нулю. Многочлен всегда нацело делиться

§. КОМПЛЕКСНЫЕ КОРНИ МНОГОЧЛЕНА С ВЕЩЕСТВЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.