Posobb
.pdf
( )=(T1+1)(T2+1)(T3+1)(T4+1)-1(T5+1)-1(T6+1)-1. Сначала в пред-
положении предельной квазистатической модели стержня ( ij aij(0) , i=1,2,3; j=1,2,3) путем минимизации интеграла (3.69) были выбраны пара-
метры |
корректирующего |
устройства |
T1=0,36; T2=0,2544; T3=0,246; |
||||
T =3,8 10-2; T =10-2; T =4,76 10- |
|
||||||
6 |
4 |
|
|
5 |
6 |
|
|
и |
вычислена переходная |
|
|||||
|
|
||||||
функция (0) (t) . |
|
|
|
||||
|
Затем в этой системе пре- |
|
|||||
дельная |
квазистатическая |
мо- |
|
||||
дель |
стержня была |
заменена |
|
||||
на динамическую и вычислена |
|
||||||
переходная функция (t). Ана- |
|
||||||
логично |
вычислена |
переход- |
|
||||
ная функция (2) (t) этой си- |
|
||||||
стемы |
с |
квазистатической |
|
||||
(2.24) моделью стержня. |
|
|
|||||
|
Как видно на рис. 3.9, кор- |
|
|||||
ректирующее устройство ( ), |
|
||||||
построенное |
на основе |
пре- |
Рис. 3.9 |
||||
дельной квазистатической мо- |
|
||||||
дели стержня, дестабилизирует систему как с динамической, так и с квазистатической моделями стержня на неучтенной форме колебаний. Заметим,
что графики (t) и (2) (t) практически совпадают.
На рис. 3.10 приведены графики (t) и (0) (t) , (2) (t) при
p=0,315, из которых видно, что снижение коэффициента усиления p сближает результаты пре-
дельного |
квазистатического |
(0) (t) , |
квазистатического |
(2) (t) и |
динамического (t) |
моделирования.
Далее |
в звене J =7,1 10-3; |
|
|
0 |
|
k =1,5 10-2; |
=4,8 10-3; p=31,5 с |
|
0 |
|
|
динамической моделью стерж- |
|
|
ня без груза m2=J2=0 было |
|
|
сформировано корректирующее |
Рис. 3.10 |
|
устройство вида
( )=(T1+1)(T2+1)(T3+1)(T4+1)-1(T5+1)-1(T6+1)-1(T72 2+21T7+1)
71
(T 2 2+2 T +1)(T 2 2+2 T +1) –1(T |
2 2+2 T |
+1) –1, |
(3.71) |
||||||
8 |
2 |
8 |
9 |
3 |
9 |
10 |
4 |
10 |
|
T =0,36; T =0,2544; T =0,246; T =0,038; T =10-2; T =4,76 10-6; |
|
||||||||
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
6 |
|
T =0,07246; =10-3; T =2,934 10-2; =7 10-2; T =0,284; =10-3; |
|
||||||||
7 |
|
1 |
8 |
|
2 |
|
9 |
3 |
|
T =4,575 10-2; |
=4 10-2. |
|
|
|
|
|
|
||
10 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.11 |
Рис. 3.12 |
На рис. 3.11 показаны графики переходных функций (t) и 1(t), а на
рис. 3.12 - частотный годограф D(i ) системы в специальном масштабе |
||||||||||
u iv D(i ) Arsh |
|
D(i ) |
|
|
|
D(i) |
|
. |
Данная система удовлетворяет теоре- |
|
|
|
|
|
|||||||
мам 3.5 и 3.6 об асимптотической устойчивости и здесь n+=12, =1. |
||||||||||
В случае звена с такими же |
параметрами J =7,1 10-3; |
k =1,5 10-2; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
=4,8 10-3; p=31,5, но с грузом m2=0,34, J2=0,1 на конце стержня при синтезе по предельной квазистатической модели стержня корректирующее устройство имеет вид
( )=(T +1)(T +1)(T +1)(T +1)-1(T +1)-1(T +1)-1 |
|
|
||||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
(T 2 2+2 T +1)(T 2 2+2 T +1)(T 2 2+2 T +1) –1(T |
2 2+2 T |
|
+1) -1, |
|||||||||
7 |
1 |
7 |
8 |
2 |
8 |
9 |
3 |
9 |
10 |
4 |
10 |
|
T =1,36; |
T =0,96; |
T =4 10-3 |
; T =0,0381; T =10-2; |
|
|
|
(3.72) |
|||||
1 |
2 |
|
|
3 |
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
T =10-4; |
T =0,2206; |
=10-2; |
T =5,54 10-2; |
=5 10-2; |
|
T =0,446; |
=4 10-3; |
|||||
6 |
7 |
|
|
1 |
|
8 |
|
2 |
|
9 |
|
3 |
T =0,1193; |
=10-2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72
|
Графики переходных функций |
|
|||
системы с данным корректирую- |
|
||||
щим устройством в случае дина- |
|
||||
мической (t), квазистатической |
|
||||
(2) (t) и предельной квазистати- |
|
||||
ческой (0) (t) моделей стержня |
|
||||
приведены на рис. 3.13. Из срав- |
|
||||
нения графиков на рис. 3.13 и рис. |
|
||||
3.9 видно, что введение груза на |
|
||||
конце стержня сближает графики |
|
||||
(t) (2) (t) и (0) (t) . Уменьше- |
|
||||
ние |
коэффициента |
демпфирова- |
|
||
ния k0 вала 1 следящего привода |
Рис. 3.13 |
||||
звена даже до нуля не приводит к |
|||||
|
|||||
нарушению |
критерия устойчиво- |
|
|||
сти и весьма слабо влияет на пе- |
|
||||
реходные функции как при наличии груза на конце стержня, так и без него. |
|||||
Однако изменение коэффициента внутреннего трения в стержне суще- |
|||||
ственно влияет на динамику звена. Для звена с параметрами J0=10-6; k0=0; |
|||||
p=31,5, корректирующим устройством (3.72) и динамической моделью |
|||||
стержня без груза на конце вычислены и приведены на рис. 3.14 и 3.15 |
|||||
устойчивые частотные годографы D(i ) |
и переходные функции (t) при |
||||
=10-1, 10-2, |
10-3, а на рис. 3.16 при =10-5, 10-6 - неустойчивые частотные |
||||
годографы. |
|
|
|
||
|
Аналогично, для звена с такими же параметрами J0=10-6; k0=0; p=31,5, |
||||
корректирующим устройством (3.72), с динамической моделью стержня и |
|||||
грузом m =0,34, J =0,1 на конце, как видно из рис. 3.17 и 3.18 при =10-1, |
|||||
|
2 |
2 |
|
|
|
10-2, 10-3 частотные годографы D(i ) и переходные функции (t) устойчи- |
|||||
вые, а при =10-5, 10-6 (рис. 3.19) частотные годографы неустойчивые. |
|||||
73
Следовательно, звено [9] без обратной связи по положению и скорости выходной точки при 0 является неустойчивым, что согласуется с результатами работы [15]. Но, если в рассматриваемом звене динамическую модель стержня заменить на предельную квазистатическую, то даже при=0 удается выбрать конечномерное корректирующее устройство, обеспе-
Рис. 3.14 |
Рис. 3.16 |
Рис. 3.15 |
Рис. 3.17 |
чивающее устойчивость системы управления и заданное качество переходной функции (0)(t).
74
Рис. 3.18 |
Рис. 3.19 |
Подобным образом можно провести динамическое моделирование, например, спутника с гибкими стержнями [16] и системы стабилизации положения круглой мембраны [17].
75
Глава 4 Многомерные комбинированные динамические системы
(КДС)
В данной главе будем рассматривать многомерную КДС общего вида, преобразующую входную a-мерную вектор-функцию x(t)=(x1(t), x2(t),…, xa(t)) в выходную b-мерную вектор-функцию y(t)=(y1(t), y2(t),…, yb(t)). Оператор многомерной КДС, представляемый явно системой связанных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и уравнений с частными производными (УЧП) с граничными условиями (ГУ), условиями связи (УС) и начальными условиями (НУ), для краткости и наглядности будем записывать в векторной форме. Для анализа многомерной КДС в векторной форме нам потребуются основные определения и правила действий над функциональными матрицами и вектор-функциями от скалярных и векторных аргументов, элементы теории дифференциального и интегрального исчисления вектор-функций, а также формула Тейлора для вектор-функции от многих вектор-аргументов и приложение метода многих масштабов для асимптотического анализа нелинейной КДС в векторной форме.
4.1. Основные определения
Определение 4.1. Всякую матрицу, элементами которой являются функции, называют функциональной матрицей. Например
a11(t) ... |
a1b (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
A(t) ... |
|
|
|
|
a |
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
... |
|
... |
, |
i 1, k; |
j 1,b , |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
k1 |
(t) ... |
a |
kb |
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где aij(t) – функции от скалярного аргумента t; i – номер строки; j – номер столбца; (k b) – размер матрицы.
Определение 4.2. Всякую столбцевую функциональную матрицу размера (k1)
a1(t)
a(t) ... a1(t),..., ak (t)ak (t)
будем называть k-мерной вектор функцией от скалярного аргумента t. Определение 4.3. Если функция f(x1,x2,…,xk) есть функция k скалярных
аргументов xi ( i 1, k ), то обозначают
76
x1 |
|
|
|
|
f (x), x ... |
|
(x ,..., x ) , и называют эту функцию функцией от |
||
|
|
|
1 |
k |
|
|
|
||
x |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
вектор-аргумента х. |
|
|
||||
Определение |
|
4.4. |
Если |
|||
|
f1(x1,...xk ) |
|
|
|||
F (x) |
|
|
... |
|
f1 |
(x1,...xk |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
f |
n |
(x ,...x |
) |
|
|
|
|
1 k |
|
|
|
|
имеет место следующее равенство
),..., fn (x1,...xk ) ,
то F(x) называют n-мерной вектор-функцией от k-мерного вектор-аргумента
x=(x1,…,xk).
Определение 4.5. Если функция F может быть записана в виде
|
f1 |
(x1,..., xk , y1,..., ym ,........., z1,..., zp ) |
|
||||||||
|
f |
|
(x ,..., x |
|
, y ,..., y |
|
,........., z ,..., z |
|
) |
|
|
F (x, y,..., z) |
|
2 |
1 |
|
k |
1 |
m |
1 |
p |
|
|
|
|
|
|
................................. |
|
|
|
||||
|
fn (x1 |
,..., xk , y1,..., ym ,........., z1,..., zp ) |
|
||||||||
|
|
||||||||||
то F(x,y,…,z) называют n-мерной вектор-функцией от многих вектораргументов
x1 |
|
|
y1 |
|
|
|
x ... |
|
, |
y ... |
|
,...., |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
k |
|
|
|
m |
|
|
Определение 4.6.
z1 z ...
zp
Пусть дана а-мерная вектор-функция
x1(t) |
|
|
|
|||
x(t) |
... |
|
x (t),..., x |
(t) . Тогда модуль-вектором |x(t)| вектор-функции |
||
|
|
|
|
1 |
a |
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
(t) |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
x(t) будем называть а-мерный вектор абсолютных значений элементов век- тор-функции x(t), то есть
x1(t)
x(t) ... x1(t) ,..., xa (t)
x (t)a
Определение 4.7. Длиной (нормой) а-мерной вектор-функции x(t) называют положительное число:
x(t) |
|
|
|
x |
(t) |
|
2 |
|
x |
(t) |
|
2 ... |
|
x (t) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
a |
|
|
Определение 4.8.Единичным а-мерным вектором назовем вектор Е, все элементы которого равны единице, то есть
77
|
1 |
|
E ... |
(1,1,...,1) . |
|
|
|
|
|
1 |
a |
|
|
|
Следовательно, E=E – есть вектор,
|
|
|
a |
1/ 2 |
|
|
|
E |
|
|
12 |
|
a – число. |
||
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
Замечание 4.1 Пусть даны два а-мерных вектора x и y, тогда
1)x=y , если xi=yi ,
2)x<y , если xi<yi ,
3)x>y , если xi>yi ,
4)x=0 , если xi=0 ,
5)x< , если xi< ,
6)x=1 , если xi=1 , (i=1,2,…,a)
Легко видеть, что
1)из условия x<y не следует ||x||<||y||,
2)из условия |x|<|y| следует ||x||<||y||,
3)из условия ||x||<||y|| не следует |x|<|y|,
4)условия |x|< , ||x||< , |xi|< (i=1,2,…,a) равносильны.
Определение 4.9. Если дана матрица A [aij ], i 1,m, j 1,k то матрицей абсолютных значений элементов матрицы А назовем матрицу вида
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| A | [| aij |
|], i 1,m, |
j 1,k |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Определение 4.10. Нормой матрицы A [aij ], i 1,m, |
j 1,k назовем |
|||||||||||||
действительное положительное число |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
k |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|| A || |
| aij |
|2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
j 1 |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Замечание 4.2. Если aij=1, то нормой матрицы A [aij ], i 1,m; |
j 1,k |
|||
является действительное положительное число |
|
|
||
||A||=(km)1/2, где (m k) – размер матрицы A. |
|
|
||
Определение 4.11. Матрицей В с трехиндексными элементами bijv ,
( i 1, n ; j 1, m ; v 1, k ) будем называть матрицу размера (n m k), записываемую по правилу
78
b111 |
b112 |
... |
b11k |
b121 |
b122 |
... |
b12k |
... |
b1m1 |
b1m2 |
... |
b1mk |
b |
b |
... |
b |
b |
b |
... |
b |
... |
b |
b |
... |
b |
B 211 |
212 |
|
21k |
221 |
222 |
|
22k |
|
2m1 |
2m2 |
|
2mk |
... |
... ... ... |
... |
... ... ... |
... |
... |
... ... ... |
||||||
|
bn12 |
|
bn1k |
bn21 |
bn22 |
|
bn2k |
|
bnm1 |
bnm2 |
|
bnmk |
bn11 |
... |
... |
... |
... |
||||||||
(4.1)
или B b |
|
|
|
|
|
|
|
, i 1,n; j 1,m; v 1,k . |
|||||||
ijv |
|
|
|
|
|
|
|
Определение 4.12. Вектор-произведением m-мерного вектора x=(x1,…,xm) на k-мерный вектор y=(y1,…,yk) будем называть mk-мерный вектор xy, записываемый по правилу
xy x1 y1, x1 y2 ,..., x1 yk , x2 y1, x2 y2 ,..., x2 yk ,..., xm y1, xm y2 ,..., xm yk |
(4.2) |
||||||||||||||||
Заметим, что xy yx. Например, |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x1 y1 |
|
|
|
|
|
|
|
y1x1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y x |
|
|
|
|
|
y |
|
1 |
2 |
|
|
y |
|
|
|
|
1 2 |
|
|
||
x1 |
|
1 |
|
x1 y3 |
|
|
1 |
|
x1 |
|
y2 x1 |
|
|
||||
x |
|
y2 |
x y |
|
|
y2 |
x |
|
y |
x |
|
|
|||||
2 |
|
y |
3 |
|
2 1 |
|
|
y |
3 |
|
2 |
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
y x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 y3 |
|
|
|
|
|
|
y3 x2 |
|
||||
Определение 4.13. Вектор квадратом а-мерного вектора х назовем а2- мерный вектор х2, записанный по правилу
x2 x x , x x ,..., x x , x x , x x ,..., x x |
,....., x x , x x ,..., x x |
|
(4.3.) |
|||
1 1 1 2 |
1 a 2 1 2 2 |
2 a |
a 1 a 2 |
a a |
|
|
Замечание 4.3. Не следует путать вектор-квадрат х2 со скалярным квад-
a
ратом x x xi2
i 1
Определение 4.14. Двухиндексной последовательностью элементов сj , j=1,2,…,m; =1,2,…,k будем называть последовательность элементов вида
с11 с12…с1k с21 с22 с2k….. сm1 сm2 сmk (4.4)
Замечание 4.4. Легко видеть, что в матрице (4.1) с трехиндексными элементами bij , i=1,2,…,n; j=1,2,…,m; =1,2,…,k каждая i-я строка является двухиндексной последовательностью элементов по индексам j, j=1,2,…,m; =1,2,…,k.
4.2. Действия над функциональными матрицами и вектор-функциями
4.2.1. Пусть дана функциональная матрица A(t)=[aij(t)], i=1,2,…,m; j=1,2,…,k; где aij(t) – определенные на отрезке [t1,t2] непрерывные и дифференцируемые функции от одной скалярной переменной t.
79
Производная функциональной матрицы A(t) по скалярному аргументу t есть соответствующая матрица производных элементов матрицы A(t), то есть
dA(t) |
|
daij (t) |
|
A(t) a (t) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
, |
i 1, m; |
j 1, k |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
dt |
|
dt |
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Дифференциалом матрицы A(t) является соответствующая матрица дифференциалов элементов матрицы A(t), то есть
dA(t) a (t)dt |
|
|
|
|
|
|
|
dA(t) A(t)dt , |
i 1,m; |
j 1,k |
|||
ij |
|
|
|
|
|
|
Определенным (неопределенным) интегралом матрицы A(t) является соответствующая матрица определенных (неопределенных) интегралов элементов матрицы A(t), то есть
t2 |
t2 |
|
|
aij |
|
|
|
|
|
|
|
|
A(t)dt aij |
(t)dt , |
A(t)dt |
(t)dt |
, |
i 1,m; |
j 1, k . |
||||||
t |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.2.2. Пусть дана определенная на отрезке [t1,t2] непрерывная и дифференцируемая вектор-функция (t)=(1(t),…, m(t)). Тогда производная, дифференциал и интеграл вектор-функции (t) определяются по правилам
из пункта
(t)
4.2.1
1(t) |
|
d 1(t) |
1(t)dt |
|
||||||
|
|
|
, |
d (t) |
|
|
|
|
|
(t)dt , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t) |
|
d |
m |
(t) |
|
(t)dt |
|
||
|
m |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
t2 t1
t2 |
|
|
|
|
|
1(t)dt |
|
||
t1 |
|
|
|
|
(t)dt |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
m |
(t)dt |
|
t |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1(t)dt |
||
|
|
|
|
(t)dt |
|
|
. |
|
|
m |
|
|
|
||
|
|
(t)dt |
|
Пусть дана дифференцируемая n-мерная вектор-функция F(x) от k-мерного вектор-аргумента x
F1 |
(x1,..., xk ) |
F1 |
(x) |
|
||||
F (x) |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (x ,..., x |
) |
F (x) |
|
|||||
|
n |
1 |
k |
|
|
n |
|
|
|
x1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
Определим дифференциал этой вектор-функции. Следуя известному правилу вычисления полного дифференциала скалярной функции многих скалярных аргументов, запишем
80