Posobb

Здесь 0( ), 1( ), 2( ), y1( ), y(z, ) L1( ), L2( ), N2( ) – изображения соот-

ветствующих оригиналов; A( ) и B( ) – многочлены; П() – рациональная дробь; – произвольный комплексный параметр

Замечание 2.1. Существуют Лапласовы изображения

иy(z,t) M eC0t при t 0, z [0,1] .

Замечание 2.2. В стержне будут отсутствовать пластические деформа-

ции, если характерный прогиб удовлетворяет условию s2 10 3[м]; по- d

этому можно принять s2 10 3[м] , где d - характерный диаметральный d

размер поперечного сечения стержня в направлении изгиба.

2.2. Реакция линейной стационарной КДС

Общее решение линейного обыкновенного неоднородного дифферен-

где yH – частное решение неоднородного уравнения (2.3); y0 – общее решение однородного уравнения

Как видно функции А.Н.Крылова линейно независимы и являются решениями однородного уравнения (2.7), так как при подстановке их в (2.7) последнее уравнение обращается в тождество. Следовательно,

где А, В, С, D – произвольные не зависящие от z величины (постоянные интегрирования).

Частное решение неоднородного уравнения (2.3) согласно виду правой части найдем в форме

Подставляя (2.9) и (2.10) с учетом (2.11) в (2.6), запишем общее реше-

Решая систему алгебраических линейных неоднородных уравнений (2.16) по формулам Крамера, получаем

11 12 13

D() 21 22 23

31 32 33

Выражения (2.20) - (2.23) определяют КДС с динамической моделью стержня, где весь бесконечный спектр собственных частот и форм колеба-

ний стержня учитывается через переменные коэффициенты ij ( i, j 1,3), которые являются функциями комплексной переменной .

Отметим важные свойства функции ij ( i, j 1,3).

функции А.Н. Крылова S(k), T(k), U(k), V(k) в виде разложений по степеням малого k<<1. После подстановки этих разложений в (2.20) и приведе-

Пояснение 2. Подставим i в (2.25) и запишем

44

lim ij (i) const

Определение значений ij (i,j =1,2,3) сводится к вычислению на ПЭВМ частотных годографов ij (i )(i ) ij и выбору таких действительных чиселij , при которых ij (i)(i) ij const при . Как видно из (2.26), значения ij (i,j =1,2,3) оказались кратны числу 0,25.

2.3.Обобщенная передаточная функция

Согласно (2.23) Ф( ) Q() D() является передаточной функцией

упругого звена манипулятора. Элементы ij , i, j 1,3 являются сложными

функциями от и согласно (2.22) содержат не только с целыми степенями (в нашем случае и 2), но и трансцендентные функции ij (i,j =1,2,3) от k k() 2(1 ) 1/ 4

Следовательно, Q() и D() представляются в форме квазимногочленов с переменными коэффициентами [10]

дробью. Здесь степени m и n квазимногочленов определяются ОДУ в изображениях (2.2), а зависимость переменных коэффициентов от в квазимногочленах определяется УЧП в изображениях (2.3), а также ГУ (2.4) и УС (2.5) в изображениях.

Далее передаточную функцию, представленную в форме квазирациональной дроби

будем называть обобщенной передаточной функцией, так как динамическая модель (2.28) дискретно-континуальной системы исчерпывающе учитывает и обобщает динамические характеристики дискретной конечномерной подсистемы и континуальной бесконечномерной подсистемы.

2.4.Квазистатическая модель линейной КДС

Построим квазистатическую модель линейной КДС (2.1) по методу последовательных приближений.

45

На первом этапе исключаем в УЧП системы (2.1) все члены, содержащие производные по времени t, проводим интегрирование по пространственной координате z, и при заданных ГУ находим статическое решение УЧП нулевого приближения. На втором этапе подставим решение нулевого приближения в члены УЧП, содержащие частные производные по времени,

ние по z при нулевых ГУ, находим квазистатическое решение УЧП, зависимость которого от времени осуществляется через ГУ и правую часть УЧП. Подставляя это квазистатическое решение в УС и далее в ОДУ системы (2.1), получаем модель линейной КДС в форме обыкновенной динамической системы, содержащей ОДУ и НУ.

Производя прямое интегральное преобразование Лапласа при нулевых НУ, находим квазистатическую модель линейной КДС в виде

Здесь числа aij(0) , aij(2) (i,j=1, 2, 3) известны из (2.24). Заметим, что квазиста-

тическая модель (2.29) может быть получена из динамической модели

(2.20), (2.22), (2.23), если подставить (2.24) в (2.22), (2.23) с учетом

ij 1 aij(0) 1 aij(2) 2 O( 3 ) , j 1,2, i 1,3ij 2 aij(0) 2 O( 3 ), j 3, i 1,3

46

Легко видеть, что здесь Ф(2) ( ) есть квазистатическая передаточная функция, которая представляется в форме отношения многочленов с постоянными коэффициентами

Полагая в (2.29) aij(2)=0, i=1,2,3, j=1,2, получаем предельную квазистатическую модель КДС

и предельную квазистатическую передаточную функцию в форме отношения многочленов с постоянными коэффициентами

Заметим, что квазистатическая модель (2.30) и предельная квазистатическая модель (2.32) являются конечномерными.

47

Глава 3 КВАЗИМНОГОЧЛЕНЫ И КВАЗИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ

В ТЕОРИИ КДС

Из предыдущей главы известно, что линейная одномерная стационарная КДС, имеющая точное решение, сводится к обобщённой передаточной функции в форме отношения квазимногочленов, то есть в форме квазирациональной дроби.

Вопросы физической возможности, анализа устойчивости и параметрического синтеза линейных стационарных КДС излагаются в предлагаемой главе на языке теории квазимногочленов и квазирациональных дробей.

На первом этапе приведём элементы теории функции комплексной переменной из [3], [11], [12], [13], [14], необходимые для изложения теории квазимногочленов и квазирациональных дробей.

3.1. Элементы теории функций комплексной переменной

Пусть z=x+iy - комплексная переменная, где x и y - действительные переменные, i - мнимая единица. Тогда всякую функцию f(z)=f(x+iy) называют функцией комплексной переменной (ФКП).

Определение 3.1. ФКП f(z) называют аналитической в области D, если она определена, непрерывна и имеет непрерывную производную во всех точках области D.

Здесь |z| - модуль z, Argz - аргумент z, argz - главное значение аргумента z.

Выражение (3.1) является логарифмической ФКП.

3.1.2. Полюс k-го порядка

Пусть ФКП f(z) аналитична в области D всюду, кроме особой изолированной точки z=a.

Определение 3.2. Точку z=a называют полюсом ФКП f(z), если f(z) од-

нозначная функция и lim f (z) .

z a

Определение 3.3. Если

48