Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский Государственный Технический Университет им. Ю.А. Гагарина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Posobb

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2015

Размер:

2.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

Уравнения КДС второго приближения

2 y

Cy2 An2

t0 t1

0w2 1w1 2w0 0w1 2w0																								V		y2				V			y					y	2
																																		1					2
																									y					y			t1
																									y					y			t1					t0
	V		2 y				2 y								2 y						1
			22	2						1								0					2
	y		22	2		t0 t1												2			2		2
	y		t0			t0 t1									t1						2
	z=0: w (0,t						,t ,t					)					2		(P )		,		w (0,t					,t ,t				)E				2	(P )
			2		0			1		2							2			1				2			0		1		2					2		2
	z=1: w (1,t					,t ,t					)					2		(P ) ,				w			(1,t		,t		,t		)E				2	(P )
			2		0			1		2						2				3				2		0		1		2					2			4
					Pj								1
			(P )		Pj			y	2				1			3			, j		1,4 ,


		2	j		y								2
					y								2
	n2 g0 f (w2 ) g1 f (w1) g2 f (w0 ) ,
	t0= t1= t2=0:								y2 (0,0,0) 0 ,															y2		(0,0,0)								y1(0,0,0)						0 ,
	t0= t1= t2=0:								y2 (0,0,0) 0 ,																	t0											t1			0 ,
																										t0											t1
	w2 (z,0,0,0) 0 ,													w2 (z,0,0,0)													w1(z,0,0,0)									0 ,
	w2 (z,0,0,0) 0 ,																		t0												t1					0 ,
																			t0												t1

(4.89)

(4.90)

(4.91)

(4.92)

Заметим, что согласно начальным условиям (4.83), (4.88) и (4.92) в начальный момент времени система находится в покое.

4.7.3. Нулевое приближение

Уравнения (4.79) – (4.83) нулевого приближения определяют пространство состояний y0 (t1), w0 (z,t1) подвижного равновесия нелинейной КДС.

Так как операторы в матрицах 0 и 0 не содержат производных по t1 (см. пример 4.1) и в выражениях 0w0 (z,t1) 0w0 (z,t1) обнуляются производные

по t0, то уравнение (4.80) с частными производными здесь вырождается в обыкновенное дифференциальное уравнение с аргументом z, а медленное время t1 является параметром.

Интегрируя (4.80) по z при граничных условиях (4.81), находим

w (z,t ) w0[z, x (t ), y (t )]													(4.93)
0		1		0	0	1	0	1
Подставляя (4.93) в (4.82), получаем
n (t ) n0[x(t ), y(t )]
0		1	0		1	1
и далее введём в (4.79)
F[x (t ), y (t ),0,0, n0						(x (t ), y (t ));0] 0				F 0 (x (t ), y (t )) 0
0	1	0	1		0	0	1	0	1	0	1	0	1
y	(t ) f 0			(x (t ))									(4.94)
0		1		0	1

101

Замечание 4.9. Условие существования решения (4.93) и (4.94) нелинейной задачи нулевого приближения (4.79)-(4.83) является для дальнейшего анализа обязательным.

Замечание 4.10. Данное решение является квазистатическим и начальные условия (4.83) остались невостребованными.

4.7.4. Первое приближение

Линейные дифференциальные уравнения первого приближения (4.84)- (4.88) определяют быстрое малое движение КДС относительно пространства состояний подвижного равновесия. Введём в рассмотрение прямое интегральное преобразование Лапласа по t0


y1( ,t1,t2 ) e t0 y1(t0 ,t1,t2 )dt0 ,	x1( ) e t0 x1(t0 )dt0 ,
0	0

w1(z, ,t1,t2 ) e t0 w1(z,t0 ,t1,t2 )dt0 ,	n1( ,t1,t2 ) e t0 n1(t0 ,t1,t2 )dt0
0	0

Производя прямое интегральное преобразование Лапласа в линейных уравнениях (4.84)-(4.87) при нулевых начальных условиях (4.88), получаем уравнение КДС первого приближения в изображениях

(M 2 K C) y1 An1 Bx1

0w1

V	y	V			1
	0		1w0	1w0
y1	t1		1w0	1w0
y1	t1

z 0 :	w (0,,t ,t					) (P ) ,						w (0,,t ,t				)E (P ) ,
		1	1		2				1	1	1			1	2	1	2
z 1:	w (1,,t ,t				) (P ) ,						w (1,,t ,t				)E (P )
		1	1	2				1		3	1		1	2		1	4
		Pj		Pj			1
(P )		Pj	y	Pj			1		,	j 1,4.


1 j		y	1
		y
n1 g0 f (w1) g1 f					w0

(4.95)

(4.96)

(4.97)

(4.98)

Интегрируя обыкновенные дифференциальные уравнения (4.96) по z при граничных условиях (4.97), получаем точное решение

w1(z, ,t1,t2 ) w10				, x1( ), y1( ,t1,t2 ), w0 (z, x0 (t1), y0 (t1)),		y	(t )
w1(z, ,t1,t2 ) w10			z,	, x1( ), y1( ,t1,t2 ), w0 (z, x0 (t1), y0 (t1)),		0	1
						t1
w11					y
w11	z,, x1	, y1, x0	, y0	,	0			(4.99)
					t1

102

Подставим (4.99) в (4.98)

(,t1,t2 ) n11

, x1

, y1, x0

, y0

Преобразуем далее

An1

к виду

An1

[m( ) 2 k( ) c( )]y1

An11 , x1, y1

, x0 , y0 ,

(4.100)

b( )x1( ) 1 x0 , y0 ,

Вводя (4.100) в (4.95), получаем обобщённую модель КДС первого приближения

B b( ) x1

G( ) y1

, y0 ,

(4.101)

G( ) [(M m( )) 2 (K k( )) C c( )]

Домножая левую и правую части (4.101) слева на обратную матрицу G- 1, находим изображение выходной вектор-функции КДС в первом приближении

y1 y1

y1 ,

где:

B b( ) x1

y1x G

Ф ( ) x1

Q ()

Ф ( )

1,b , 1, a ,

D()

G 1 (M m( )) 2

(K k( )) C c( ) 1

1,b , p 1,b ,

Q ( ) B ( ) m

B ( ) m 1

... B ( )

D() det G A ( ) n A ( ) n 1

... A ( ) ,

g p () ,D()

n m

(4.102)

(4.103)

Здесь

y1x

есть вектор-изображение реакции первого приближения на

входное возмущение x1 .

S11

( )

S( )

, S( ) G

x , y

( )

S 1( )

L ()

R0 ( ) m R1 ( ) m 1 ... Rm ( )

(4.104)

n 1

D( )

A0 ( )

A1( )

... An ( )

103

n m m , 1,b.

Здесь y10 есть вектор изображений функций влияния нулевого приближения на решение первого приближения. Легко видеть, что y10 является

изображением переходной вектор-функции системы с вектором передаточных функций S( ) .

Теорема 4.1. Если квазирациональные дроби Ф ( ) , 1,b; 1,a из

(4.103) являются физически возможными, то квазирациональные дроби S 1() из (4.104) также являются физически возможными.

Доказательство. Из (4.103) и (4.104) имеем

()

Q ()

g p ()

()

D()

f () () ,D() D()

[Q ( )] [ f ( )] [ ( )],

(4.105)

где

f () g p ()Bp ,

() g p ()bp ( )

(4.106)

p 1

Так как

()

Q ()

по условию теоремы есть физически воз-

D()

можные квазирациональные дроби, то существуют пределы

lim

D()

lim

Q ()

c .

(4.107)

где: n, m=m

и , = – степени и приращения степеней (при )

соответственно квазимногочленов D( ) и Q ( ), и выполняются условия

n+>m++1,

c 0

(4.108)

Re (i ) Re (i ),

Im (i ) Im (i)

(4.109)

Согласно (4.105) и (4.107) запишем

lim

Q ()

lim

f ()

lim

()

Из данного равенства следует, что существуют пределы

lim

()

c ,

104

	lim	f ()	c ,	c		(4.110)
		f ()

		m	f	f

Для выполнения условий (4.109) согласно (4.105) достаточно, чтобы
Re D( i ) Re D(i ),					Im D( i ) Im D(i) ,
Re f ( i ) Re f (i ),					Im f ( i ) Im f (i) ,	(4.111)
Re ( i ) Re (i ),					Im ( i ) Im (i) .
Так как квазирациональные дроби f ( ) D( ) , ()						D () удовле-

творяют условиям (4.108), (4.110), (4.111), то они являются физически возможными. Следовательно, в соответствии с выражениями (4.106) ква-

зирациональные дроби			g p () D() также являются физически возмож-
ными. Из (4.104) имеем
g p ( )

S( )		H p1	S 1( ) , , p 1,b ,

	D( )

H		K y0	F		x , y ,
	p1	t1		1		0 0
		t1

где
b	g	p	()		L ()
S 1()		p		H p1
S 1()	D()			H p1	D()
p 1	D()				D()
p 1

y0 ,t1

(4.112)

Так как Hp1, p 1,b не зависят от , а g p () D() – физически воз-

можные квазирациональные дроби, то согласно (4.112) квазирациональные дроби S 1( ) являются физически возможными. Теорема доказана.

Теорема 4.2. Если квазирациональные дроби Ф ( ) Q ( ) D( ) ,1,b; 1,a физически возможные и квазимногочлен D( ) устойчивый,

то квазирациональные дроби k 1, N асимптотически устойчивые.

Доказательство.

Так

как

квазирациональные

дроби

D(k ) (ik )

(ik ))(ik )2 (K

(ik ))(ik ) c

(ik ) y

n,k

n 1

физически

возможные,

то по

теореме

4.1

квазирациональные

дроби

S 1() L ()

D(),

1,b являются физически возможными. Пусть ква-

зимногочлен

D( )

устойчивый. Тогда квазирациональные дроби

S 1( ) L ( )

D( )

удовлетворяют теореме 3.6 и являются асимптотиче-

ски устойчивыми. Теорема доказана. Из теорем 3.6, 4.1 и 4.2 следует:

105

Предложение 4.1. Если физически возможные квазирациональные дроби Ф ( ) Q ( ) D( ) асимптотически устойчивые, то квазирацио-

нальные дроби S 1() L () D() также асимптотически устойчивые.

Из теоремы 3.7 следует:

Предложение 4.2. Если квазимногочлен D( ) имеет в правой половине комплексной плоскости ( ) хотя бы один корень, не совпадающий с кор-


нями квазимногочленов			L ( ) ,		то	квазирациональные		дроби
S 1() L () D() являются неустойчивыми.
Предложение 4.3. Если квазирациональные дроби
Ф ( ) Q ( )	D( ) ,	S 1() L () D()				физически возможные и
асимптотически	устойчивые,			то	решение		y1(t0 ,t1,t2 ) y1x(t0 ,t1,t2 )
y10 (t0 ,t1,t2 )	КДС	первого		приближения			удовлетворяет	условию

y1(t0 ,t1,t2 ) .

Доказательство. Согласно (4.102) – (4.104) имеем y1(,t1,t2 ) [ ()]x1() S()

Так как [ ()] и S( ) есть матрицы асимптотически устойчивых квазирациональных дробей, то, если t0 0 : x1(t0 ) есть кусочно-непрерывная ограниченная а-мерная вектор-функция и t0 0 : x1(t0 ) 0 , то согласно

(4.45), (4.43)

y (t

,t ,t

)

ReФ (i ) cos (t

) d x ( )d

sin(t0 )

Re S(i )

d ,

t0 0

(4.113)

S11(i )

S(i )

(i )

Заметим,

что

вектор-функция

y1(t0 ,t1,t2 )

есть решение уравнений

(4.84)-(4.88) КДС первого приближения. Здесь t1 и t2 являются параметрами, которые содержатся в коэффициентах частотных характеристик

Ф (i) и S 1(i ) , 1,b ; 1,a .

В силу ограниченности a-мерной вектор-функции x1(t0) существует такой a-мерный вектор M=(M,…,M)>0, что x1(t0)<M< . Следовательно

	2
				) d x1( )d

			ReФ (i ) cos (t0
		0
106

cos (t0

) d

ReФ (i ) M

sin t

ReФ (i ) M

С учетом данного неравенства из (4.113) имеем

y1(t0 ,t1,t2 )

Re (i )

Re S(i )

d .

Так как квазирациональные дроби ( ) и S 1( ) физически возмож-

ные и

асимптотически устойчивые,

то [0, ):

Re (i)< ,

ReS(i)< ,

lim

Re (i )

lim

Re S 1 (i )

0 и,

следовательно,

y1(t0 ,t1,t2 ) . Что и требовалось доказать.

Замечание 4.10. КДС первого приближения будем называть асимпто-


тически	устойчивой,		если	квазирациональные	дроби
Ф ( ) Q ( ) D( ) ,
Ф ( ) Q ( ) D( ) ,		1,b; 1,a		физически возможные и асимпто-
тически устойчивые.

Замечание 4.11. Если элементы матрицы [Ф ( )], то есть квазирациональные дроби Ф ( ) , асимптотически устойчивые, то элементы матрицы

G 1( ) , то есть квазирациональные дроби g p () , также асимптотически

D()

устойчивые.

4.7.5. Второе приближение

Полагаем, что КДС первого приближения асимптотически устойчивая и после параметрического синтеза безразмерные коэффициенты затухания переходных функций имеют порядок O(1). При этом во втором приближении не возникают секулярные члены. Определим решение системы уравнений (4.89) – (4.92) КДС второго приближения. Принимая во внимание интегрирующие свойства системы, учтем нелинейные выраженя

j , j 1,3; 0w1 , 2w0 приближенно по методу усреднения

								1		t0
	j	(t ,t	2	) lim				1						j	(t		0	,t ,t	2	) dt			0	,		j 1,3			(4.114)
		(t ,t		) lim											(t			,t ,t		) dt				,		j 1,3			(4.114)
		1				t0	t											1
						t0	t		0
									0	0
						) lim					1		t0
	w (z,t ,t				2						1					w (z,t					0	,t ,t			2	) dt	0	,
	w (z,t ,t															w (z,t						,t ,t				) dt		,
0		1		1			t0 t										0	1					1
							t0 t					0
												0		0

107

2w0 (z,t1) lim t1 0 2w0 (z,t1) dt0 2w0 (z,t1) .

t0 0 0

Подставляя (4.114) в правые части выражений (4.89) – (4.92) и производя прямое интегральное преобразование Лапласа, запишем уравнения КДС второго приближения в изображениях

M												2	y					2 y			1
M		2	K C y2 An2 M									2		1					2	0
		2												1						0
													t1					t1
K y1				1			1
				1			1
						1
	t			2		1
		1
								1							1								1
								1							1								1
0w2					1w1 2w0				0w1(z,t1,t2 )							2w0				(z,t1)
0w2					1w1 2w0				0w1(z,t1,t2 )							2w0				(z,t1)

	V			V				y		V				2			y					2 y 1		1		1
	V	y2		V				y		V					2		y					2 y 1		1	2	1
		y2				y2		1			y2				2			1					2		2
								1										1					0
	y			y				t1		y							t1					t1		2

(4.115)

(4.116)

z=0: w (0, ,t ,t			)	(P )
2	1	2	2	1

z=1: w2 (1, ,t1,t2 ) 2 (P3 )

2 (Pj ) Pj y2 1 3 ,y 2

,	~	(0, ,t ,t				)E	(P )
	w
	2			1	2	2	2
,	~		(0,t	,t ,t		)E	(P )
	w
	2		0	1	2	2	4

j 1,4 ,

n2 g0 f (w2 ) g1 f (w1) g2 f (w0 )

Интегрируя обыкновенное линейное дифференциальное (4.116) по z при граничных условиях (4.117), получаем

w2 (z, ,t1,t2 ) w21

2 y

z, , y2

1 ,

, 1w1,

2w0 , 0w1, 2w0 , 2 , 3

Подставим это выражение в (4.118)

n12

2 y

, y2 , y1,

, 2 , 3

1 , y0

0 ,

Далее преобразуем An2 ( ) с учетом (4.99) к виду

An2 ( ) An21

2 y

, y2 , y1,

, 2 , 3

1 , y0

0 ,


m() 2		k() c() y b () y
						2		1	1
	y				y	2 y			1
	y				y	2 y			1
b2 ( )	1	2	y0	,	0 ,	0	, 2	, 3
b2 ( )	t1	2	y0	,	0 ,	2	, 2	, 3
	t1				t1	t1

Подставляем (4.119) в (4.115)

(4.117)

(4.118)

уравнение

(4.119)

108

G( ) y	2		b ( ) y ( ) y1
	2			1		1		t1
								t1
			y		2 y				1
			y		2 y				1
y0		,	0 ,		0	, 1, 2	, 3			(4.120)
y0		,	0 ,		2	, 1, 2	, 3			(4.120)
			t1		t1

G( ) [(M m( )) 2 (K k( )) (C c( ))]

Домножая левую и правую части равенства (4.120) на обратную матрицу G-1 слева, находим изображение решения КДС второго приближения

y ( ,t ,t

) G 1

( )b ( ) y G 1

( ) ( ) y1

G 1( )

(4.121)

G 1( )

()

1,b; p

1,b

D()

Заметим,

что нормы матриц

b1()

()

. Если

КДС первого приближения асимптотически устойчива, то согласно заме-

чаниям	4.10	и	4.11 квазирациональные	дроби g p () D(),

1,b;	p 1,b	асимптотически устойчивые и, следовательно, решение
y2(t0, t1,	t2)	КДС	второго приближения	удовлетворяет условию

y2 (t0 ,t1,t2 ) .

Если	t0 0 функции	y1(t0 ,t1,t2 ) ,	y1	(t0 ,t1	,t2 )	является кусочно-
				t1

непрерывными и ограниченными и t0< 0: y1=0, y1 t1 0 , то по аналогии с (4.113) имеем

			t0	2						y ( ,t ,t			)
y (t	,t ,t	)				Re G 1	(i) (i) cos[ (t	0	)]d		1	1 2		d
y (t	,t ,t	)				Re G 1	(i) (i) cos[ (t		)]d					d
2 0	1 2											t1
			0		0							t1

Re G 1(i)b (i) cos[ (t

)]d

y ( ,t ,t

(4.122)

1 1 2

sin t

Re G 1

(i )

Пусть квазирациональные дроби

g p ()

D() асимптотически устой-

чивы. Тогда согласно (4.121) все корни квазимногочлена D() лежат на комплексной плоскости слева от мнимой оси. При этом y2 ( ,t1,t2 ) является

аналитической функцией в правой половине комплексной плоскости и на мнимой оси. Следовательно, если существует предел

lim y2 (t0 ,t1,t2 ) y2 (,t1,t2 ) , то по известной из операционного исчисления

теореме о предельном значении оригинала с учетом (4.121) находим

109

y2 (,t1,t2 ) lim y2 (t0		,t1,t2 ) lim y2 (,t1,t2 )
	t0	0
	G 1( ) ( )	y ( ,t ,t	)	G 1( )b1	( ) y1	( ,t1,t2 ) G 1
lim	G 1( ) ( )	1 1 2		G 1( )b1	( ) y1	( ,t1,t2 ) G 1	( )	,
0		t1

Погрешность смещения от состояния подвижного равновесия КДС второго приближения, обусловленная нелинейными членами, имеет вид

	(t1,t2 ) G 1			y	2 y
				y	2 y
y2		(0) y0	,	0 ,	0	, 1, 2 , 3	(4.123)
y2		(0) y0	,	0 ,	2	, 1, 2 , 3	(4.123)
				t1	t1

Замечание 4.12. Пусть x0(t1) 0 и x1(t0)=(cost0, 0,0,…,0). Тогда

y0(t1)= w0(z,t1)=0, и вынужденные колебания в системе первого прибли-

жения имеют вид
y1		11(i )					cos t0 arg 11(i ) ,								0,	0,	..., 0
y1		11(i )					cos t0 arg 11(i ) ,								0,	0,	..., 0
Пусть							0	, 0			и				2 F	y2	, то есть
Пусть							0	, 0			и				y2	y2	, то есть
			0		2			2		3			1		y2	1
	1			0		0			y2		y2
										11		11
	0 0					0				0		0		,
	0			0		0					0			,
1	0			0		0					0
1

				(n b2)
				(n b2)					(b2 1)		(n 1)

y112 11(i) 2 cos2 t0 arg 11(i)

Тогда в соответствии с принятой формой записи (4.115) и (4.120) име-

														)							1									1	lim			1		t0			y2
ем		(																			1									1				1						, 0,		0,		...,		0	dt
ем		(																																						, 0,		0,		...,		0	dt
											1									2				1						2 t0 t					0		11											0
																																			0		0
		1		lim				1 t0										(i )							2 cos2					t			arg							(i ) , 0,					0,	...,
		1						1 t0

		2 t0 t							0						11																	0							11
		2 t0 t													11																	0							11
											0
		1																							t0
				t
				t
			lim							1			11(i )										2			cos2 t0 arg 11(i ) ,																		0,	0,		...,
			lim										11(i )										2			cos2 t0 arg 11(i ) ,																		0,	0,		...,
	2				0		t0																	0
	Так как lim															1				t0		cos2 t									arg								(i) dt
	Так как lim																			t0		cos2 t								0	arg								(i) dt		0
												t0 t																		0							11				0
												t0 t						0
																		0		0
		lim				1		t0			1						1		cos 2 t											arg								(i ) dt					1	,
		lim						t0											cos 2 t											arg								(i ) dt						,
																													0						11						0
		t0 t0 0 2 2																											0						11						0	2
		t0 t0 0 2 2																																								2
	то находим
															1												2
		( 1)																11					(i)					,			0, 0,
		( 1)																11					(i)					,			0, 0,
															4

110

0 dt0

0 dt0
0 dt0

(4.124)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.2018520.7 Кб22Part_06_M.doc
#
17.07.2019201.73 Кб3Part_07_M.doc
#
17.07.2019318.98 Кб6Part_08_M.doc
#
25.11.2018144.38 Кб5Part_11_M.doc
#
25.11.2018124.93 Кб3Part_12_M.doc
#
12.02.20152.64 Mб56Posobb.pdf
#
12.02.2015303.72 Кб6Power supply - term paper.pdf
#
12.02.20151.6 Mб196Praktikum_ekologii.doc
#
15.03.2015283.54 Кб35preddiplom_-_kopia.docx
#
12.02.2015452.61 Кб22Predely.doc
#
12.02.2015281.69 Кб102Predmet.docx