Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский Государственный Технический Университет им. Ю.А. Гагарина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Posobb

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2015

Размер:

2.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

(x)

...

F1(x)

dF1

(x)

dF (x)

F (x)

dF (x)

...

	F1(x)
		x1
		x1


		F (x)
		n
		n
		x
		1
		1

F1(x)xk

Fn (x)xk


dx1
dx1
		F (x)dx .



dx
	k

Из данного равенства следует формула первого мерной вектор-функции от k-мерного вектор-аргумента

dF(x) F (x)dx ,

dF1		(x)
dF (x)			,

dF (x)
	n

F1			F1	F1
	x		x	x
	1	2			k
	F2		F2	F2
F (x)	x		x	x		,
	1	2			k

	F		F	F
	n		n		n
	x		x	x
	x		x	x
	1	2			k
	1	2			k

дифференциала n-

(4.5)

dx1
dx
dx	2	,


dxk

где dF(x) – дифференциал вектор-функции F(x); F(x) – производная век- тор-функции F(x) по вектор-аргументу x в форме матрицы Якоби; dx – дифференциал вектор-аргумента x.

Определение 4.15. Производной n-мерной вектор функции F(x) по k- мерному вектор аргументу будем называть матрицу размера (n k) вида:

F (x) [ pij ],		дFi
	pij	дFi	, i 1, n,	j 1, k	(4.6)
	pij		, i 1, n,	j 1, k	(4.6)
			дx j

где i – номер строки, j – номер столбца.

Определим далее второй дифференциал и вторую производную n- мерной вектор-функции F(x) от k-мерного вектор-аргумента x. Следуя известному из математического анализа правилу вычисления второго дифференциала скалярной функции многих скалярных переменных, запишем

F1(x1,..., xk )
d 2 F (x) d 2			(4.7)

F (x ,..., x	k	)
n 1	k
			81

2 F1

x1 xk

2 Fn

x1 xk

2 F

dx1dx1

2 F

dx1dxk

2 F

dxk dx1

2 F

dxk dxk

x1 x1

x1 xk

xk x1

xk xk

.....................................................................................................................

2 Fn

dx dx ...

dx dx .....

dx dx ...

1 1

1 k

k 1

xk xk

x1 x1

x1 xk

xk x1

2 F1

x1 x1

2 Fn ...

x1 x1

dx1dx1

2 F

dx dx

F (x)dx2

2 F

dxk dx1

.......

...

dx dx

Из равенства (4.7) следует формула второго дифференциала n-мерной

вектор-функции F(x) от k-мерного вектор-аргумента x
d 2F(x) F (x)dx2 ,	(4.8)

а также определения второй производной F (x) и вектор-квадрата dx2 . Определение 4.16. Второй производной n-мерной вектор-функции F(x)

по k-мерному вектор-аргументу x называют матрицу размера (n k2) с тре-

хиндексными элементами

F (x) b

, i 1,n ;

j 1,k ;

1,k

(4.9)

x j

Определение 4.17 Назовем k2-мерным вектор-квадратом dx2 первого дифференциала dx k-мерного вектор-аргумента x выражение вида

dx2 (dx dx ,...,dx dx ,.....,dx dx ,...,dx dx )				(4.10)
1 1	1 k	k 1	k k

4.23. Пусть дана n-мерная вектор-функция F(x,y) от k-мерного вектораргумента x и m-мерного вектор-аргумента y

	F1		(x1,..., xk		, y1,..., ym )
F (x, y)			.........................


	F		(x ,..., x	k	, y ,..., y	m	)
		n	1		1

Снова используя формулу полного дифференциала скалярной функции многих скалярных аргументов, запишем

				k	F	m	F
	dF1				1 dx j		1 dy
	dF1		j 1		x j	1	y
dF (x, y)			............................
dF (x, y)			............................

	dF			k	Fn dx j	m	Fn
	dF
		n						dy
								dy
					x j	1 y
			j 1		x j	1 y

Fix j

dx
	1	Fi
		y
		y
dx	k
	k

dy1		F
		F


dy
	m

(x, y) dx	F (x, y) dy
x	y

Из данного равенства следует формула полного дифференциала векторфункции F(x,y) от двух вектор-аргументов x и y

dF (x, y)	F (x, y) dx	F (x, y) dy			(4.11)
	x	y
вместе с определениями частных производных			F (x, y)	и	F (x, y) .
			x		y

Определение 4.18. Частной производной n-мерной вектор-функции F(x,y) по k-мерному вектор-аргументу x назовем матрицу размера (n k) вида

F (x, y) a

a Fi

i 1,n ;

j 1, k ,

(4.12)

x j

где i – номер строки, j – номер столбца.

Определение 4.19. Частной производной n-мерной вектор-функции F(x,y) по m-мерному вектор-аргументу y назовем матрицу размера (n m) вида

F (x, y) b		,		Fi ,
F (x, y) b		,	b	Fi ,	i 1, n ;	1, m ,	(4.13)
y	i		i	y
y				y

где i – номер строки, – номер столбца.

Определим далее второй полный дифференциал вектор-функции F(x,y). Согласно (4.11) первый полный дифференциал F(x,y) определяется в ре-

зультате действия оператора d x dx y dy над вектор-функцией F(x,y).

Второй полный дифференциал d2F(x,y) определим путем повторного действия оператора d над вектор-функцией dF(x,y), то есть

F (x, y)

d 2 F (x, y) d(dF (x, y)) d

2 F (x, y)

dx2

2 F (x, y)

dydx

2 F (x, y)

dxdy

2 F (x, y)

dy2

(4.14)

y x

x y

Здесь с учетом (4.12) и (4.13) имеем:

2 F (x, y)			F (x, y)		F
							i

x	2		x	x		x
x		x	x	x		x	j

2Fix xj

2 F (x, y)

F (x, y)

(4.15)

y x

y x j

2 F (x, y)

F (x, y)

x j

x j y

x y

2 F (x, y)

F (x, y)

y yq

i 1,n ;

j 1,k;

1,k;

1,m;

q 1,m ;

dx2=(dx1 dx1,…, dx1 dxk ,….., dxk dx1,…, dxk dxk) ,

dy2=(dy1 dy1,…, dy1 dym ,….., dym dy1,…, dym dym) ,

dy dx=(dy1 dx1,… , dy1 dxk ,….., dym dx1,…, dym dxk)

dx dy=(dx1 dy1,… , dx1 dym ,….., dxk dy1,…, dxk dym) .

Согласно (4.15) имеем

2 F (x, y)

dydx dxdy .

x y

y x

Однако

2 F

dydx

y x

y x j

dy1dx1

2 F

y x

dy dx

1 1

1 k

2 F

dymdx1

y x

1 1

dymdxk

2 F

dy dx .....

2 F

dy dx

y x

m k

....................................................

2 Fn

dy dx .....

y x

2 F

.....

2 F

dx dy

x y

....................................................

x j y

2 Fn

dx dy .....

dx dy

x y

Следовательно,

2 F

dydx

2 F (x, y)

dxdy

y x

x y


dxdy	2	F (x, y) dxdy
dxdy		F (x, y) dxdy
		x y

Подставляя это равенство в (4.14), получаем формулу второго полного дифференциала вектор-функции F(x,y) от двух вектор-аргументов x и y

d 2 F (x, y)	2 F (x, y)	dx2 2	2 F (x, y)	dxdy	2 F (x, y)	dy2
	x2		x y		y2

вместе с определением вторых частных производных вектор-функции F(x,y) по вектор-аргументам x и y.

Вторыми частными производными n-мерной вектор-функции F(x,y) по k-мерному вектор-аргументу x и m-мерному вектор-аргументу y будем называть трехиндексные матрицы

2 F (x, y)

2 F

2 F (x, y)

2 F

xi x

x y

2 F (x, y)

2 F

i q

y yq

i 1,n ;

j 1,k;

1,k;

1,m;

q 1,m

4.3. Формула Тейлора для вектор-функции от многих вектор-аргументов

Из математического анализа для вещественной скалярной функции S от многих вещественных скалярных аргументов S( ,,…, ) известна [18]

формула Тейлора разложения функции S в окрестности точки ( 0,0,…, 0)
S(, ,.., ) S(0 , 0 ,.., 0 )	(4.16)
	85

S(				,			,..,					)				дS(0 , 0 ,.., 0 )									a						дS(0 , 0 ,.., 0 )													...
S(				,			,..,				0	)													a																			...
			0			0					0									д																		д
																				д																		д
		дS(			,			,..,				0	)						1 д2S(				,						,..,				0		)		2					д2S(			,			,..,	0	)	2	...
				0			0					0										0				0							0										0				0		0
					д													2				д				2																		д			2
					д													2				д																						д
		д2S(				,			,..,				0	)		2					д2S(			,			0			,..,				0		)	...
					0			0					0							2		0					0							0
					д 2															2		д д
					д 2																	д д
			д2S(				,			,..,				0	)									д2S(								0		,				,..,		0	)
2						0			0					0								... 2										0					0			0			...
2					д д																	... 2								д д													...
					д д																									д д
R2 ( , ,.., )

R ( a, ,..., ) 3,																												a2					2						... 2							0
	2																0

Здесь R2 – остаточный член в форме Лагранжа; 0 – сомножитель, определяемый через третьи производные функции S в окрестности точки (0,0,…, 0). Предполагается, что функция S трижды дифференцируема по своим аргументам.

Пусть дана вещественная дифференцируемая по своим аргументам n- мерная вектор-функция F(x,y,z) от трех вещественных вектор-аргументов

x=(x1,…, xk),

, y=(y1,…, yb),

, z=(z1,…, zc) ,

то есть

F1(x1,..., xa , y1,..., yb , z1,..., zc ,)

F (x, y, z)

.........................................

F (x ,..., x , y ,..., y , z ,..., z

a 1

Положим

x=x0+ x, y=y0+ y, z=z0+ z,

x01

y01

z01

, x

где (x0, y0, z0) – фиксированная точка; x,

z – приращения вектор-

аргументов.

Используя

приведенные ранее правила записи действий над вектор-

функциями и функциональными матрицами, по аналогии с формулой (4.16) запишем формулу Тейлора трехчленного разложения вектор-

функции F(x,y,z) в окрестности точки (x0, y0, z0)
F(x, y, z) F(x0 x, y0 y, z0 z)								(4.17)
		дF (x , y , z )		дF (x , y , z )		дF (x , y , z )
F (x0	, y0 , z0 )	0 0 0	x	0 0 0	y	0 0 0	z
F (x0	, y0 , z0 )	дx	x	дy	y	дz	z
		дx		дy		дz
86

1	д2 F (x , y , z )		x2	д2F (x , y , z )		y2	д2F (x , y , z )		z2
	0 0 0			0 0 0			0 0 0
2	дx	2		дy	2		дz	2

2 д2 F (x0 , y0 , z0 ) x y 2 д2 F (x0 , y0 , z0 ) x z 2 д2F (x0 , y0 , z0 ) y z

дxдy дxдz дyдz

R2 (x, y, z) ,

где R (x, y, z) 3		,		\|\| x \|\|2 \|\| y \|\|2 \|\| z \|\|2
2	0

Здесь обозначено:

1) матрицы с двухиндексными элементами

дF (x0 , y0	, z0 ) f (1)
дx				ij1
дx				(n a)
				(n a)
дF (x0 , y0	, z0 )		f (2)
			f (2)
дy				ij2
дy				(n b)
				(n b)
дF (x0 , y0	, z0 )	f (3)
		f (3)
дz				ij3
дz				(n c)
				(n c)

,	fij(1)
	1
,	fij(2)
	2
,	fij(3)
	3

дFi (x0 , y0 , z0 )

дx j1

дFi (x0 , y0 , z0 )

дy j2

дFi (x0 , y0 , z0 )

дz j3

2) матрицы с трехиндексными элементами

д2 F (x , y , z )				f (4)
0		0	0	f (4)
				ij1v1
дx	2			ij1v1
дx				(n a a)
				(n a a)
д2 F (x , y , z )				f (5)
0		0	0	f (5)
				ij2v2
дy	2			ij2v2
дy				(n b b)
				(n b b)
д2 F (x , y , z )				f (6)
0		0	0	f (6)
				ij3v3
дz	2			ij3v3
дz				(n c c)
				(n c c)
д2 F (x , y , z )				f (7)
0		0	0	f (7)
				ij1v2
дxдy				ij1v2
дxдy				(n a b)
				(n a b)
д2 F (x , y , z )				f (8)
0		0	0	f (8)
дxдz				ij1v3
дxдz				(n a c)
				(n a c)
д2 F (x , y , z )				f (9)
0		0	0	f (9)
дyдz				ij2v3
дyдz				(n b c)
				(n b c)

i 1,n; j1,v1 1,a; j2 ,v2

		fij(4)v			д2F (x , y , z )
,					i	0		0 0
,					дx j дxv
			1 1		дx j дxv
			1 1
						1		1
	fij(5)v			д2F (x , y , z )
,					i	0	0	0
,					дy j дyv
	3	3			дy j дyv
	3	3
						2	2
	fij(6)v			д2F (x , y , z )
,					i	0	0	0
,					дz j	дzv
	3	3			дz j	дzv
	3	3
					3		3

, f (7) ij1v2

, f (8) ij1v3

, f (9) ij2v3

1,b;

д2Fi (x0 , y0 , z0 )

дx j1 дyv2

д2Fi (x0 , y0 , z0 )

дx j1 дzv3

д2Fi (x0 , y0 , z0 )

дy j2 дzv3

j3,v3 1,c

2) вектор-квадраты приращений аргументов

x2 ( x1 x1,.., x1 xa , x2 x1,.., x2 xa ,..., xa x1,..., xa xa )y2 ( y1 y1,.., y1 yb , y2 y1,.., y2 yb ,..., yb y1,..., yb yb )z2 ( z1 z1,.., z1 zc , z2 z1,.., z2 zc ,..., zc z1,..., zc zc )

3) вектор-произведения приращений аргументов

(4.18)

(4.19)

(4.20)

x y (x1 y1,.., x1 yb , x2 y1,.., x2 yb ,..., xa y1,..., xa yb )
x z (x1 z1,.., x1 zc , x2 z1,.., x2 zc ,..., xa z1,..., xa zc )	(4.21)
y z (y1 z1,.., y1 zc , y2 z1,.., y2 zc ,..., yb z1,..., yb zc )

5) 0 – n-мерный вектор, элементы которого 0i , i=1,2,…, n выражаются через третьи производные соответствующих функций Fi(x,y,z) в окрестности точки (x0,y0,z0) с радиусом .

Подставляя (4.18)-(4.21) в (4.17), несложно убедиться в справедливости формулы (4.17). Каждый i-тый элемент n-мерной вектор-функции F(x,y,z) в (4.17) есть скалярная функция Fi(x1, x2,…, zc-1, zc), i=1,2,…,n от a+b+c скалярных аргументов, представленная в форме трехчленного разложения по формуле Тейлора, и, следовательно, должна удовлетворять известной из математического анализа формуле (4.16). Записываем явно i-тый элемент Fi вектор-функции F из (4.17)

Fi (x1, x2 ,..., zc 1, zc ) Fi (x01 x1,..., z0c

zc )

(4.22)

F (x

, x

,..., z

)

Fi (x01 ,..., z0c )

x ...

(x01 ,..., z0c )

2 Fi (x0

,..., z0

)

x12 ...

2 Fi

(x0 ,..., z0

)

zc2

2 F (x ,..., z

)

2 F (x

,..., z

)

x1 x2 ... 2

zc 1 zc

x1 x2

zc 1 zc

x12

... zc2 1/ 2 ,

x22

i 1,n

Как видно, выражение (4.22) с точностью до обозначений совпадает с формулой (4.16).

4.4. Классификация комбинированных динамических систем (КДС)

Пусть дана нелинейная стационарная КДС общего вида в безразмерной

форме
F x(t), y(t), y(t), y(t),n(t); 0,	1	ОДУ	(4.23)
Lw(z,t) V (z, x(t), y(t), y(t), y(t); )		УЧП	(4.24)
z 0 : w(0,t) P ( y(t); ), w'(0,t)E P ( y(t); )
1	2
z 1: w(1,t) P3 ( y(t); ), w'(1,t)E P4 ( y(t); )		ГУ	(4.25)
E (1,...,1), ( ) / z
n(t) gf (w(z,t))		УС	(4.26)
t 0 : y(0) y0 , y(0) y0 , w(z,0) w0 (z), w(z,0) w0 (z)		НУ	(4.27)
88

Здесь x(t) – входная а-мерная вектор функция (возмущение); y(t) - выходная b-мерная вектор функция (реакция); t – время (скаляр); w(z,t) – - мерная вектор функция от вектор-аргумента z и времени t; z – k-мерный вектор пространственных координат; L – диагональная матрица операторов, содержащих частные производные по z и t (по t – до второго порядка включительно) размерности (); n(t) – r-мерная вектор-функция связи УЧП и ОДУ; g – диагональная матрица линейных операторов связи размерности (r r); f – линейная функция; F и V, Pj (j=1,2,3,4) – b-мерная и - мерные вектор функции от соответствующих аргументов и параметра ; – малый параметр задачи; точка означает производную по времени t.

4.4.1. КДС со слабой нелинейностью общего вида

Пусть

дF

C const,

дF

K const,

дF

M const,

дF

B const,

дy

дx

дV

V (z),

дV

V (z),

дV

V (z),

дV

V (z),

дF

A const,(4.28)

дy

дx

дn

дPj

дF

дV

дPj

const,

( y, y, n),

( y, y),

( y), j

1,4

дy

Lw w w

где , - диагональные матрицы соответственно линейных и нелинейных

операторов.

Тогда из (4.23) – (4.28) следует КДС со слабой нелинейностью общего вида

My Ky Cy An Bx HF ( y, y,n) ,

w(z,t) V1 y V2 y V3 y V4 x w HV ( y, y) ,

z 0 : w(0,t) a1 y HP1( y),

w'(0,t)E a2 y HP2 ( y)

(4.29)

z 1: w(1,t) a3 y HP3 ( y),

w'(1,t)E a4 y HP4 ( y)

n(t) gf (w(z,t)) ,

t=0: y(0) y0 ,

y(0) y0 ,

w(z,0) w0 (z) ,

w(z,0) w0 (z)

4.4.2. Линейная КДС

дF

дV

дPj

Если в (4.28) и (4.29) положить

j 1,4 , L= , =0,

то мы будем иметь линейную стационарную КДС

My Ky Cy An Bx ,

w(z,t) V1 y V2 y V3 y V4 x ,

z 0 : w(0,t) a1 y,

w'(0,t)E a2 y

(4.30)

z 1: w(1,t) a3 y,

w'(1,t)E a4 y

n(t) gf (w(z,t)) ,

t 0 : y(0) y0 , y(0) y0 , w(z,0) w0 (z), w(z,0) w0 (z)

4.4.3. Существенно нелинейная КДС

Если не существует производных

дF

дV

дF

дPj

j 1,4 , то

дy

дx

дy

дx

дn

дy

исходная КДС является существенно нелинейной и не линеаризуется по Тейлору в окрестности точки равновесия.

4.4.4. Линеаризуемая относительно пространства состояний подвижного равновесия КДС

Пусть вектор-функции F, V, Pj , j 1,4 дифференцируемы и Lw w w . Тогда, если t0=t, t1= t, t2= 2t,…, <<1 и возмущение представимо в виде x(t0 ,t1, ) x0 (t1) x1(t0 ) , то нелинейная КДС (4.23) –

(4.27) сводится к линеаризованной по Тейлору относительно пространства состояний подвижного равновесия КДС.

4.5. Многомерная линейная КДС

Полагаем, что функции x(t), y(t), n(t), w(z,t) – удовлетворяют условиям существования интегрального преобразования Лапласа по времени. Полагаем в (4.30) начальные условия нулевыми. Тогда из (4.30) следуют урав-

нения линейной стационарной КДС в изображениях
M 2 K C y() An() Bx()				(4.31)
w(z,) (V V V 2 ) y() V x()				(4.32)
1	2	3	4
z 0 : w(0,) a1 y( ); w'(0,)E a2 y( )				(4.33)
z 1: w(1, ) a3 y(); w'(1,)E a4 y( )				(4.33)
z 1: w(1, ) a3 y(); w'(1,)E a4 y( )
n( ) gf (w(z,)) ,				(4.34)
где - произвольный комплексный параметр преобразования				Лапласа;
x( ), y( ), n(),		w(z,)	– Лапласовы изображения соответствующих

оригиналов.

Проинтегрируем обыкновенное дифференциальное уравнение (4.32) по z при граничных условиях (4.33). Полагаем, что форма (4.32)-(4.33) позволяет найти точное решение w(z, ) w0[z, , x( ), y( )] и, подставляя его в (4.34), имеем n( ) n0[ , x( ), y( )]. Преобразуем далее An() к виду

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.2018520.7 Кб22Part_06_M.doc
#
17.07.2019201.73 Кб3Part_07_M.doc
#
17.07.2019318.98 Кб6Part_08_M.doc
#
25.11.2018144.38 Кб5Part_11_M.doc
#
25.11.2018124.93 Кб3Part_12_M.doc
#
12.02.20152.64 Mб56Posobb.pdf
#
12.02.2015303.72 Кб6Power supply - term paper.pdf
#
12.02.20151.6 Mб196Praktikum_ekologii.doc
#
15.03.2015283.54 Кб35preddiplom_-_kopia.docx
#
12.02.2015452.61 Кб22Predely.doc
#
12.02.2015281.69 Кб104Predmet.docx