Posobb

Так как рациональная дробь ( ) (1.69) правильная n>m, то

lim () 0 , функция ( ) удовлетворяет лемме Жордана и

lim ()e t d 0

r

2

Следовательно, с учетом (1.69), (1.71), и используя известные из теории функций комплексной переменной формулы вычисления вычетов в полюсе1 кратности k и в простых полюсах = , =k+1, k+2,..., n, получаем

1.11 Устойчивость и параметрический синтез линейной стационарной ОДС

Из предыдущего известно, что всякая линейная стационарная ОДС определяется передаточной функцией в форме правильной рациональной дроби с постоянными коэффициентами

21

Определение 1.16. Всякий многочлен степени n с постоянными коэффициентами

называют устойчивым, если все его корни= , =1, 2,..., n расположены на комплексной плоскости ( ) слева от мнимой оси, то есть Re <0, =1, 2,..., n.

Приведем без доказательства известные [2], [3], [4] необходимые и достаточные условия устойчивости (гурвицевости) многочлена N() с действительными постоянными коэффициентами.

Теорема 1.3. (Рауса-Гурвица) Число корней с положительной действительной частью многочлена (1.75) с действительными постоянными коэффициентами aj, j=0, 1,..., n равно числу перемен знака в любой из последовательностей

T0, T1, T2 T1 , T3 T2 ,...,Tn Tn 1

или T0, T1, T1T2, T2T3 ,..., Tn-2T n-1 , an

где

Tj 0, j=0, 1, 2, ..., n

Критерий Рауса-Гурвица. Для того, чтобы многочлен (1.75) с действительными постоянными коэффициентами был устойчивым (гурвицевым), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства

T0>0 , T1>0 , T2>0 ,..., Tn>0 ,

Из данного критерия и теоремы 1.3 следует теорема о необходимых условиях устойчивости многочлена.

Теорема 1.4. Если многочлен (1.75) с действительными постоянными коэффициентами является устойчивым (гурвицевым), то все его коэффициенты положительны, то есть aj>0, j=0, 1, 2, ..., n.

Заметим, что условие aj>0, j=0, 1, 2, ..., n является необходимым, но не достаточным условием устойчивости рассматриваемого многочлена. То

22

есть, если это условие нарушается, то рассматриваемый многочлен не является устойчивым (гурвицевым).

Приведем далее достаточное условие устойчивости многочлена N() с постоянными комплексными или действительными коэффициентами в форме следующей теоремы:

Теорема 1.5. Многочлен N() с постоянными действительными либо комплексными коэффициентами будет устойчивым, если при монотонном возрастании от нуля до вектор N(i)=U( )+iV( ), N(i) >0 повернется на комплексной плоскости (U, iV) от положительной действительной

полуоси U против часовой стрелки на угол n /2, где n – степень многочле-

на N( ).

Сформулированные в данной теореме достаточные условия устойчивости характеристического многочлена N() с постоянными коэффициентами в теории управления [3] называют критерием Михайлова.

Определение 1.17. Всякая динамическая система является асимптотически устойчивой, если ее импульсная переходная функция q(t) удовлетворяет условиям:

t 0 : q(t) , lim q(t) 0 .

t

Теорема 1.6. Всякая линейная стационарная ОДС асимптотически устойчива, если ее характеристический многочлен устойчив.

Доказательство. Пусть линейная стационарная ОДС определена передаточной функцией в виде правильной рациональной дроби с постоянными коэффициентами (1.74)

Заметим, что функции комплексной переменной P( ) и N() аналитичны на комплексной плоскости ( ) и имеют соответственно m и n изолированных нулей. Для простоты и наглядности рассуждений, не ущемляя однако общности, положим, что функция N() имеет в точке = ноль k-го

порядка, а остальные n-k нулей = , = k+1, k+2,..., n различны и среди всех нулей = , =1, k+1, k+2,..., n функции N() нет ни одного нуля функции P( ).

Тогда согласно (1.72) имеем

= находим

23

которой соответствует желаемая переходная функция h0(t), имеющая экспоненциальный характер и время переходного процесса не более 3.

Пусть вещественная частотная характеристика ОДС зависит от конструктивных параметров c ограничениями Tj [aj, bj]. Введем в рассмотрение интеграл

Осуществляя многомерную минимизацию, выбираем T10, T20,...,Ts0, при которых интеграл (1.80) достигает минимума. Далее вычисляется переходная функция hс(t) спроектированной системы

и проводится ее анализ. Степень приближения hс(t) к h0(t) зависит от структуры управляющего устройства и корректирующих звеньев. При этом обязательно следует убедиться, что характеристический многочлен спроектированной системы Nc (,T10 ,T20 ,...,Ts0 ) является устойчивым, то есть удо-

влетворяет теореме 1.5 или критерию Рауса-Гурвица.

Покажем далее, что в случае неустойчивой ОДС ее вещественную частотную характеристику R( ) следует полагать несостоятельной и ее не следует использовать в формулах (1.60), (1.61) и (1.64).

Для упрощения и наглядности рассуждений рассмотрим ОДС с передаточной функцией

Здесь: a0, a1,..., an – постоянные действительные коэффициенты (числа); n

– целое четное положительное число.

Пусть характеристический многочлен устойчивый и согласно теореме 1.4 все его коэффициенты положительны aj>0, j=0, 1,2,..., n. При этом ве-

25

щественная частотная характеристика определяется формулами из (1.81) и используется в формулах (1.60), (1.61), и (1.64).

Далее предположим, что

вый. Следовательно, ОДС неустойчивая и ее импульсная переходная функция расходится q(t) при t .

Однако, подставляя (1.82) в (1.81), получаем

U ( ) U ( ), V ( ) V ( ),

то есть вещественная частотная характеристика R( ) неустойчивой при условиях (1.82) ОДС совпадает с вещественной частотной характеристикой R( ) асимптотически устойчивой ОДС (1.81). Следовательно, вещественная частотная характеристика рассматриваемой неустойчивой ОДС является несостоятельной и не может быть использована в формулах (1.60), (1.61)

и (1.64).

1.12. Асимптотический анализ нелинейных обыкновенных динамических систем (ОДС)

Асимптотический анализ [5], [6], [7] нелинейных дифференциальных уравнений основывается на представлении искомых решений в форме асимптотических разложений по малым значениям параметра или координаты. Введем в рассмотрение символы порядка и дадим определение асимптотического разложения некоторой функции f() при

Пример 1.4.

n 0

коэффициенты, а n( ), n=0,1,2,... – асимптотическая последовательность, называется асимптотическим разложением функции f(), если при 0 имеет место

Пример 1.6. Представим трёхчленное асимптотическое разложение

Здесь O( 3 ) есть величина третьего порядка малости.

1.12.1. Нелинейная ОДС в безразмерной форме

Пусть одномерная стационарная ОДС задана неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с квадратичной и кубической нелинейностями в размерной форме

где: t*– размерное время в секундах; x*( t*) и y*( t*) – размерные соответственно возмущение и реакция,

27

Пусть за характерное время T mc возмущение и реакция в данной

системе изменяются на характерные значения соответственно X и Y. Обозначим

Вводя (1.86) в (1.84), (1.85), получаем безразмерное уравнение движе-

Исследуем данную нелинейную ОДС в различных режимах по методу многих масштабов.

1.12.2. Собственное движение ОДС со слабой кубической нелинейностью

и будем рассматривать искомую функцию y(t) как сложную функцию многих переменных y(t0, t1, t2,...; ), где – малый параметр задачи.

Представим y в форме двучленного асимптотического разложения по степеням малого параметра с погрешностью O(2)

По правилу записи производной сложной функции многих переменных с учетом (1.90) имеем

Отсюда следует оператор первой производной

28

Приравнивая в левых и правых частях данных равенств сомножители при 0=1 и , получаем уравнения нулевого приближения

Рассмотрим далее наиболее важный для практических приложений случай оптимального демпфирования <<<1. Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения (1.94). Так как <<<1, то корни характеристического уравнения 2 + 2 + 1 =0 комплексные и сопряженные

Здесь постоянные (не зависящие от t0) интегрирования A(t1) и B(t1) являются функциями от медленного времени t1. Удовлетворяя начальным условиям (1.95), имеем (проверьте)