Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский Государственный Технический Университет им. Ю.А. Гагарина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Posobb

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2015

Размер:

2.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

y A(t1)e t0 cos(t0 B(t1)) A1(t1)e t0 cos(t0 B1(t1))

e 3 t0 M (t )cos( t														0		B(t )) N (t )sin( t																			0	B(t ))								(1.106)
				1										0						1							1								0					1
P(t1)cos(3t0 3B(t1)) Q(t1)sin(3t0																														3B(t1))
t	0	e t0	M				(t )cos( t										0	B(t )) N (t )sin( t																					0		B(t ))			O( 2 ) ,
	0			1				1									0					1					1	1											0	1
									<< <1,
1 2 ,									<< <1,
				3
M (t )				3				A3 (t ) ,										N (t )							3		A3 (t )						1					1 ,
M (t )								A3 (t ) ,										N (t )									A3 (t )											1 ,
		1		16							1									1					16			1				2
				16																					16							2
P(t )			1			A3		(t )														1									,
P(t )						A3		(t )																							,
		1	32					1			1			3				2		9			2		1 2
											1		2							4				1 3 2 2
													2							4				1 3 2 2

Q(t )			3			A3 (t )																1 2														,
Q(t )						A3 (t )																														,
		1	64					1								3			2 2				9			2	1		2
												1
												1				2							4
																2							4
A(0) a				1							2			,							B(0) arccos													a						,

								1 2																							A(0)
								1 2																							A(0)
N1(t1)						a(t1)							,								M1(t1)								b(t1)												,

						1 2																								1 2
			2			1 2																						2		1 2
															dB(t1)												b(t ) 2															dA(t1)
a(t ) 2					1 2					A(t )					dB(t1)								,				b(t ) 2										1 2					dA(t1)
	1										1						dt1											1															dt1
																	dt1																										dt1

Здесь A1(0) и В1(0) – выражаются через A(0), В(0), M(0), N(0), P(0), Q(0),

M1(0), N1(0) и ввиду громоздкости не приводятся.

Замечание 1.4. Положим, например, что безразмерный коэффициент затухания есть медленно изменяющаяся по заданному закону величина в интервале <<<1 во времени t1, то есть = (t1) является заданной непрерывной ограниченной и дифференцируемой функцией от медленного времени t1. Тогда в выражениях (1.106) следует понимать

		2	(t )						B(0) arccos	a
A(t1) a	1	2	(t )	,	(t1)	1	2	(t1) ,		a	,
A(t1) a	1		1	,	(t1)	1		(t1) ,			,
			1
		1 2 (t )								A(0)
			1

и, следовательно, медленные функции A1(t1), B1(t1), M(t1), N(t1), P(t1), Q(t1), M1(t1), N1(t1) явно выражаются через (t1) по формулам в системе (1.106) с тем только отличием, что

			d((t1)t0 B(t1))				dA(t1)
a(t ) 2 1 2	(t )	A(t )	d((t1)t0 B(t1))	,	b(t ) 2 1 2	(t )	dA(t1)
1	1	1	dt1		1	1	dt1
			dt1				dt1

Замечание 1.5. Если положить затухание исчезающе малым =, то

	3	3	1		1
N (t1)		A (t1)		O
	16

а функция t0 e t0 достигает при t0=1/ своего максимума

1 O 1 . Сле-

довательно, выражение в фигурных скобках в (1.106) при = имеет порядок O(1/) и поэтому само асимптотическое разложение (1.106) является непригодным. Методы построения равномерно пригодных асимптотических разложений в случаях исчезающе малого затухания применительно к различным динамическим моделям приведены в учебном пособии [5].

1.12.3. Асимптотический анализ нелинейной ОДС в случае возмущения, допускающего линеаризацию относительно состояния подвижного равновесия

Полагая << <1,					=1,	= , b=1,	a=0, из (1.87), (1.88) имеем
	d 2 y	2	dy	y y2 y3 x ,			(1.107)
	dt2
			dt
t=0:		y(0)=0,			dy(0)	0
					dt

Проведем асимптотический анализ ОДС (1.107) по методу многих

масштабов. Введем три масштаба времени t =t, t =t, t =2t. Полагаем воз-
	0	1	2
мущение в форме	x x0 (t1) x1(t1)		(1.108)

Предложение 1.1. Если возмущение x имеет форму (1.108), то реакция y нелинейной ОДС (1.107) представляется в виде

y y (t				) y (t			,t ,t		) 2 y			(t	,t ,t		) O( 3)	(1.109)
		0	1		1	0	1	2			2	0	1	2
Доказательство. Предположим сначала, что
y y (t		,t ) y (t				,t ) 2 y (t					,t ) O( 3)					(1.110)
0	0		1	1	0		1		2	0		1

Вводя (1.110) в (1.107), с учетом операторов (1.92) и (1.93) находим в нулевом приближении

2 y (t	,t )		2	y (t			,t )	y (t			,t )	y	2 (t		,t ) x (t )			(1.111)
0 0		1	2		0	0	1	y (t			,t )	y	2 (t		,t ) x (t )			(1.111)
t2					t				0	0	1	0		0	1	0	1
t2					t	0
0						0
t0= t1= t2=0:					y0(0,0,0)=0,					y0		(0,0)		0				(1.112)
t0= t1= t2=0:					y0(0,0,0)=0,						t0			0				(1.112)
											t0
Представим
y (t		,t ) y(1)			(t ) y(0)				(t	,t )								(1.113)
0	0	1		0	1			0	0	1

Подставляя (1.113) в (1.111), (1.112) и приравнивая в левых и правых частях полученных равенств коэффициенты при 0=1, , 2, находим (самостоятельно)

y0(1) (t1) 2 y0(1) (t1) x0 (t1)	(1.114)
32

t1=0:	y(1)	(0) 0	(1.115)
	0

и далее

2 y(0) (t	0	,t ,t	2	)	2		y(0) (t		0		,t ,t	2	)
0	0	1	2		2			0	0		1	2
t	2							t		0
	0									0
y0(0) (t0 ,t1,t2 ) 2						0
t0= t1= t2=0:						y(0)		(0,0) 0 ,
							0

y0(0) (t0 ,t1,t2 ) 2 y0(0) (t0 ,t1,t2 ) y0(1) (t1) 0

(1.116)

y(0) (0,0)

0 0 (1.117)t0

Легко видеть, что однородные уравнения (1.116) при нулевых начальных условиях (1.117) имеют только тривиальное решение

y(0)	(t	,t ) 0																	(1.118)
0	0	1
Решение квадратного уравнения (1.114) имеет вид

y(1)			1		1	x (t ) [x (t )] y (t ), x (t )											1	2	(1.119)
y(1)						x (t ) [x (t )] y (t ), x (t )												2	(1.119)
0		2		4		0		1			0	1	0	1	0	1	4
		2		4													4
<<2<<1 .
Решение y(1)							1			1	x (t )		исключено из рассмотрения,						так как
Решение y(1)											x (t )		исключено из рассмотрения,						так как
				0		2			4		0	1
						2			4
при x (t ) 0				имеем y(1)					1, что противоречит физическому смыслу.
0	1							0

Подставляя (1.119), (1.118) в (1.113) и далее в (1.110), получаем

(1.109), что и требовалось доказать.

Запишем далее по аналогии с (1.92)

и (1.93) операторы

d 2

dt 2

форме трехчленных разложений по степеням

O( 3 ) ,

(1.120)

d 2

O( 3 )

t0 t1

t0 t2

Введем (1.108) и (1.109) с учетом (1.120) в (1.107) и приравнивая в левых и правых частях полученных равенств сомножители при 0=1, и 2, получаем соответственно нелинейное уравнение нулевого приближения


y2	y	(t ) x			(t ) 0, t		0 : y	(0) x	(0) 0,	(1.121)
0	0	1		0	1	1	0	0
x (t )			1	2 ,		<<2<<1 ,
x (t )				2 ,		<<2<<1 ,
0	1	4
		4
линейные уравнения первого приближения

2 y	2	y		(1 2 y ) y		2	dy	y3	x
1			1				0			(1.122)
										(1.122)
t2		t		0	1		dt	0	1
t2		t	0				dt
0			0				1
										33

t0= t1= t2=0: y1(0,0,0)=0,

ивторого приближения

2 y2 2 y2 (1 2 y0 ) y2

t02 t0

y13 3y02 y1

t0= t1= t2=0: y1(0,0,0)=0,

y1	(0,0,0)	dy0	(0)	0
	t0	dt1

	d	2 y	2		2 y		2	y
		0			1				1
	dt2			t t				t
	dt2			t t				t
		1			0	1			1
y2 (0,0,0)					y1		(0,0,0)		0
	t0						t1		0
	t0						t1

(1.123)

(1.124)

(1.125)

Решение нелинейного уравнения (1.21) нулевого приближения согласно (1.119) имеет вид

y (t )		1	1	x (t )		, x (t )		1	2 ,
y (t )				x (t )		, x (t )			2 ,
0	1	2	4	0	1	0	1	4
		2	4					4
<<2<<1,									(1.126)

является квазистатическим и не зависит от начальных условий, а время t1 является параметром.

Производя прямое интегральное преобразование Лапласа по времени t0, в уравнении (1.122) при граничных условиях (1.123), получаем уравнение первого приближения в изображениях

								1				dy (t )
( 2 2 c) y1( ,t1,t2 ) x1						( )			y03 (t1) 2			0 1
( 2 2 c) y1( ,t1,t2 ) x1						( )			y03 (t1) 2				dt1
													dt1
k=1+2y0
Разрешая (1.127) относительно y1									( ,t1,t2 ) , имеем
					( )					dy (t )
y1( ,t1,t2 ) ( )x1			( )				y03 (t1) 2			0	1
y1( ,t1,t2 ) ( )x1			( )				y03 (t1) 2			dt1
										dt1
()		1		,

	2	2 c
	2	2 c

x1( ) e t0 x1(t0 )dt0 ,						y1( ,t1,t2 ) e t0 y1 (t0 ,t1,t2 )dt0
	0								0

(1.127)

(1.128)

Здесь ( ) – передаточная функция ОДС первого приближения (1.122). Характеристическое уравнение 2 2 c 0 имеет следующие кор-

ни:

				2		c				, c 1 2 y (t )		(1.129)
1,2										0	1

y (t )			1			1	x		(t )	, << <1 ,
y (t )							x		(t )	, << <1 ,
0	1		2		4			0	1
			2		4
x (t )		1	2		, <<2<<1 .
x (t )			2		, <<2<<1 .
0	1	4
		4
34

Так как при <<<1 и x0 (t1) 14 2 , <<2<<1: Re1,2<0, то ОДС

первого приближения асимптотически устойчива. Следовательно, по формулам (1.61) и (1.64) находим

y1(t0 ,t1,t2 ) x( )

Re (i )cos (t0

) d d

(1.130)

dy (t )

sin t

y03 (t1) 2

0 1

Re (i )

dt1

Замечание 1.6. Пусть

x1(t0 ) cos t0 ,

=const. Тогда в ОДС первого

приближения (1.122), (1.123) согласно (1.128) после окончания переходного процесса установится вынужденное движение

y1 (i ) cos( t0		1			dy (t )
	arg (i ))			y03 (t1) 2	0	1	(1.131)
		2 y0			dt1
	1		(t1)

Im (i) arg (i ) arctg Re (i)

Перейдем далее к анализу ОДС (1.124), (1.125) второго приближения. Производя прямое интегральное преобразование Лапласа в уравнении (1.124) при начальных условиях (1.125), получаем уравнение ОДС второго

приближения в изображениях
( 2 2 c) y2 (,t1,t2 ) L y12 (t0 ,t1,t2 ) 3y02 (t1) y1(,t1,t2 )	(1.132)

2( )						y ( ,t ,t									)			1 d 2 y (t )
									1		1			2							0 1
										t											dt	2
										t											dt	2
											1										1
Представим формально
	y2		(t	,t ,t	2	) (t ,t						2	) (t							)
	1		0	1	2						1	2						0
(t ,t			) lim				1 t0			y2	(t	,t ,t					)dt				,	(t		)
(t ,t		2	) lim							y2	(t	,t ,t				2	)dt		0		,	(t	0	)
1		2		t0 t						1	0			1		2			0				0
				t0 t				0
								0	0

где (t1,t2 ) – осредненная по времени

ющая функции y12 (t0 ,t1,t2 ) . Тогда

L y12 (t0 ,t1,t2 )	1	(t1,t2 ) ( )

(1.133)

y12 (t0 ,t1,t2 ) (t1,t2 )

t0 медленно меняющаяся составля-

(1.134)

Подставляя (1.134) в (1.132), с учетом (1.126), (1.128) находим изоб-

ражение решения ОДС второго приближения (1.124), (1.125) в форме (проверьте)

y2	( ,t1,t2 ) 1	( )x1	( ) ( ) ( )	2	( )	3	( )	(1.135)
y2	( ,t1,t2 ) 1	( )x1	( ) ( ) ( )					(1.135)

								35

()	1	,	k 1 2 y0 (t1)
	2 2 k

y0 (t1) 12 14 x0 (t1), x0 (t1) 14 2 ,

	() 3y2		(t ) 2 () ,
	1	0	1
					d( y3 (t ))
2	( ) 3y05 (t1) 2( )					0	1		6 y02 (t1)
2	( ) 3y05 (t1) 2( )					dt1			6 y02 (t1)
						dt1
	3 ( )	(t1,t2 )		d 2 y (t )				( )
					0	1
					2
					dt1

<<2<<1,

dy (t )	4( )	d 2 y (t )	2	( )
0 1		0 1
dt1		2
		dt1

Так как при x0 (t1) 14 2 , <<2<<1 и <<<1 корни характеристиче-

ского многочлена 2 2 c удовлетворяют условиям Re 1,2<0, то решение второго приближения y2 (t0 ,t1,t2 ) асимптотически устойчиво и согласно (1.61) и (1.64) представляется в виде

t0	2
y2 (t0 ,t1,t2 ) x( )		Re 1(i )cos (t0	) d d	(1.136)
y2 (t0 ,t1,t2 ) x( )		Re 1(i )cos (t0	) d d	(1.136)
0		0

	t0			2
x( )					Re 1	(i )cos (t0		) d d

	0				0
		2					sint0
			Re 2 (i ) 3 (i )						d

			0
Таким образом,						мы получили решение нелинейной задачи (1.107) в

форме равномерно пригодного трехчленного асимптотического разложения

(1.109), (1.126), (1.130), (1.136).

Замечание 1.7. Если существуют пределы lim x1(t0 ) x1() ,

lim (t0 ) () , то по теореме о предельном значении оригинала имеем с

учетом (1.128) и (1.135)

y1	(,t1,t2 ) lim y1(t0	,t1,t2 ) lim y1(,t1,t2 )
	t0	0


lim	( )x( )			y03 (t1)
0
		dy (t )
y03	(t1) 2	0	1		(0)
y03	(t1) 2	dt1			(0)
		dt1

	dy (t )
2	0	1	( )
	dt1

,(0) 1c

y2	(,t1,t2 ) lim y2	(t0	,t1,t2 ) lim y2 (,t1,t2 )
	t0		0

(1.137)

(1.138)

lim 1()x1() () () 2 () 3() 2 (0) 3(0) ,

		1											d( y3		(t ))				dy (t )						d 2 y			(t )
2	(0)				3y05 (t1)				2					0		1	6 y02	(t1)	0	1	4							0	1
2	(0)	c		2	3y05 (t1)				2					dt1			6 y02	(t1)	dt1		4							2
		c												dt1					dt1								dt1
3	(0)	1			(t1,t2 )				d 2 y (t )
												0		1
		c										2
		c									dt1
Положим					x (t )					1	2 ,				<<2<<1. Тогда					y						1			,	k=2 и со-
Положим					x (t )						2 ,				<<2<<1. Тогда					y		0							,	k=2 и со-
					0	1			4													0		2
									4															2
гласно (1.137), (1.138) имеем
y ( ,t ,t			)				1	,				y ( ,t ,t					) (t1,t2 )			3
y ( ,t ,t			)					,				y ( ,t ,t					) (t1,t2 )
1	1	2				16						1			1	2		2		27 2
						16												2		27 2
Если нарушить								принятое								условие		<<2<<1					и	положить =, то
y1( ,t1,t2 ) O(1/ ) ,									y2 ( ,t1,t2 ) O(1/ ) и разложение (1.109) становится

неравномерным по t0, то есть непригодным.

Замечание	1.8.		Пусть
x1(t0 ) cos		t0	и

x0 (t1) 0. Тогда y0 (0) 0 , k=1. После окончания переходных процессов в

ОДС первого приближения установится согласно (1.131) вынужденное движение в форме несмещенного колебания

y1 (i ) cos(t0 arg(i)) ,	(i)	1

		(1 2 ) 2i 2

Однако во втором приближении согласно (1.135) установятся смещенные колебания со смещением от нуля на величину

y	(t	,t	) lim		1		t0	y 2dt
									0
2	1	2	t0	t				1
						0
							0

lim t1 0 (i ) 2 cos2 (t0 arg (i ))dt0

t0 0 0

1	(i) 2	0,5
2		(1 2 )2 4 2 4

Заметим, что смещение y2 обусловлено нелинейным членом y2 в ис-

ходном уравнении (1.107). Можно видеть, что при =1 и =0,1 величина смещения равняется y2 12,5 .

Глава 2. КОМБИНИРОВАННЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

ИОБОБЩЕННЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ

Вданной главе ограничимся рассмотрением линейных стационарных одномерных комбинированных динамических систем (КДС). Для простоты

инаглядности на первом этапе рассмотрим особенности математического моделирования КДС на примере упругого звена манипулятора.

2.1. Уравнения движения упругого звена манипулятора

Рассмотрим применительно к манипуляторам [8], [9] задачу об управлении плоским угловым движением дискретно-континуальной механической модели (рис. 2.1) с упругим стержнем, внутреннее трение в котором учитывается по теории Фойгта.

			L0		*
			L0
			L1	*			L *
					*	* *	2
					y (z ,t )			y1(t)
* *		1				z*		(t)
1	(t )	O1					z*=s

								*
y*							O2 2	z

N2*

Рис. 2.1

Обозначим y*(z*,t*) – упругое смещение стержня от оси z*. Начало стержня жестко заделано в точке О1 абсолютно жесткого вала 1 с моментом инерции J0*. На другом конце стержня в точке О2 закреплено абсолютно жесткое тело 2 с массой m2* и моментом инерции J2* (О2 –центр массы m2*). К телу приложен управляющий момент

L*0 p* 0* p* 1* k0* 1* ,

где 0* - задаваемый угол (входная функция);1* - угол поворота тела 1; П – оператор корректирующего устройства;

р* - коэффициент усиления;

k0* - коэффициент демпфирования;

точка означает=r iv =0 дифференцирование по времени t*

Учитывая= -r u малость деформации стержня, запишем полярный угол *(t*) выходной точки О2 гибкого стержня в виде :

* (t* ) 1* (t* ) y1* (t* ) / s ,

где s – длина стержня. Причем |y*(s,t*)|=|y1*(t*)|<<s и |y*(z*,t*)|<<s для z* [0, s].

Обозначим через L1*, L2*, N2* реакции стержня соответственно: моменты сил (L1*, L2*) и сила (N2*), приложенные к абсолютно жестким телам.

Уравнения движения КДС запишем, следуя механике Ньютона-Эйлера

J * * p* * pa k* * L* ,							J * (* * ) L*					ОДУ
0	1	0	1	0	1	1	2	1	2	2
m* ( y*		s ) N , * y s
2	1	1	2		1	1
( y* (z* ,t* ) z* * ) EJ (1 h						д	) y* (z* ,t* ) ,			( )	д	УЧП
( y* (z* ,t* ) z* * ) EJ (1 h							) y* (z* ,t* ) ,			( )		УЧП
			1			дt*					дz*
						дt*					дz*
z* 0 : y* (0,t* ) 0 ,				y* (0,t* ) 0								ГУ
z* s : y* (s,t* ) y (t* ), y* (s,t* ) * (t* )
			1					2
								2

1 h

y* (0,t* ),

L* EJ

дt

2 EJ

(s,t

)

дt

t* 0 :

* (0) 0,

* (0)

y (0) 0,

y* (z*,0) 0,

		д			*	*
1	h			y (s,t			)	УС
1	h	дt	*	y (s,t			)	УС
		дt

0,	* (0) 0	НУ
	2

y*(z*,0) 0

где 0*(t*) – входная функция, *(t*) – выходная функция, - погонная плотность стержня, Е – модуль упругости (Юнга), J – экваториальный момент инерции поперечного сечения стержня, h – коэффициент внутреннего трения стержня по Фойгту.

Обозначим через характерный прогиб стержня и введем безразмерные переменные и параметры:

		s4	12
t* Tt,	T		- характерное время протекающих в системе

		EJ

процессов, (t – безразмерное время);

y1* y1 , y1- безразмерное упругое перемещение конца стержня; y*=y, y – безразмерный прогиб стержня;

z*=sz, z – безразмерная координата поперечного сечения стержня.

* ,

0 0

J0* (s3 )J0 ,

L*	LL ,	L*
1	1	2


*					*					*		EJ
1		1	, 2					2	, p					p,						s	1,
1		1	, 2					2	, p					p,							1,
		s						s				s
J * (s3 )J				,	m* (s)m ,					k	*	EJT				k			,
J * (s3 )J			2	,	m* (s)m ,					k	*					k			,
2			2		2				2	0			s				0
													s
LL ,		L	EJ			,	N * NN ,				N		EJ					,		h
LL ,		L				,	N * NN ,				N							,		h
	2			s	2			2	2				s		3						T
	2				2			2	2						3

Здесь 0, 1, 2, p, J0, J1, J2, m2 , k0, L1, L2, N2, – безразмерные значения соответствующих размерных переменных и параметров.

Перепишем уравнения движения КДС в безразмерной форме

J0 1 p 1			k0 1 L1	p 0 ,	J2 (1 2 ) L2 0 ОДУ
1 y1 ,			m2 ( y1 1) N2 0
		д			д
y 1			y z 1,	( )		УЧП
		дt			дz

z 0 :	y(0,t) 0, y (0,t) 0					ГУ	(2.1)
z 1:	y(1,t) y1(t), y (1,t) 2 (t)

L1 1

N2 1

д y (0,t) ,

дt

д y (1,t)

дt

		д
L2	1		y (1,t)	УС

		дt

t 0 :

1(0) 1(0) 2 (0) 2 (0)

НУ

y1(0) y1(0) y(z,0) y(z,0) 0

Проведя прямое интегральное преобразование Лапласа, получаем уравнения данной линейной стационарной КДС в изображениях

(J0 2 k0 () p) 1() L1() p 0 ()

J	2	2 ( ()				()) L () 0									(2.2)
	2		1		2		2
m 2			( y () ()) N						() 0,
	2		1		1		2
() () y ( ),										П( )	A()		B( )
			1			1							B( )
			1			1
				4				4				4		2
					y(z,) k					z 1( ),	k				(2.3)
y (z, ) k					y(z,) k					z 1( ),	k				(2.3)
													1
z 0 : y(0,) 0, y (0,) 0															(2.4)
z 1: y(1,) y1( ),							y (1,) a2 ( )
40

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.11.2018520.7 Кб22Part_06_M.doc
#
17.07.2019201.73 Кб3Part_07_M.doc
#
17.07.2019318.98 Кб6Part_08_M.doc
#
25.11.2018144.38 Кб5Part_11_M.doc
#
25.11.2018124.93 Кб3Part_12_M.doc
#
12.02.20152.64 Mб56Posobb.pdf
#
12.02.2015303.72 Кб6Power supply - term paper.pdf
#
12.02.20151.6 Mб196Praktikum_ekologii.doc
#
15.03.2015283.54 Кб35preddiplom_-_kopia.docx
#
12.02.2015452.61 Кб22Predely.doc
#
12.02.2015281.69 Кб104Predmet.docx