Posobb

Res g (z) p

z a g(z)

Следовательно, с учетом (3.21) имеем

Вывод 3.2. В полюсе z=a порядка p функции f(z) её логарифмическая производная f(z)/f(z) имеет полюс первого порядка, а её логарифмический вычет равен (-p).

Теорема 3.1. Пусть функция f(z) аналитична всюду в области D, ограниченной замкнутым контуром , кроме конечного числа изолированных

полюсов, и не имеет на границе полюсов и нулей. Внутри области D содержится конечное число изолированных нулей. Тогда

где N - число нулей и P- число полюсов функции f(z) внутри области D. Доказательство. Пусть согласно условию теоремы внутри области D

функция f(z) имеет:

изолированные pk - кратные полюса z=ak, k=1,2,...,s; изолированные nr - кратные нули z=br, r=1,2,...,m;

Так как изолированные полюса z=ak и изолированные нули z=br функции f(z) являются согласно выводам 3.1 и 3.2 полюсами (первого порядка) её логарифмической производной f(z)/f(z), то по теореме о вычетах имеем

что и требовалось доказать.

3.1.6. Принцип приращения аргумента и теорема Руше

Если функция f(z) удовлетворяет в области D и на её границе условиям теоремы 3.1, то при однократном полном обходе точкой z замкнутого контура функция f(z) получает приращение аргумента, равное

52

Теорема 3.2 (теорема Руше). Если функции f(z) и (z) аналитичны в замкнутой области G, ограниченной контуром , и на контуре удовлетво-

то функции f(z) и f(z)+ (z) имеют внутри области G одинаковое число нулей.

Доказательство. Из условия теоремы (3.32) следует условие

z : f(z)0,

то есть функция f(z) не имеет нулей на контуре . Функция (z)+f(z) также

Следовательно

Пусть точка z однократно обходит контур против часовой стрелки. По условию теоремы функции f(z) и (z)+f(z) аналитичны в замкнутой области G, и, как показано выше, не имеют нулей на контуре . Следовательно, для

этих функций справедлив принцип приращения аргумента и следствие 3.1. Тогда из (3.33) и (3.31) с учетом следствия 3.1 имеем

где N1 - число нулей функции (z)+f(z) внутри области G; N2 - число нулей функции f(z) внутри области G.

Обозначим

w(z) 1 (z) u(x, y) iv(x, y) . f (z)

Согласно (3.32) имеем

z : (z) 1 f (z)

Следовательно, при обходе точкой z контура перемещение точки w (рис. 3.3) будет происходить по контуру L на комплексной плоскости (w).

54

3.1.7.Основная теорема о корнях многочлена

Теорема 3.3. Каждый многочлен степени n с постоянными коэффициентами

Возьмём (рис. 3.4) окружность с радиусом r и с центром в начале коор-

окружностью . Однако функция f(z) имеет

корень z=0 кратности n, то есть n корней z=0. Таким образом, функция

то есть многочлен (3.36) имеет n корней. Теорема доказана.

3.2. Квазимногочлены и квазирациональные дроби

Определение 3.6. Квазимногочленом степени m называют функцию комплексного переменного вида

55

Определение 3.7. Точка =nc называется точкой сгущения нулей nj, j=1,2,...,, а точка =pc называется точкой сгущения полюсов pk, k=1,2,..., квазимногочлена Q(), если

Замечание 3.2. Принцип приращения аргумента не выполняется для квазимногочленов, имеющих в области G точки сгущения нулей и(или) полюсов.

Теорема 3.4 (теорема о корнях квазимногочлена)

Пусть квазимногочлен степени m

аналитичен на открытой комплексной плоскости ( ) и не имеет точек сгущения нулей. Функция B0 () m имеет счётное множество изолированных нулей aj, j=1,2,..., и существует такая односвязная бесконечная область G, ограниченная бесконечно растяжимым контуром , что нули aj, j=1,2,...,

лежат внутри области G. Тогда, если существует такое сколь угодно большое число М>0, что

Проведём начальный контур , ограничивающий конечную область G,

внутри которой содержится N нулей функции () и выполняются усло-

вия (3.40).

Тогда по теореме 3.2 (теорема Руше) функции () и ( )+ () имеют

в начальной области G одинаковое число нулей N =N + , где N + – число нулей функции ( )+ ( )=Q(). Растягивая контур в бесконечность, имеем

lim N lim N ,

то есть квазимногочлен Q( )= ( )+ ( ) имеет счётное множество нулей внутри области G. Это и требовалось доказать.

Следствие 3.3. Если функция B0 m имеет конечное число m изолированных нулей aj, j=1,2,..., и выполняется условие (3.39), то квазимногочлен Q() имеет нулей.

57

3.2.2. Квазирациональные дроби

Определение 3.8. Всякое отношение квазимногочленов назовём квазирациональной дробью, то есть

где m и n - степени квазимногочленов.

Определение 3.9. Квазирациональную дробь Ф( ) (3.41) называют правильной, если m<n.

Пусть квазимногочлен Q() аналитичен на открытой комплексной плоскости и имеет счётное множество нулей: qk, k=1,2,..., .

Разложим Q() в ряд Тейлора в k-ом нуле qk

Определение 3.10. Точку =qk будем называть нулём порядка r квазимногочлена Q(), если

Замечание 3.3. При r=1 точку =qk будем называть простым нулём квазимногочлена Q( ).

Предложение 3.2. Если в квазирациональной дроби Ф()=Q( )/D( ) нули qk, k=1,2,..., числителя Q() и нули dk, k=1,2,..., знаменателя D( ) различны qk dk, k=1,2,...,, то независимо от их порядков квазирациональная дробь Ф( ) имеет в точках =dk (k=1,2,…, ) полюса, то есть

нули qk числителя Q() и нули dk знаменателя D() совпадают, то есть qk=dk=k, k=1,2,...,, но точки =k являются нулями порядка p знаменателя D() и нулями порядка r числителя Q(), то:

1)если p>r, то точки =k являются полюсами квазирациональной дроби Ф();

2)если p r, то точки =k не являются полюсами квазирациональной дроби Ф().

Доказательство. С учётом (3.42) запишем

58

Легко видеть, что |Ф( k)|= при p>r и |Ф( k)|< при p r, то есть справедливы утверждения:

1)если p>r, то точки =k являются полюсами квазирациональной дроби Ф(),

2)если p r, то точки =k не являются полюсами квазирациональной дроби Ф().

Замечание 3.4. При p<r имеем Ф( k)=0 и точки =k являются нулями функции Ф( ). Если p=r, то

квазимногочлены Q() и D() аналитичны на комплексной плоскости, со-

держащей нули =qk, k=1,2,..., числителя Q() и нули =dk, k=1,2,...,

знаменателя D(), которые всюду различны и однократны, но сгущаются в одной общей точке = с, то есть

limqk limdk c

k k

59

то квазирациональная дробь Ф( ) имеет конечное число изолированных