©Иглин С.П. iglin@kpi.kharkov.ua

6. Условие трансверсальности

1. Краткие теоретические сведения

Рассмотрим задачу вариационного исчисления для функционала (1.1). Пусть на левом конце задано граничное условие: y(x₁)y₁; а на правом конце x₂ график функции проходит через точку M₂(x₂,y₂), лежащую на заданной линии y(x) (рис.6.1):

Рис. 6.1. Вариационная задача с подвижным правым концом

Выведем необходимое условие экстремума для такого функционала. Так как J(y) достигает экстремума на классе функций с варьируемой правой точкой M₂(x₂,y₂), то он тем более будет достигать экстремума на более узком классе функций – с неподвижной правой точкой. Следовательно, экстремаль должна удовлетворять уравнению Эйлера (1.5). Решение этого уравнения содержит 2 произвольные постоянные C₁ и C₂, которые нужно определить. Неизвестны также 2 координаты точки сопряжения M₂(x₂,y₂). Для нахождения этих 4-х неизвестных у нас есть условия:

1. граничное условие на левом конце: y(x₁)y₁;

2. экстремаль проходит через неизвестную точку M₂(x₂,y₂): y(x₂)y₂;

3. точка M₂(x₂,y₂) лежит на линии – ограничении: y₂(x₂).

Недостающее четвёртое уравнение выведем из необходимого условия экстремума J0. Вариация функционала вызывается вариацией функции y(x) (вместе с её производной y(x)) и вариацией правой точки x₂:

(6.0)

Первое слагаемое мы нашли в главе 5 – смотри (5.1):

. (6.0)

Второй интеграл вычисляется на малом участке, поэтому воспользуемся теоремой о среднем. В силу непрерывности подынтегральной функции с точностью до бесконечно малых высшего порядка этот интеграл равен

. (6.0)

Таким образом, необходимое условие экстремума имеет вид

. (6.0)

Из рис.6.2 видно, что величина связана с y₂ соотношением

. (6.0)

Рис. 6.2. Связь между и y₂

Учитывая, что y₂ (x₂)x₂, запишем необходимое условие экстремума:

. (6.0)

В силу произвольности x₂ получаем недостающее 4-е уравнение:

. (6.0)

Оно называется условием трансверсальности. Смысл его такой: если двигать точку M₂(x₂,y₂) по линии y(x), и по полученным двум точкам строить экстремали, то из всех экстремалей доставлять экстремум функционалу будет та, которая удовлетворяет условию трансверсальности (6.7).

Таким образом, для решения данной вариационной задачи нужно решить дифференциальное уравнение Эйлера, а затем найти произвольные постоянные C₁, C₂ и координаты точки M₂(x₂,y₂) из решения системы 4-х нелинейных уравнений

(6.0)

Рассмотрим теперь функционал (2.1), зависящий от двух функций y(x), z(x).

. (6.0)

Пусть для него задано только граничное условие при xx₁, а при xx₂ экстремаль (пространственная линия) проходит через точку M₂(x₂,y₂,z₂), лежащую на заданной поверхности или линии.

И в этом случае, если какая-либо кривая доставляет экстремум функционалу на классе функций с подвижной правой точкой, то она тем более будет доставлять ему экстремум на более узком классе функций: с неподвижной правой точкой. Следо­вательно, экстремаль должна удовлетворять системе уравнений Эйлера (2.3). Однако граничных условий для нахождения всех 4-х произвольных постоянных недостаточ­но. Недостающие уравнения получим из необходимого условия экстремума: J0.

(6.0)

В первом слагаемом разложим функцию F в ряд Тейлора в окрестности экстремали, удержим только линейные члены, и проинтегрируем по частям. Так как искомые функции удовлетворяют системе уравнений Эйлера и граничному условию на левом конце, то первое слагаемое будет:

(6.0)

Для второго слагаемого используем теорему о среднем:

. (6.0)

Необходимое условие экстремума функционала (6.9) имеет вид

. (6.0)

Учитывая, что соотношение (6.5) имеет место и для функции z(x):

, (6.0)

запишем результат

. (6.0)

Отсюда можно вывести условия трансверсальности для различных случаев граничных условий на правом конце.

Пусть, например, правая точка M₂(x₂,y₂,z₂) лежит на заданной поверхности z(x,y). В этом случае в выражении (6.15) x₂ и y₂ независимые, а z₂ находится дифференцированием уравнения поверхности: z₂_x(x₂,y₂)x₂_y(x₂,y₂)y₂. Подставим эти выражения в (6.15), и приравняем нулю коэффициенты при независимых x₂ и y₂. Получаем условия трансверсальности для этого случая:

(6.0)

Для нахождения 4-х произвольных постоянных и 3-х координат точки M₂ мы имеем систему 7-ми нелинейных уравнений:

• 2 граничных условия на левом конце;

• 2 граничных условия на неизвестном правом конце;

• точка M₂ находится на поверхности z(x,y);

• 2 условия трансверсальности (6.16).

Пусть теперь правая точка M₂(x₂,y₂,z₂) находится на заданной линии

(6.0)

В этом случае в (6.15) независимым будет только x₂, а y₂ и z₂ находятся дифференцированием уравнений (6.17): y₂(x₂)x₂; z₂(x₂)x₂. Подставим эти выражения в (6.15). Приравнивая нулю коэффициент при независимой x₂, получим условие трансверсальности для данного вида граничных условий на правом конце:

. (6.0)

Для нахождения 4-х произвольных постоянных и 3-х координат точки M₂ мы в этом случае будем иметь такую систему 7-ми нелинейных уравнений:

• 2 граничных условия на левом конце;

• 2 граничных условия на неизвестном правом конце;

• точка M₂ находится на линии (6.15) (2 уравнения);

• условие трансверсальности (6.18).

Задача для самостоятельного решения. Выведите условие трансверсальнос­ти для функционала (3.1), зависящего от функции и её производных 1-го и 2-го поряд­ка, когда граничные условия (3.2) заданы только на левом конце интервала x₁, а пра­вый конец движется по заданной линии y(x), причём угол  между экстремалью и кривой y(x) в точке сопряжения x₂ задан (вариант 1) или произвольный (вариант 2).