9.9. Устойчивость сжатого стержня за пределом упругости.

Формула Кармана

Теория устойчивости сжатого стержня за пределом упругости оконча-

тельно была построена Т. Карманом (Германия) в 1910 году. Он учёл, что нагрузка на вогнутой стороне стержня и разгрузка на выпуклой стороне при выпучивании происходят по различным законам (рис. 9.25):

- при догрузке

- при разгрузке

Нейтральная ось дополнительных деформаций не совпадает с централь-

ной осью, как при упругом изгибе, и определяется координатой y_P. Поэтому представим их в виде:

(9.65)

Эп. Эп.

Рис. 9.25 Рис. 9.26

Величина y_р даёт границу зон пластической догрузки и упругой разгрузки с площадями F₁ и F₂ соответственно. На границе раздела зон у_р имеем:

откуда следует:

135

Следовательно, выражение (9.65) можно записать в виде

(9.66)

Вычислим с учётом (9.65) дополнительные нормальную силу dN и мо-

мент М, возникающие при выпучивании стержня по методу проб Эйлера – Кармана – Зубчанинова:

откуда находим

(9.67)

где

Так как

то, исключая F₁, S₁, J₁, соотношения (9.67) приведём к виду:

(9.68)

где

(9.69)

136

Величина К называется приведённым модулем Кармана – Ильюшина. С другой стороны, из уравнений равновесия отсечённой части стержня (рис. 9.16,б) имеем:

(9.70)

Сравнивая (6.66), (9.70), получим:

(9.71)

(9.72)

Дифференцируя дважды уравнение (9.72), находим:

(9.73)

Применяя к исследованию устойчивости стержня метод проб, будем считать dP = 0 при сколь угодно малом выпучивании стержня. Тогда из (9.68), (9.71) следует уравнение

(9.74)

из которого можно найти границу раздела зон y_P = - C = const. При этом из-

гибная жёсткость D = kJ также будет постоянной величиной. Дифферен-

циальное уравнение (9.73) может быть записано в виде:

(9.75)

где

(9.76)

Таким образом, задача о потере устойчивости за пределом упругости свелась к решению уравнения (9.75), которое совпадает с уравнением (9.27) для упругой задачи Эйлера. Отличие задач заключается в различии выраже-

ний (9.27) и (9.76) для величины К² . Поэтому формула для нагрузки бифур-

кации за пределом упругости может быть получена из формулы Эйлера (9.33) простой заменой модуля Е на приведённый модуль К:

(9.77)

137

Формула (9.77) определяет бифуркационную нагрузку Кармана. Её так-

же называют приведенно-модульной нагрузкой. Формула для бифуркационного значения напряжения имеет вид:-

(9.78)

Так как К зависит от , то построение диаграммы бифуркационных значений напряжений производится так же, как и для задачи Энгессера. Формула (9.75) представляется в виде:

(9.79)

Задавая , вычисляют , а затем гибкость и строят диагра-

мму Вычислим приведённый модуль К для некоторых частных случаев поперечного сечения.

а) Рассмотрим случай идеализированного двутавра (рис. 9.27,а).Гео-

метрические характеристики сечения:

Уравнение (9.74) принимает вид

откуда находим границу раздела зон:

а) б)

Рис. 9.27

138

Согласно соотношению (9.69) получим:

(9.80)

б) В случае прямоугольного сечения (рис. 9.27,б)

Уравнение (9.74) принимает вид

откуда находим границу раздела зон:

Приведённый модуль К, согласно (9.69), равен:

(9.81)

Из (9.74), (9.80) видно, что приведённый модуль явно зависит от Е, Е_К . Поэтому при построении диаграммы критических (бифуркаци-

онных) напряжений сначала строятся зависимости F_K и К от . На основа-

нии диаграммы сжатия (рис. 9.28,а) находится касательный модуль Е_К как функция напряжения , а затем по формулам (9.69), либо (9.80), (9.81) вычисляется приведённый модуль К. После этого по формуле (9.79) строит-

ся диаграмма критических напряжений

Приведём более простой вывод формулы Кармана для приведенно-модульной критической силы. Обозначим радиус кривизны нейтрального слоя буквой r в отличие от радиуса оси стержня. Расстояние от нейтра-

льного слоя до текущего волокна , а перемещение точек этого слоя

139

а) б) в)

Рис. 9.28

Тогда дополнительные напряжения:

где принято

Дополнительные нормальная сила и изгибающий момент:

(9.82)

где

статические моменты и моменты инерции площадей F₁, F₂ для зон пластической догрузки и упругой разгрузки; J = J₁ + J₂ – момент инерции всей фигуры относительно нейтральной оси,

(9.83)

приведённый модуль Кармана. Из уравнения равновесия отсечённой части потерявшего устойчивость стержня имеем:

140

Сравнивая с (9.82), получаем дифференциальные уравнения:

После двукратного дифференцирования первого уравнения получаем:

(9.84)

где

(9.85)

Для случая идеализированного двутавра (рис. 9.27,а) второе уравнение (9.84) с учётом:

принимает вид

откуда

Следовательно,

Аналогично можно получить выражение приведённого модуля для стержней прямоугольного сечения.

Т. Карман не только создал теорию приведённого модуля, но и прове-

рил её тщательно поставленными экспериментами. Опытные значения пре-

делов устойчивости легли между кривыми, рассчитанными по теории при-

ведённого модуля и теории продольного выпучивания сжатых стержней для эксцентриситета прилагаемых сжимающих сил, равно 0,005h где h – толщина прямоугольного поперечного сечения стержня.

Исследования Энгессера, Кармана, Ясинского по созданию теории устойчивости сжатых стержней за пределом упругости оставили глубокий след в истории её развития.

141