96

Глава 9

Устойчивость упругих систем

9.1. Концепция устойчивости

Под устойчивостью понимают способность систем сохранять их состо-

яние равновесия или движения во времени под действием малых возмуще-

ний. Под неустойчивостью понимают способность систем при действии весьма малых возмущений получать большие перемещения.

Наглядной иллюстрацией устойчивого состояния равновесия служит поведение тяжёлого шарика на гладкой поверхности (рис. 9.1).

а) б) в)

Рис. 9.1

Если слегка отклонить шарик от состояния равновесия 1, как показано пунктиром, и предоставить его самому себе, то в случае а) шарик начнёт колебаться около нижнего положения 1 и вернётся к нему; в б) он остаётся безразличным, а в случае в) он начнёт сразу же удаляться от положения 1.

Приведённый пример отождествляет понятие устойчивого состояния шарика со свойством возмущённого (отклонённого) состояния возвра-

щаться к исходному 1.

История науки знает различные определения понятия устойчивости. Одним из первых было определение, данное Л.Эйлером в 1749г. в связи с практически важным вопросом того времени – вопросом устойчивости ко-

раблей Российского флота: «тела равновесное положение будет устойчиво, ежели оное тело, будучи несколько наклонено, опять справится» (рис. 9.2).

Термин устойчивость был введён в науку впервые Л.Эйлером. Приме-

нительно к упругим системам определение Эйлера можно сформулировать следующим образом: равновесие упругой системы при заданных внешних силах считается устойчивым в смысле Эйлера, если после статического

97

приложения и последующего снятия малой возмущающей силы система возвращается к своему исходному состоянию (рис. 9.3). В противном случае исходное состояние равновесия системы считается неустойчивым.

а) Исходное состояние б) Возмущённое состояние в)Возмущённое состо-

c восстанавливающим яние с опрокидываю-

моментом щим моментом

Рис. 9.2

а) б) в) г)

Рис. 9.3

Минимальное значение силы Р, при котором система впервые не возв-

ращается к исходному состоянию, называется бифуркационным. При этом значении нагрузки происходит нарушение единственности решения зада-

чи, т.к. наряду с исходной прямолинейной формой равновесия стержня су-

ществует отклонённая форма.

Другим, более общим, определением устойчивости состояния равнове-

сия является определение Лагранжа: исходное состояние равновесия упру-

гой системы устойчиво, если после отклонения её от этого состояния она, предоставленная самой себе, стремится вернуться к нему, совершая малые колебания, затухающие со временем при наличии сил внешнего и внутреннего сопротивления (рис. 9.4,а).

С увеличением сжимающей силы частота собственных колеба-

ний системы стремится к нулю, а затем движение становится апериодиче-

ски неустойчивым (рис. 9.4,б).

98

Для консервативных внешних сил критическая нагрузка находится из условия равенства нулю частоты собственных колебаний и совпадает с эйлеровой нагрузкой.

а) б)

Рис. 9.4

Если система (сжатый стержень) испытывает пластические деформа-

ции, то при любом малом возмущении он изгибается и затем при снятии возмущения не возвращается в своё исходное состояние (рис. 9.2,г). Полу-

чается, что по Эйлеру всякое равновесное состояние сжатой системы за пределом упругости – неустойчивое. Такое допущение с практической то-

чки зрения является абсурдным. В.Г.Зубчаниновым предложено частное определение устойчивости сжатой системы за пределом упругости: сос-

тояние равновесия упругопластической системы является устойчивым, если она после статического приложения и последующего снятия малой возмущающей силы стремится вернуться в своё исходное состояние, пре-

бывая в его малой окрестности.

Из приведённых выше трёх определений по существу вытекает одина-

ковый метод исследования элементов конструкций на устойчивость – ме-

тод проб на устойчивость путём возмущения исходного состояния равно-

весия при достигнутом уровне нагружения. Этот метод обладает тем не-

достатком, что не рассматривает процесс нагружения, с помощью которого был достигнут данный уровень внешних сил, а также тем, что ограничива-

ет область анализа устойчивости лишь малой окрестностью точки бифур-

кации (рис. 9.5).

Что произойдёт за точкой бифуркации при дальнейшем нагружении системы? На этот вопрос метод проб ответа не даёт. Судить об устойчиво-

сти или неустойчивости конструкции без исследования послебифуркаци-

онного поведения невозможно.

Так, для стержней (см. рис. 9.5, кривая 1) после бифуркации перемеще-

ния растут настолько быстро, что предельное значение нагрузки прак-

тически не отличается от бифуркационного.

99

Рис. 9.5

При достижении предельного значения прогибы катастрофически нараста-

ют и для их развития не требуется увеличивать сжимающую нагрузку. Та-

кое поведение стержней предопределило успех бифуркационной теории Эйлера при расчёте стержней и стержневых систем на устойчивость. Для пластин после бифуркации вначале также наблюдается быстрый рост про-

гибов в некоторой окрестности исходного состояния (рис. 9.5, кривая 1).

Тонкие пластины и панели образуют выпучины, которые становятся явно заметными. В послебифуркационной стадии прогибы продолжают увеличиваться по мере увеличения нагрузки, но пластина остаётся в малой окрестности своего исходного плоского состояния, пока не достигнуто предельное значение нагрузки

У оболочек после бифуркации наблюдается резкое падение сжимаю-

щей нагрузки и потому они весьма чувствительны к начальным несовер-

шенствам (рис. 9.5, кривая 1).

В основе современной концепции устойчивости, её методологии лежит исследование процессов нагружения конструкций и их элементов. Процесс нагружения упругой или упругопластической системы считается неус-

тойчивым, если сколь угодно малому продолжению этого процесса от-

вечают катастрофическое развитие перемещений и деформаций (опреде-

ление автора). Катастрофа наступает в предельных точках, называемых точкаит бифуркации Пуанкаре. Соответствующие нагрузки называют пре-

делами устойчивости или критическими нагрузками. В предельных точках

(9.1)

Условие (9.1) принимается за критерий неустойчивости при квазиста-

тическом нагружении упругопластических систем.

На практике все реальные элементы имеют начальные несовершенства (технологические прогибы, эксцентриситет приложения нагрузки и др.).

100

Такие элементы начинают выпучиваться (изгибаться) с самого начала нагружения (рис. 9.6,а).

Неустойчивость реальных элементов наступает в предельных точках точно так же, как и у идеальных систем с устойчивым докритическим выпучиванием (рис. 9.5, кривые 2).

а) б)

Рис. 9.6

В связи с этим все малые начальные несовершенства отнесём к возму-

щениям. Это естественно, ибо когда смотрим на инженерную конструкцию (например мостовую ферму со сжатыми элементами), мы представляем её геометрически и статически совершенной (идеальной).

На процесс выпучивания системы с начальными несовершенствами мы будем смотреть как на возмущённый процесс по отношению к послеби-

фуркационнному процессу идеальной системы. Однако если возмущающие факторы чрезмерно велики, то задачи устойчивости может и не быть (см.рис.9.6,б).

Здесь изображено поведение сжатого стержня при выпучи-

вании за пределом упругости. Если возмущающий эксцентриситет ме-

ньше некоторого числа , то при некоторой предельной нагрузке (предел устойчивости) произойдёт потеря устойчивости. Если достато-

чно велико ( > ), то задачи устойчивости не возникает, в этом случае имеет место продольный изгиб. В обоих случаях кривые стремятся по мере роста прогиба к некоторой нагрузке , разделяющей указанные задачи и называемой нагрузкой надёжности устойчивых состояний.

Для стержней и пластин пределы устойчивости в возмущённом и не-

возмущённом состояниях близки друг к другу. Поэтому предел устойчиво-

сти для идеальных элементов следует принять за расчётные критические

101

нагрузки. Для стержней, как мы уже отмечали, предел устойчивости бли-

зок к нагрузке бифуркации, что существенно облегчает задачу их расчёта на устойчивость.

У пластин в пределах упругости бифуркационные нагрузки значитель-

но меньше предела устойчивости и потому задача расчёта на устойчивость сводится, в конечном счёте, к решению нелинейной задачи выпучивания.

У оболочек предел устойчивости весьма чувствителен к начальным несовершенствам (рис. 9.7). Поэтому здесь существенное значение приоб-

ретает знание среднестатического значения начальных несовершенств

Рис. 9.7.

Ещё одним важным обстоятельством при формировании концепции устойчивости является учёт ползучести материалов. В связи с этим про-

цесс нагружения разделяется на два этапа: мгновенный процесс нагруже-

ния и этап процесса ползучести во времени при постоянной внешней наг-

рузке. На втором этапе процесс протекает во времени, значительно боль-

шем, чем требуется для процесса нагружения до заданного уровня.

Здесь возможны два варианта постановки задачи устойчивости. Пер-

вый относится к случаю ограниченной ползучести материала, второй – неограниченной.

Рассмотрим первый случай. На рис. 9.8,а кривая 1 относится к первому этапу нагружения, кривая 2 – ко второму после полной выборки ограни-

ченной ползучести. Через обозначен предел устойчивости при мгнове-

нном нагружении, через - предел устойчивости при длительном нагру-

жении после выборки ползучести. Он называется пределом длительной устойчивости.

102

а) б)

Рис. 9.8

Рассмотрим точку М на кривой 1, для которой В результате ограниченной ползучести (см. рис. 9.8,б) она переходит в точку М^/. Такой процесс выпучивания на втором этапе – устойчив, поскольку он ограничен по перемещениям. Пусть теперь < < (точка N на кривой 1

(рис. 9.8,а)). Несмотря на ограниченную ползучесть материала, выпучива-

ние элемента будет происходить до достижения мерой перемещения некоторого значения (точка N^/ на штрихпунктирной кривой пределов устойчивости), после чего происходит выщёлкивание элемента конструк-

ции (рис. 9.8,б, отрезок N^/N^//), которое называют иногда локальной ката-

строфой, представляющую собой во времени разрывную динамическую бифуркацию.

В случае ограниченной ползучести оказывается возможным найти дли-

тельный предел устойчивости - такой, что при < можно быть уверенным в том, что система останется устойчивой и будет пребывать в малой окрестности исходного состояния равновесия.

Рассмотрим теперь процесс выпучивания элемента материала, облада-

ющего неограниченной ползучестью (рис. 9.9).

В этом случае кривая 1 (рис. 9.9) по-прежнему относится к мгновен-

ному нагружению и на её основании можно найти предел устойчивости . Однако на втором этапе для любого > процесс является неустой-

чивым (рис. 9.9,б). При достижении точки N^/ происходит локальная катаст-

рофа по истечении некоторого промежутка времени, называемого крити-

ческим временем .

В этот момент имеет место условие:

(9.2)

103

а) б)

Рис. 9.9

а перемещение достигает некоторого предельного конечного значения . При и заданном постоянном происходит динамический хлопок, называемый иногда локальной динамической катастрофой или бифуркацией.. Если < то потери устойчивости не происходит. Эле-

мент испытывает продольный изгиб (рис. 9.9,а, линия 2). Процесс выпучи-

вания ММ^/ приводит при к разрушению элемента конструкции. Время назовём временем разрушения или жизни элемента при продо-

льном нагружении в условиях ползучести.

Таким образом, при учёте ползучести материалов, следует руководст-

воваться двумя критериями неустойчивости (9.1), (9.2). Может случиться так, что конструкция, устойчивая на первом этапе, т.е. без учёта свойств материалов во времени, окажется неустойчивой на втором длительном этапе функционирования.