9.17. Устойчивость плоской формы

изгиба балок

Балка, изогнутая в своей плоскости, может потерять устойчивость своей плоской формы изгиба при некотором критическом значении внеш-

ней нагрузки и выпучиться в сторону (рис. 9.51). При этом поперечное се-

чение балки повернётся, т.е. балка будет испытывать изгиб с кручением.

Рассмотрим свободно опёртую балку длиной , изгибаемую по концам моментом m (рис. 9.51,а). В докритическом состоянии дифференциальное уравнение изогнутой оси имеет вид:

(9.162)

Интегрируя дважды, получим:

173

Рис. 9.49

Так как при z = 0, прогиб V = 0, то и потому

Максимальное значение прогиба:

На рис. 9.50 показан график зависимости V_мах = f от значений момен-

та m.

Кружочек отвечает моменту появления пластических деформаций (пределу пропорциональности m_пц), сплошной кружочек – предельному моменту m_пред, при котором происходит образование пластического шар-

нира и исчерпание несущей способности балки, тонкая линия соответст-

вует упругопластическому поведению балки.

Если сечение балки узкое (высокое), как у полосы или двутавра

(рис. 9.47), то при некотором критическом значении изгибающего момен-

та m_кр. произойдет бифуркация решения, и балка получит боковое выпучивание с закручиванием.

174

Рис. 9.50

.

Пусть угол характеризует наклон изогнутой оси балки в плоскости x – z при боковом отклонении, а - угол закручивания в некотором произвольном сечении z. Представим момент M = m в сечении в виде вектора по правилу правого винта (буравчика). Тогда, проеци-

руя на оси x^/, y^/, z^/, отнесённые к сечению (рис. 9.51,г), получим:

Следовательно, дифференциальные уравнения изгиба и кручения прини-

мают вид

где учтена малость величин U, V,

Для прямоугольника:

175

Первое уравнение совпадает с (9.162) и описывает докритический из-

гиб после точки бифуркации А.

Дифференцируя третье уравнение по z и исключая с помощью второго уравнения производную получаем:

(9.163)

где

(9.164)

Общее решение уравнения (9.163) имеет вид

(9.165)

Удовлетворяя (9.165) граничным условиям:

при

получим (9.166)

Если положим в (9.166) C₁ = 0, то получим тривиальное решение, при котором балка не получает бокового выпучивания. Если то откуда и, согласно (9.159), находим:

Более трудным оказывается решение задач о плоской форме изгиба при поперечном изгибе. Так, для консольной балки, нагруженной попереч-

ной силой, имеем:

При изгибе шарнирно опёртой балки длиной силой Р, приложенной по-

середине пролёта, имеем:

а при действии распределённой нагрузки q:

176