9.6. Пределы применимости формулы Эйлера

Формулы Эйлера (9.33), (9.34) получены в предположении упругого поведения материала, т.е. при условии:

(9.45)

где - предел пропорциональности.

При из (9.45) получаем предельное значение гибкости:

(9.46)

разделяющей области упругой и неупругой потерь ус-

тойчивости стержня. Для малоуглеродистой стали ,получаем:

.

Для алюминиевого сплава Д16Т (дюраль) , находим:

На практике часто элементы конструкций оказываются недостаточно гибкими и . В этих случаях формула Эйлера даёт неверные, завы-

шенные, результаты. Впервые это обнаружил Ходкинсон (Англия) в своих опытах по продольному изгибу сжатых колонн в 1840г. Формула Эйлера подтверждалась для гибких стержней и обнаруживала значительные откло-

нения для коротких стержней.

Е. Ламарль (Бельгия) в 1845г. первым установил границу применимо-

сти формулы Эйлера. Он предложил для стержней малой гибкости при-

нять критическое напряжение , равным пределу текучести В даль-

нейшем теория устойчивости Эйлера подверглась проверке в опытах

И. Боушингера (1887г.), Л. Тетмайера и М. Консидера (1890-1896гг.)

121

В 1889г. Ф. Энгессер (Германия) предложил вычислить критическое нап-

ряжение по формуле Эйлера с заменой модуля упругости Е на касательный модуль Е_К, (9.47)

Напряжение, вычисляемое по формуле (9.47), называют критическим касательно-модульным напряжением Ф. Энгессера. Соответствующая

формула для касательно-модульной нагрузки имеет вид:

(9.48)

Для построения диаграммы критических напряжений формулу (9.48) следует записать в виде:

(9.49)

Обрабатывая диаграмму сжатия , можно найти зависимость . Тогда для каждого правая часть в (9.49) вычисляется и поэтому становится известной гибкость .

На рис. 9.20 представлены диаграммы сжатия и критических напря-

жений.

а) б)

Рис. 9.20

В 1895г. Л. Тетмайер и Ф. Ясинский на основе анализа эксперимента-

льных данных предложили для вычисления критических напряжений эмпирическую линейную формулу

(9.50)

122

где - наибольшее значение гибкости для которой ещё можно считать

Полагая в (9.50) и получаем:

откуда находим формулу для выражения коэффициентов:

(9.51)

На основании (9.51) ниже составлена таблица значений коэффициентов для некоторых материалов.

Таблица 9.1. Таблица значений коэффициентов

для некоторых материалов

Материал
Сталь мало- углеродистая	2			200	240	-		100	40	266,7		2/3
Сплав Д16Т (дюраль)	0,75			200	-	400		62	0	400			3,33
Сталь 30ХГСА (хромансил)	2,1		750		-	1100	52,6		0	1100	6,65
Сталь 45	2		260		300	-	87		30	321	0,7
Дерево (сосна)	0,1		10		-	20	70		0	30	0,2

Джонсон для материалов с площадкой текучести предложил для кри-

тического напряжения параболическую формулу:

(9.52)

123

Постоянные А, В определяются из условий при при Используя эти условия, находим:

После подстановки этих значений А, В в (9.52) получаем:

(9.53)

Как видно, для построения диаграммы критических напряжений достаточно знать всего две механические характеристики материала .

Формулу (9.53) можно записать в виде

(9.54)

где

­ (9.55)

эмпирический модуль Джонсона. Для его вычисления необходимо знать лишь и . Формула (9.54) записана в форме (9.47). Поэтому на модуль (9.55) можно смотреть как на приближённую аппроксимацию касательного модуля