9.12. Продольно-поперечный изгиб

упругого стержня

Рассмотрим упругий стержень постоянного поперечного сечения, сжа-

тый силами Р (рис. 9.40,а). Отсечём от стержня часть его длиной z

(рис. 9.40,б). Уравнения его равновесия имеют вид

(9.102) С другой стороны, изгибающий момент в поперечном сечении выражается через кривизну по формуле (9.21):

(9.103)

Приравнивая отмеченные выше выражения моментов (9.102), (9.103) полу-чим:

155

а) б)

Рис. 9.40

Дифференцируя полученное уравнение два раза по z, последовательно находим:

(9.104)

Введём обозначение

Тогда уравнение (9.104) примет вид

(9.105)

Общее решение (9.100) имеет вид

(9.106)

где для q = const частное решение имеет вид

Удовлетворяя решение (9.106) граничным условиям шарнирного опи-

рания балки:

приходим к системе уравнений

156

откуда находим постоянные интегрирования:

В результате общее решение задачи (9.101) принимает вид

При получаем максимальное значение прогиба:

(9.107)

где или

При из (9.107) следует, что , а

Если на балку действует только поперечная нагрузка q(z), то P = 0

(k² = 0). Обозначим прогиб от поперечной нагрузки через V₀. Тогда из (9.105) следует:

(9.108)

Уравнение (9.105) на основании (9.108) принимает вид:

(9.109)

В уравнении (9.104) прогиб V₀ можно трактовать так же, как началь-

ный технологический прогиб. Для изгибающего момента имеем выраже-

ние:

Рассмотрим снова случай шарнирного опирания стержня по краям. Тогда при z = 0, имеем:

Представим общее решение уравнения (9.107) и начальный прогиб V₀ (либо прогиб от поперечной нагрузки) в виде рядов Фурье:

157

Подставляя в (9.107) вместо V, V₀ эти выражения, находим уравнение:

которое удовлетворится, если все фигурные скобки обращаются в нуль.

Это приводит к формуле:

(9.110)

где

эйлеровы нагрузки бифуркации.

Прогиб в середине стержня при равен:

При , согласно (9.110), имеем

т.е. неограниченно увеличиваются перемещения от изгиба по одной полуволне. Все же другие формы остаются ограниченными. Следовате-

льно, выпучивание шарнирно опёртого стержня по одной полуволне есть главная форма изгиба. Среди множества искривлений оси стержня можно учитывать лишь начальный прогиб по одной полуволне синусоиды. Это весьма важный для практических расчётов качественный результат, кото-

рый следует учитывать при расчётах на устойчивость элементов констру-

кций.

Максимальный прогиб может быть приближённо принят равным:

Согласно принятому критерию устойчивости сила

должна быть принята за предел устойчивости или критическую, так как при

Аналогичный результат можно получить для иных видов закрепления концов стержня.

158