9.7. Практический инженерный метод расчёта

на устойчивость Ф. Ясинского

Рассмотрим две простейшие стержневые системы (рис. 9.21).

Узел А в обоих примерах испытывает одинаковое по модулю воздей-ствие реактивных сил. Однако условия работы среднего стержня 2 будут различны. В схеме на рис. 9.21,а все стержни работают на растяжение, и мы должны потребовать выполнения условия прочности для растягиваю-

щих напряжений:

.

124

а) б)

Рис. 9.21

Во втором случае на рис. 9.21,б средний стержень 2 работает на сжа-

тие, а два других - на растяжение, и мы кроме условия прочности на растя-

жение должны обеспечить условие прочности на сжатие:

Однако этого недостаточно, т.к. сжатый стержень может потерять ус-

тойчивость. Поэтому мы должны потребовать выполнения условия устой-

чивости:

Ф. Ясинский ввёл понятие коэффициента продольного изгиба (сниже-

ния основного допускаемого напряжения):

(9.56)

и записал условие устойчивости в виде

(9.57)

или

где называют расчётным напряжением.

125

Поначалу Ф. Ясинский считал . Тогда:

Для имеет место формула Эйлера и условие для предельной гибкости:

откуда следует

Тогда для коэффициента продольного изгиба получаем:

.

Следовательно, коэффициент изменяется в зависимости от по закону гиперболы.

Для воспользуемся формулой касательного модуля либо её аппроксимацией в форме Джонсона:

,

для коэффициента получаем формулу

из которой видно, что изменяется по закону параболы.

На рис. 9.22 представлен график от для стали 3 В этом случае В последствии в СНиПе было уточнено отношение коэффициентов запаса , и расчёт стал производиться по формуле (9.56):

.

126

Рис. 9.22

Для стали обычно Коэффициент запаса на устойчивость для принимается постоянным: При Точка В, в которой снижается до значения

что отмечено на рис. 9.22 в точке В.

Для стержней из дерева в СНиПе рекомендуется формула

Для сосны

Для коэффициента продольного изгиба составлены таблицы. Ниже приведена такая таблица для ряда материалов (табл. 9.2).

Различают три типа расчёта на устойчивость: проверочный, определе-

ние допускаемой силы и проектный расчёт. При проверочном расчёте из-

вестны действующая сила Р, размеры стержня , допускаемое напря-

127

жение на сжатие способ закрепления стержня, т.е. коэффициент Вычисляется гибкость стержня и по таблице коэффициен-

тов для данного материала находится сам коэффициент При этом допускается линейная интерполяция , если она не кратна десяти. Затем производится проверка выполнения расчётной формулы (9.57) на устойчи-вость:

При проектном расчёте заданы сила Р, длина стержня , коэффициент приведения длины , Неизвестными остаются площадь сечения F и коэффициент продольного изгиба . Поэтому расчёт может быть вы-

полнен только методом последовательных приближений в таком порядке: задаются каким либо значением коэффициента , например ; рассчитывают по нему требуемую площадь Затем рассчи-

тывается момент инерции , радиус инерции , уточняется площадь , вычисляется гибкость и по таблице находится соответствую-

щий коэффициент После этого рассчитывается расчётное напряжение:

Если разница между расчётным и допускаемым напряжением более 5%, то рассматривается второе приближение с новым значением коэффициента:

и расчёт повторяется в указанном выше порядке до тех пор пока разница между и станет не более .

128

Таблица 9.2. Коэффициенты продольного

изгиба

	Сталь 3,4	Сталь 5	Сталь 15ХСНД	Сплав Д16Т	Чугун	Железо- бетон	Дерево (сосна)
0	1	1	1	1	1	1	1
10	0,99	0,98	0,98	1	0,96	1	0,99
20	0,97	0,95	0,95	1	0,91	1	0,99
30	0,95	0,92	0,93	0,84	0,81	1	0,93
40	0,92	0,89	0,90	0,70	0,69	1	0,87
50	0,89	0,86	0,83	0,57	0,57	1	0,80
60	0,86	0,82	0,78	0,46	0,44	0,83	0,71
70	0,81	0,76	0,71	0,35	0,34	0,73	0,61
80	0,75	0,70	0,63	0,27	0,26	0,64	0,49
90	0,69	0,62	0,54	0,21	0,20	0,57	0,38
100	0,60	0,51	0,45	0,17	0,16	0,52	0,31
110	0,52	0,43	0,39	0,14	-	-	0,25
120	0,45	0,38	0,33	0,12	-	-	0,22
130	0,40	0,32	0,29	0,10	-	-	0,18
140	0,36	0,28	0,26	0,087	-	-	0,16
150	0,32	0,26	0,23	0,076	-	-	0,14
160	0,29	0,24	0,21	-	-	-	0,12
170	0,26	0,21	0,19	-	-	-	0,11
180	0,23	0,19	0,17	-	-	-	0,10
190	0,21	0,17	0,15	-	-	-	0,09
200	0,19	0,16	0.13	-	-	-	0,08

Пример 1. Стальной стержень длиной двутаврового сечения №18, шар-

нирно закреплённый на одном и жёстко на другом краях, сжимается силами Р. Требует-

ся определить допускаемое и критическое значения силы Р, если

Решение. Из сортамента стального проката для двутавра №18 находим F = 23,4 см², Коэффициент приведения длины Ясинского для данного типа закрепления гибкость стержня

129

Так как то критическая сила может быть определена по формуле Эйлера:

По таблице коэффициентов после интерполяции находим Вычисля-

ем допускаемое значение внешней силы:

Коэффициент запаса на устойчивость

Если принять длину , то В этом случае для определе-

ния критической силы использовать формулу Эйлера нельзя. Воспользуемся формулой Джонсона:

Допустимая нагрузка:

Коэффициент запаса

Если воспользоваться формулой Ясинского, то

Коэффициент запаса:

Пример 2. Подобрать размеры круглого поперечного сечения стержня длиной из дерева (сосна), нагруженного силой Р = 100 кН, если Один конец стержня жёстко защемлён, а другой свободен от закрепления

Решение. Условия устойчивости записываем в виде

Подбор диаметра D сечения производим методом последовательных приближений.

Первое приближение. Принимаем Тогда:

Так как то

130

Подбор диаметра ведём с точностью до целого см. Для найденного диаметра

D = 13см находим:

Находим гибкость По таблице коэффициентов с учё-

том интерполирования находим

Вычисляем:

Сравнивая с , видим, что в стержне будет перенапряжение в или на 429%. Поэтому следует рассмотреть второе приближение.

Второе приближение. Задаёмся новым значением:

Находим

Диаметр Далее после округления разме-

ра диаметра до целых значений см вычисляем:

По таблице находим и рассчитываем:

Перенапряжение составляет т.е. 83%. Поэтому необходимо рассмот-

реть третье приближение.

Третье приближение. Принимаем

Вычисляем:

Находим диаметр

131

Округляем диаметр до целых значений см и получаем D₃ = 20см. Корректируем но-

вую площадь:

Вычисляем:

По таблице 9.2 для находим с учётом интерполяции Расчётное сопро-

тивление:

Недонапряжение т.е. 7,7%.

На этом расчёт можно прекратить и принять размер диаметра D = 20см.