9.13. Выпучивание сжатой колонны при

внецентренном сжатии

Пусть стержень-колонна сжимается внецентренно силой Р, жёстко за-

креплена внизу при z = 0 и свободна от закрепления вверху при

(рис. 9.41,а). Для решения задачи используем уравнение (9.22):

(9.111)

Из рис. 9.41, а получаем:

Подставляя эти значения в (9.110), находим:

или, после деления на EJ_х,

(9.112)

общее решение уравнения (9.107) имеет вид

(9.113)

Граничные условия задачи:

при

при (9.114)

Удовлетворяя решение (9.113) условиям (9.114), получаем:

откуда находим:

Решение (9.113), с учётом найденных коэффициентов, принимает вид:

(9.115)

Из (9.115) при получаем значение максимального прогиба:

(9.116)

При из (9.116) получаем .

График зависимости Р от f приведён на рис. 9.41,б.

159

а) б)

Рис. 9.41

Значение . соответствует критической нагрузке Эйлера:

Рис. 9.42

160

Максимальное нормальное напряжение в изгибаемой колонне находим по формуле:

(9.117)

которую называют формулой секанса для .

Так как , то формулу (9.117) запишем в виде:

(9.118)

где - параметр внешней нагрузки, имеющий размерность напря-жения.

Назовём предельным упругим состоянием такое, при котором в стерж-

не в опасной точке впервые достигается предел текучести, т.е. Тогда, согласно (9.113), соответствующий параметр внешней нагрузки

(9.119)

Если форма и размеры сечения известны, то известны F,h,i_x. Методом проб и ошибок можно построить зависимости от гибкости для раз-

личных значений (рис. 9.42).

9.14. Устойчивость стержня, сжатого

следящей силой

Рассмотрим задачу о сжатии следящей силой, т.е. силой, которая при выпучивании стержня поворачивается так, что остаётся касательной к изогнутой оси на конце стойки (рис. 9.43). Такая сила может быть создана реактивной струёй ракеты.

Ввиду малости прогибов считаем, что горизонтальная и вертикальная составляющие следящей силы:

161

а) б)

Рис. 9.43

Ввиду малости прогибов считаем, что горизонтальная и вертикальная составляющие следящей силы:

Общее решение задачи представлено выражением (9.29). Граничные условия задачи имеют вид

при ;

при , (9.120)

где

Удовлетворяя решение (9.29) граничным условиям (9.120), получим:

Исключая постоянные , находим:

(9.121)

Определитель этой системы:

Следовательно, система уравнений (9.116) не имеет отличных от нуля решений и потому

Таким образом, по методу Эйлера сжатый следящей силой стержень не имеет искривлённых форм равновесия. Эту задачу впервые рассмотрел

162

А.Пфлюгер (Германия) в 1950 г. и пришёл к выводу, что сжатый следящей силой стержень всегда устойчив.

Такой вывод оказался неверным, т.к. метод Эйлера и его понятие ус-

тойчивости не являются общими и относятся только к задачам с консерва-

тивными внешними силами.

В данной задаче потеря устойчивости проявляется не в переходе сис-

темы в смежное равновесное состояние в смысле Эйлера, а в переходе её в режим движения. Поэтому для исследования устойчивости со следящей неконсервативной силой следует применить динамический метод Лагран-

жа. Предположим, что на конце стержня сосредоточена масса m

(рис. 9.43,б). Тогда при её движении вместе со стержнем возникает сила инерции , где точки над означают дифференцирование по времени. Для решения задачи воспользуемся принципом Даламбера и уравнением (9.105), которое в силу q = 0 принимает вид:

(9.122)

где прогиб есть функция z и времени t, т.е. Для решения зада-

чи воспользуемся методом разделения переменных Фурье, полагая:

(9.123)

Подставляя (9.123) в (9.122), получим:

(9.124)

Общее решение (9.124) имеет вид:

(9.125)

Граничные условия задачи:

при z = 0,

при z = (9.121)

Удовлетворяя решение (9.120) граничным условиям (9.121), получим граничные условия для:

при

при (9.127)

Первые три условия очевидны. Последнее поясним подробнее. После подстановки (9.123) в четвёртое условие (9.126) имеем:

163

откуда, разделяя переменные, получим:

где - постоянная величина.

Следовательно,

(9.128)

Полагая в (9.128) , находим

(9.129)

для действительных значений и

(9.130)

для мнимых ( - действительных) значений .

Подставляя (9.125) в граничные условия (9.127), находим:

(9.131)

Исключая из (9.131) найдём

(9.132)

Приравнивая определитель системы (9.132) к нулю, получим:

(9.133)

Пока выражение под радикалом в (9.128) положительно , оба значения действительны и имеет место устойчивый периодический процесс движения (9.130).

Случай

(9.134)

отвечает и переходу от устойчивого движения к неустойчивому. Корень уравнения (9.133) нами уже вычислялся:он равен ,

164

откуда получаем критическое значение следящей силы:

при которой сжатый стержень получит динамическую бифуркацию. При этой силе колебательный процесс становится неустойчивым. Примером такого беспорядочного процесса могут служить катастрофы при запуске баллистических ракет.