9.15. Задача а.Р. Ржаницына об устойчивости сжатого
стержня в условиях ограниченной ползучести
Все материалы обладают тремя основными свойствами – упругости, пластичности и вязкости. При длительной эксплуатации конструкции, которая содержит сжатый силами Р стержень, может проявиться свойство вязкости материала в виде его ползучести либо релаксации напряжений.. Эти явления при ограниченной ползучести (для таких материалов,как бетон, полимеры,композиты) описываются законом Кельвина:
(9.135)
где
время релаксации, Е – модуль продольной
упругости, Н – длитель-
ный модуль упругости,
и
- скорости напряжений и деформаций.
Рассмотрим шарнирно опёртый стержень, сжатый силами Р (рис. 9.45).
Рис. 9.45
165
Из условий равновесия отсечённой части стержня имеем N = -P, Q = 0,
M = PV. Деформация и её скорость при изгибе стержня:
(9.136)
Умножая (9.135)
на
,
интегрируя по площади стержня и исполь-
зуя (9.136), получаем:
(9.137)
где
Подставляя в
(9.132) выражения
находим:
(9.138)
Примем для прогиба V и его скорости выражения
.
Тогда из (9.138) получаем:
(9.139)
где
-
(9.140)
бифуркационнные нагрузки Л. Эйлера и А.Р. Ржаницына.
Обозначим:
.
(9.141)
Тогда уравнение (9.139) преобразуется к виду
(9.142)
Разделяя переменные и интегрируя, получаем:
или, после потенцирования,
.
Постоянную С
находим из начального условия
при
166
В результате получаем:
(9.143)
Если
прогиб
по методу проб Эйлера на устойчивость,
то выраже-
ние (9.142) даёт закон поведения прогиба после снятия возмущающей по-
перечной силы. Возможны три состояния процесса изгиба стержня во вре-
мени t.
При
коэффициент
,
и из (9.143) следует, что при
прогиб
,
т.е. стержень устойчив, т.к. возвращается
со временем к своей начальной прямолинейной
форме (рис. 9.45).
Рис.
9.46
При
имеем
,
и при
прогиб
,
т.е. стер-
жень неустойчив.
При
имеем
и решение уравнения (9.137)
Стержень остаётся в безразличном
состоянии на границе между устойчивым
и неустойчивым состояниями процесса
выпучивания.
Таким образом,
мы обнаруживаем что при
сжатый стержень обладает свойством
длительной устойчивости, т.к. после
снятия возмуще-
ния остаётся
пребывать в малой окрестности исходного
невозмущенного состояния при
Реальные стержни обладают начальными несовершенствами своей прямолинейной геометрической формы. Пусть V0 – начальный технологи-
ческий прогиб оси стержня. Будем смотреть на него как на малый возму-
щающий фактор. Тогда кривизна изогнутой оси стержня в процессе его деформирования:
167
а относительные деформации и напряжения:
Умножим вновь (9.122) на и, интегрируя, получим уравнение
(9.144)
Полагая в (9.144):
и учитывая обозначение (9.141), приходим к уравнению
(9.145)
Решение уравнения (9.140) имеет вид
(9.146)
Начальным
условием при
для
решения (9.146) является статиче-
ское решение (9.106) задачи о выпучивании упругого стержня с начальным прогибом:
.
Удовлетворяя решение (9.141) этому условию, получим:
и общее решение:
(9.147)
При имеем и поэтому из (9.147) при получаем, что прогиб ограничен и стремится к значению (рис. 9.46):
.
При имеем и поэтому из (9.141) при полу-
чаем .
168
Рис. 9.46
Процесс выпучивания во времени неограничен и, следовательно, неустойчив (рис. 9.47).
При коэффициент , и из уравнения (9.140) получаем:
При нагрузке впервые процесс выпучивания стержня из мате-
риала с ограниченной ползучестью становится неустойчивым. Поэтому Р* названа длительной критической нагрузкой А.Р. Ржаницына.